D7-2曲面方程-平面方程-空间直线new1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七,章,空间解析几何,一、平面及其方程,二、,直线及其方程,三、,空间曲面与空间曲线,（一）（二）（三）（四）（五）（六）,定义,1.,如果曲面,S,与方程,F,(,x,y,z,)=0,有下述关系,:,(1),曲面,S,上的任意点的坐标都满足此方程,则,F,(,x,y,z,)=0,叫做,曲面,S,的,方程,曲面,S,叫做方程,F,(,x,y,z,)=0,的,图形,.,(2),不在曲面,S,上的点的坐标不满足此方程,例如，球心为,半径为,R,的,球面方程为,(,一,),平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称,式,为平面,的,点法式方程,求该平面,的,方程,.,法向量,.,量,则有,故,一、平面及其方程,(,二,),平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为,平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程,与此点法式方程等价,的平面,因此方程,的图形是,法向量为,方程,.,特殊情形,当,D,=0,时,A x,+,B y,+,C z,=0,表示,通过原点,的平面,;,当,A,=0,时,B y,+,C z,+,D,=0,的法向量,平面平行于,x,轴,;,A x+C z+D,=0,表示,A x+B y+D,=0,表示,C z,+,D,=0,表示,A x,+,D,=0,表示,B y,+,D,=0,表示,平行于,y,轴,的平面,;,平行于,z,轴,的平面,;,平行于,xOy,面 的平面,;,平行于,yOz,面 的平面；,平行于,zOx,面 的平面,.,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的,截距式方程,.,时,平面方程为,(,P,250,例,3,),(,三,),两平面的夹角,设平面,1,的法向量为,平面,2,的法向量为,则两平面夹角,的余弦为,即,两平面法向量的夹角,(,常指锐角,),称为,两平面的夹角,.,特别有下列结论：,外一点,求,例,设,解,:,设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离,d.,则,P,0,到平面的距离为,(,点到平面的距离公式,),因此其一般式方程,(,一,),一般式方程,直线可视为两平面交线，,(,不唯一,),二 直线及其方程,(,二,),点向式方程,故有,说明,:,某些分母为零时,其分子也理解为零,.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的,点向式方程,(,也称为,对称式方程,),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,(,三,),参数式方程,设,得参数式方程,:,过两个不同的点有且仅有一条直线。,设直线,L,过点,P,1,(,x,1,y,1,z,1,),，和,P,2,(,x,2,y,2,z,2,),，,则,于是,设,P(,x,y,z,),为直线上任意,一点，,即,(,P,252,例,7,),说明,:,(,四,),线面间的位置关系,1.,两直线的夹角,则两直线夹角,满足,设直线,L,1,L,2,的方向向量分别为,两直线的夹角指其方向向量间的夹角,(,通常取,锐角,),(,P,251,例,4,),特别有,:,当直线与平面垂直时,规定其夹角为,线所夹锐角,称为直线与平面间的夹角,;,2.,直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线,L,的方向向量为,平面,的法向量为,则直线与平面夹角,满足,直线和它在平面上的投影直,(,P,252,例,5,6,),特别有,:,3.,过,直线的平面束方程,两不平行平面决定的直线,对任意直线上的点,(,x,y,z),及数,p,q,，有,整理得,表示过直线,的所有平面，,称为平面束方程。,(P,265,例,8,9),例,解,:,垂直于,轴的平面一般方程为,经过点,可得方程为,(,09-10,一,(1),例,过点,和,解,:,由题,的直线方程为,则直线方程为,(,09-10,二,.5),例,以,为球心，且通过坐标原点的球面方程为,解,:,由题,所以球面方程为,(,09-10,二,(7),三、空间曲面与空间曲线,定义,1.,如果曲面,S,与方程,F,(,x,y,z,)=0,有下述关系,:,(1),曲面,S,上的任意点的坐标都满足此方程,则,F,(,x,y,z,)=0,叫做,曲面,S,的,方程,曲面,S,叫做方程,F,(,x,y,z,)=0,的,图形,.,(2),不在曲面,S,上的点的坐标不满足此方程,(,一,),曲面方程,例如，球心为,半径为,R,的,球面方程为,说明,:,一般曲面的参数方程含两个参数,形如,参数方程,称它为空间曲面的,参数方程,.,(,二,),柱面,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,表示,圆柱面,平行,z,轴的直线,l,沿定,xOy,面上曲线,移动,准线,母线,平行于,z,轴,表示,抛物柱面,母线平行于,z,轴,;,准线为,xOy,面上的抛物线,.,z,轴的,椭圆柱面,.,z,轴的,平面,.,表示母线平行于,(,且,z,轴在平面上,),表示母线平行于,三元方程,F,(,x,y,)=0,在空间表示准线在,xOy,平面，母线平行于,z,轴的柱面,(,三,),空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线,C,.,C,(,四,),二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍,.,其基本类型有,:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形统称为,二次曲面,.,(,二次项系数不全为,0),说明,：研究二次曲面特性的基本方法,:,截痕法,对于由方程,F,(,x,y,z,)=0,所确定的曲面，,坐标面的平面相截，,用平行于,考察交线的形状，了解曲面性质,1,.,椭球面,(1),范围：,(2),与坐标面的交线：椭圆,与,的交线为椭圆：,(4),当,a,b,时为,旋转椭球面,;,同样,的截痕,及,也为椭圆,.,当,a,b,c,时为,球面,.,(3),截痕,:,为正数,),2.,抛物面,(1),椭圆抛物面,(,p,q,同号,),(2),双曲抛物面（鞍形曲面）,(,p,q,异号,),特别,当,p=q,时为绕,z,轴的旋转抛物面,.,椭圆,;,抛物线,.,双曲线,;,抛物线,.,p0,q0,时,或,或,3.,双曲面,(1),单叶双曲面,椭圆,.,时,截痕为,(,实轴平行于,x,轴；,虚轴平行于,z,轴）,平面,上的截痕情况,:,双曲线,:,虚轴平行于,x,轴）,时,截痕为,时,截痕为,(,实轴平行于,z,轴,;,相交直线,:,双曲线,:,(2),双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别,:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,定义,2,.,一条平面曲线,(,五,),旋转曲面,绕其平面上一条,定直线,旋转,一周,所形成的曲面叫做,旋转曲面,.,该定直线称为,旋转,轴,.,例如,:,母线,轴,建立,yOz,面上曲线,C,绕,z,轴旋转所成曲面,的,方程,:,故旋转曲面方程为,当绕,z,轴旋转时,若点,给定,yOz,面上曲线,C,:,则有,则有,该点转到,思考：,当曲线,C,绕,y,轴旋转时，方程如何？,规律：,当坐标平面上的曲线,C,绕此坐标平面的一个坐标,轴旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线,C,在,坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其,它两个坐标平方和的正负平方根来代替方程中的另,一坐标。,例,试建立顶点在原点,旋转轴为,z,轴,半顶角为,的圆锥面方程,.,解,:,在,yOz,面上直线,L,的方程为,绕,z,轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,(P,255,例,3),表示椭圆锥面,椭圆抛物面,(,六,),空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线,C,的一般方程为,消去,z,得投影柱面,则,C,在,xOy,面上的投影曲线,C,为,消去,x,得,C,在,yOz,面上的投影曲线方程,消去,y,得,C,在,zOx,面上的投影曲线方程,P,258,例,3,4,例,空间曲线,在,解,:,投影曲线为,平面上的投影曲线,即,(,05-06,一,(6),例,空间曲线,在,解,:,投影曲线为,投影曲线为,平面上的,即,(,09-10,二,(8),作业,P,267,26,(1)(2),31,(1)(2),35,36,41,50,51,52,