第五节：曲面及其方程-七版.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五节 曲面及其方程,一、曲面研究的基本问题,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,五、小结,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,一、曲面研究的基本问题,空间曲面研究有,两个基本问题,：,（,2,）已知坐标,x,y,和,z,的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（,1,）已知曲面作为点几何轨迹时，建立这曲面方程,以下给出几例常见的曲面,.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,解,根据题意有,所求方程为,课练,根据题意有,化简得所求方程,解,课练,例,3,方程 表示怎样曲面？,解,:,通过配方，得到,说明,:,如下形式的三元二次方程,(,A,0),都可通过配方研究它的图形,.,其图形可能是,一个,球面,或,点,或,虚轨迹,.,例,5,方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,以上几例表明研究空间曲面有,两个基本问题,：,（,2,）已知坐标间的关系式,(,方程,),，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（,1,）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,播放,定义：以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,旋转曲线和,定直线依次叫旋转曲面的,母线,和,轴,二、旋转曲面,旋转曲面的方程,将 代入,得方程,即为曲线,C,绕,z,轴旋转一周所得的旋转曲面的方程。,绕,z,轴旋转一周所的旋转曲面的方程为,（1）yoz 平面上的一条曲线,解,圆锥面方程,解,例,6,将下列各平面曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双叶双曲面,旋转单叶双曲面,书P40；图8-40,书P40；图8-41,旋转椭球面,旋转抛物面,三、柱面,例：分析方程,表示怎样的曲面,方程不含,z,。,曲面可看作由平行于,z,轴,的直线,L,沿,xoy,面上的圆,移动而形成的,该曲面称为圆柱面,准线,母线,播放,定义,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线,C,移动的直线,L,所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线,C,叫柱面的,准线,，动直线,L,叫柱面的,母线,.,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的,特征,：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面,/,z,轴,双曲柱面,/,z,轴,抛物柱面,/,y,轴,二次曲面：,若三元二次方程,F,(,x,y,z,)=0,所,对应的空间曲面。,一次曲面,：,相应地三元一次方程,A,x+B y +C z,+,D,=0,所表示的平面。,二次曲面有九种，适当选取空间直角坐标系，可得到它的标准方程，下面就九种二次曲面的标准方程讨论它的形状,四、,二次曲面（,简讲,）,两种常用方法（了解空间曲面形状）：,（,a,）,截痕法,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,（1).,椭圆锥面,椭圆,在平面,x,0,或,y,0,上的截痕为过原点的两直线,.,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(,椭圆锥面也可由圆锥面经,x,或,y,方向的伸缩变换,得到,见 P42),（,b,）,伸缩变形法,平面图形的伸缩变形法,图形,C,由图形,C,沿,y,轴,方向伸缩,倍而得到。,问题,1,：如何确定,C,的方程？,结论,1,：将平面曲线,C,：,F,(,x,y,)=0,沿,y,轴方向伸缩,倍而得到平面曲线,C,，,则,C,的平面方程为：,结论,1,：将平面曲线,C,：,F,(,x,y,)=0,沿,y,轴方向伸缩,倍而得到平面,曲线,C,，,则,C,的平面方程为：,结论,2,：将平面曲线,C,：,F,(,x,y,)=0,沿,x,轴方向伸缩,倍而得到平面,曲线,C,，,则,C,的平面方程为：,结论,3,：将空间曲面,C,：,F,(,x,y,z,)=0,沿,y,轴方向伸,缩,倍而得到,空间曲面,C,，,则,C,的方程为：,下面用上述两种方法研究一些特殊二次曲面的形状,（,2,）椭球面,（,1,）将,xoy,面上的椭圆,绕,x,轴旋转，所得旋转曲面称为旋转椭球面，其方程为,（,2,）再将其沿,z,轴方向伸缩 倍：,即得,当,a=b=c,时，椭球面即为球面：,（,3,）单叶双曲面,可由旋转单叶双曲面伸缩变形得到,得旋转单叶双曲面,即得单叶双曲面,（,4,）双叶双曲面,可由旋转双叶双曲面伸缩变形得到,得旋转双叶双曲面,即得双叶双曲面,单叶双曲面和双叶双曲面统称为双曲面,抛物面,（,5,）椭圆抛物面,由 xoy 面上的抛物线：,绕,z,轴旋转，得一旋转抛物面：,再将其沿,y,轴方向伸缩 倍：,即得椭圆抛物面：,（,6,）双曲抛物面（马鞍面）,其图形不可由旋转曲面伸缩变形而来,可用截痕法讨论其图形的形状。(补充课件),(7),椭圆柱面,/,z,轴,(8),双曲柱面,/,z,轴,(9),抛物柱面,/,y,轴,小结,:,常见的二次曲面的方程及其图形,球面,（,2,）椭球面,（,3,）双曲面,单叶双曲面,双叶双曲面,（,1,）椭圆锥面,圆锥面,（,4,）抛物面,椭圆抛物面,双曲抛物面（马鞍面）,（,5,）柱面,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面,圆柱面,（一）一般空间曲面的方程,（二）旋转曲面的概念及求法,.,（三）柱面的概念,(,母线、准线,).,五、小结,（四）二次曲面,习题,8,5,:2,6，7，,第,8,章作业,第五节：,曲面及其方程,课堂练习,:8,，,9,10,练 习 题,练习题答案,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面,.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面,.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,