第二章随机变量.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章随机变量,离散型随机变量,随机变量的分布函数,连续型随机变量,一维,随机变量函数的分布,二维随机变量的联合分布,多维随机变量的边缘分布与独立性,条件分布,多维随机变量函数的分布,关于随机变量,(,及向量,),的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量,2.1,随机变量的概念,定义,.,设,S=e,是试验的样本空间，如果量,X,是定义在,S,上的一个单值实值函数即对于每一个,e,S,，有一实数,X=X(e),与之对应，则称,X,为,随机变量,。,随机变量,常用,X,、,Y,、,Z,或,、,、,等表示。,随机变量的特点,:,1,X,的全部可能取值是互斥且完备的,2,X,的部分可能取值描述随机事件,?,请举几个实际中随机变量的例子,EX,引入适当的随机变量描述下列事件：,将,3,个球随机地放入三个格子中，,事件,A=,有,1,个空格,，,B=,有,2,个空格,，,C=,全有球,。,进行,5,次试验，事件,D=,试验成功一次,，,F=,试验至少成功一次,，,G=,至多成功,3,次,随机变量的分类,：,随机变量,例,2.,某射手对目标独立射击,5,次，每次命中目标的概率为,p,，以,X,表示命中目标的次数，求,X,的分布律。,解：设,A,i,第,i,次射击时命中目标，,i=1,2,3,4,5,则,A,1,A,2,A,5,相互独立且,P(A,i,)=p,i=1,2,5.S,X,=0,1,2,3,4,5,(1-p),5,几个常用的离散型分布,（一）贝努里,(Bernoulli),概型与二项分布,1.,(0-1),分布,若以,X,表示进行一次试验事件,A,发生的次数，则称,X,服从,(0,1),分布,(,两点分布,),X,PX,k,p,k,(1,p),1,k,(0p1,时,X,的全部取值为,:m,m+1,m+2,PX=m+1=P,第,m+1,次试验时成功并且,在前,m,次试验中成功了,m-1,次,想一想：离散型随机变量的统计特征可以,用分布律描述，非离散型的该如何描述？,如：熊猫彩电的寿命,X,是一个随机变量，对,消费者来说，你是否在意,X5,年,还是,X5,年零,1,分钟,2.3,随机变量的分布函数,一、分布函数的概念,.,定义,设,X,是随机变量，对任意实数,x,，事件,X,x,的概率,PX,x,称为随机变量,X,的,分布函数,。,记为,F(x),，即,F(x),P X,x.,易知，对任意实数,a,b(ab),P aX,b,PX,b,PX,a,F(b),F(a).,二、分布函数的性质,1,、,单调不减性,：若,x,1,x,2,则,F(x,1,),F(x,2,);,2,、,归一 性,：对任意实数,x,，,0,F(x),1,，且,3,、,右连续性：对任意实数,x,，,反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是,分布函数的充分必要性质,。,一般地，对离散型随机变量,X,PX=x,k,p,k,k,1,2,其分布函数为,例,1,设随机变量,X,具分布律如右表,解,X,0,1,2,P,0.1,0.6,0.3,试求出,X,的分布函数,。,例,2,向,0,1,区间随机抛一质点，以,X,表示质点坐标,.,假定质点落在,0,1,区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求,X,的分布函数,解：,F(x)=PX,x,当,x,1,时,F(,x,)=1,当,0,x,1,时,特别,F(1)=P0 x1=k=1,用分布函数描述随机变量不如分布律直观，,对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法,？,?,a,b,2.4,连续型随机变量,一、概率密度,1.,定义,对于随机变量,X,，若存在非负函数,f(x),，,(-,x+,),，使对任意实数,x,，都有,则称,X,为连续型随机变量，,f(x),为,X,的,概率密度函数,，简称概率密度或密度函数,.,常记为,X,f(x),(-,x+,),密度函数的,几何意义,为,2.,密度函数的性质,(1),非负性,f(x),0,，,(-,x,),；,(2),归一性,性质,(1),、,(2),是密度函数的充要性质；,EX,设随机变量,X,的概率密度为,求常数,a.,答,:,(3),若,x,是,f(,x,),的连续点，则,EX,设随机变量,X,的分布函数为,求,f(x),（,4,）对任意实数,b,，若,X,f(x),，,(-,x,),，则,PX=,b,0,。,于是,例,2.3.2.,已知随机变量,X,的概率密度为,1),求,X,的分布函数,F(x),2),求,PX,(0.5,1.5),二、几个常用的连续型分布,1.,均匀分布,若,X,f(x),则称,X,在,(,a,b),内服从均匀分布。记作,XU,(,a,b),对任意实数,c,d(acd0,的指数分布。,其分布函数为,例,.,电子元件的寿命,X(,年）服从参数为,3,的指数分布,(1),求该电子元件寿命超过,2,年的概率。,(2),已知该电子元件已使用了,1.5,年，求它还能使用两年的概率为多少？,解,例,.,某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为,T,，,设,0,，,t,时段内过桥的汽车数,X,t,服从,参数为,t,的泊松分布，求,T,的概率密度。,解,当,t 0,时，,当,t 0,时，,=1-,在,t,时刻之前无汽车过桥,于是,正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上,研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特,别重要的地位。,3,.,正态分布,A,B,A,，,B,间真实距离为,，测量值为,X,。,X,的概率密度应该是什么形态？,其中,为实数，,0,，则称,X,服从参数为,2,的,正态分布,记为,N(,2,),，可表为,X,N(,2,),.,若,随机变量,(1),单峰对称,密度曲线关于直线,x=,对称,；,f(),maxf(x),.,正态分布有两个特性,：,(2),的大小直接影响概率的分布,越大，曲线越平坦,，,越小，曲线越陡峻,。,正态分布也称为高斯,(,Gauss),分布,4.,标准正态分布,参数,0,，,2,1,的正态分布称为,标准正态分布，记作,XN(0,1),。,分布函数表示为,其,密度函数,表示为,一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅,(x),的值。,如，若,ZN,（,0,，,1,）,（,0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32),=0.9925-0.9066,注,：,(1),(x),1,(,x),；,(2),若,X,N(,2,),，则,正态分布表,EX,设随机变量,XN(-1,2,2,),P-2.45X2.45=?,P(39),例,2.3.5.,设,X,N(,2,),求,P,-3,X3,的值,.,如在质量控制中，常用标准指标值,3,作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报,.,表明生产出现异常,.,正态分布表,一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布,(100,15,2,),某仪器上装有,3,个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的,.,求：使用的最初,90,小时内无一元件损坏的概率,.,解,:,设,Y,为,使用的最初,90,小时内损坏的元件数,故,则,YB(3,p),其中,正态分布表,一、离散型随机变量函数的分布律,2.5,一维随机变量函数的分布,设,X,一个随机变量，分布律为,X,PX,x,k,p,k,k,1,2,若,y,g(x),是一元单值实函数，则,Y,g(X),也是一个随机变量。求,Y,的分布律,.,例,:,已知,X,P,k,-1 0 1,求：,Y=X,2,的分布律,Y,P,k,1 0,或,Y,g(X),PY,g(x,k,),p,k,，,k,1,2,（其中,g(x,k,),有相同的，其对应概率合并。）,一般地,X,P,k,Y=g(X),二、连续型随机变量函数的密度函数,1,、一般方法,若,Xf(x),-,x+,Y=g(X),为随机变量,X,的函数，则可先求,Y,的分布函数,F,Y,(y),PYy,P g(X)y,然后再求,Y,的密度函数,此法也叫“,分布函数法,”,例,1.,设,X,U(-1,1),求,Y=X,2,的分布函数与概率密度。,当,y0,时,当,0y1,时,当,y1,时,例,2.,设,X,的概率密度为,f,X,(x),y=g(x),关于,x,处处可导且是,x,的严格单减函数，求,Y=g(X),的概率密度。,解：,Y,的分布函数为,F,Y,(y)=PY,y=Pg(X),y,=PX,g,-1,(y)=1-F,X,(g,-1,(y),Y,的概率密度为,f,Y,(y)=F,(g,-1,(y)=,f,X,(g,-1,(y)g,-1,(y),2,、公式法：一般地,若,X,f,X,(x),y=g(x),是,单调可导,函数，则,注,：,1,只有当,g(x),是,x,的单调可导函数时，才可用以,上公式推求,Y,的密度函数。,2,注意定义域的选择,其中,h(y),为,y,g(x),的反函数,.,例,3.,已知,X,N,(,2,),求,解：,的概率密度,关于,x,严单,反函数为,故,例,4,设,XU(0,1),求,Y=ax+b,的概率密度,.(a0),解,:,Y=ax+b,关于,x,严单,反函数为,故,而,故,小结,.,习题课,一、填空：,1.,设随机变量,X,服从参数为（,2,p,）的二项分布，随机变量,Y,服从参数（,3,p,）的二项分布，若,，则,PY,1=,2.,设随机变量,X,服从（,0,，,2,）上的均匀分布，则随机变量,Y=X,2,在（,0,，,4,）内的密度函数为,f,Y,(y)=,3.,设随机变量,XN,（,2,，,2,），且,P,（,2X4,）,=0.3,，则,P(X0)=,二,.,从某大学到火车站途中有,6,个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是,1/3.,以,Y,表示汽车在第一次停止之前所通过的交通岗数,求,Y,的分布律,.(,假定汽车只在遇到红灯或到达火车站时停止,),三、,某射手对靶射击，单发命中概率都为,0.6,，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。,四,.,已知随机变量,X,的概率密度为,求：,Y=1-X,2,的概率密度,2.6,二维随机变量的联合分布,一、,多维随机变量,1.,定义,将,n,个随机变量,X,1,，,X,2,，,.,X,n,构成一个,n,维向量,(X,1,X,2,.,X,n,),称为,n,维随机变量。,一维随机变量,XR,1,上的随机点坐标,二维随机变量,(X,Y)R,2,上的随机点坐标,n,维随机变量,(X,1,X,2,X,n,)R,n,上的随机点坐标,多维随机变量的研究方法也与一维类似，,用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律,设,(X,Y),是二维随机变量，,(x,y),R,2,则称,F(x,y)=PX,x,Y,y,为,(X,Y),的,分布函数,，或,X,与,Y,的联合分布函数。,二,.,联合分布函数,几何意义：,分布函数,F(),表示随机点,(X,Y),落在区域,中的概率。如图阴影部分：,对于,(,x,1,y,1,),(x,2,y,2,),R,2,(x,1,x,2,，,y,1,y,2,),则,Px,1,X,x,2,，,y,1,y,y,2,F(x,2,y,2,),F(x,1,y,2,),F(x,2,y,1,),F(x,1,y,1,),.,(,x,1,y,1,),(x,2,y,2,),(x,2,y,1,),(x,1,y,2,),分布函数,F(x,y),具有如下,性质,：,且,(1),归一性,对任意,(x,y),R,2,0,F(x,y),1,(2),单调不减,对任意,y,R,当,x,1,x,2,时，,F(x,1,y),F(x,2,y),；,对任意,x,R,当,y,1,y,2,时，,F(x,y,1,),F(x,y,2,).,(3),右连续,对任意,x,R,y,R,(4),矩形不等式,对于任意,(,x,1,y,1,),(x,2,y,2,),R,2,(x,1,x,2,，,y,1,y,2,),F(x,2,y,2,),F(x,1,y,2,),F(x,2,y,1,),F(x,1,y,1,),0.,反之，任一满足上述四个性质的二元函数,F(x,y),都,可以作为某个二维随机变量,(X,Y),的分布函数。,例,2.,已知二维随机变量,(X,Y),的分布函数为,1),求常数,A,，,B,，,C,。,2),求,P0X2,0YY,G,求：,(1),常数,A,；,(2)F(1,1),；,(3)(X,Y),落在三角形区域,D,：,x,0,y,0,2X+3y,6,内的概率。,例,4.,设,解,(1),由归一性,(3)(X,Y),落在三角形区域,D,：,x,0,y,0,2X+3y,6,内的概率。,解,3.,两个常用的二维连续型分布,(1),二维均匀分布,若二维随机变量,(X,Y),的密度函数为,则称,(X,Y),在区域,D,上,(,内,),服从均匀分布。,易见，若（,X,，,Y,）在区域,D,上,(,内,),服从均匀分布，对,D,内任意区域,G,，有,例,5.,设,(X,Y),服从如图区域,D,上的均匀分布，,(1),求,(X,Y),的概率密度；,(2),求,PY0,、,2,0,、,|,|1,，则称,(X,Y),服从参数为,1,2,1,2,的,二维正态分布，可记为,(2),二维正态分布,N(,1,2,1,2,),若二维随机变量,(X,Y),的密度函数为,分布函数的概念可推广到,n,维随机变量的情形。,事实上，对,n,维随机变量,(,X,1,X,2,X,n,),，,F(x,1,x,2,x,n,),P(X,1,x,1,X,2,x,2,X,n,x,n,),称为的,n,维随机变量,(,X,1,X,2,X,n,),的分布函数，,或随机变量,X,1,X,2,X,n,的联合分布函数,。,定义,2.4.6.n,维随机变量,(X,1,X,2,.X,n,),，,如果存在非负的,n,元函数,f(x,1,x,2,.x,n,),使对任意的,n,元立方体,定义,2.4.7.,若,(X,1,X,2,.X,n,),的全部可能取值为,R,n,上的有限或可列无穷多个点，称,(X,1,X,2,.X,n,),为,n,维离散型的，称,PX,1,=x,1,X,2,=x,2,.X,n,=x,n,，,(x,1,x,2,.x,n,),为,n,维随机变量,(X,1,X,2,.X,n,),的联合分布律。,则称,(X,1,X,2,.X,n,),为,n,维连续型随机变量，称,f(x,1,x,2,.x,n,),为,(X,1,X,2,.X,n,),的概率密度。,求,：,（,1,）,PX,0,(2)PX,1,(3)PY,y,0,EX:,随机变量（,X,，,Y,）的概率密度为,x,y,D,答,:,PX,0=0,F,Y,(y),F(+,y),PY,y,称为二维随机变量,(X,Y),关于,Y,的边缘分布函数,.,2.7.,边缘分布与独立性,一、边缘分布函数,F,X,(x),F(x,+,),PX,x,称为二维随机变量,(X,Y),关于,X,的边缘分布函数；,边缘分布实际上是高维随机变量的某个,(,某些,),低维分量的分布,。,例,1.,已知,(X,Y),的分布函数为,求,F,X,(x),与,F,Y,(y),。,二、边缘分布律,若随机变量,X,与,Y,的联合分布律为,(X,Y),PX,x,i,Y,y,j,p,ij,，,i,j,1,2,则称,PX,x,i,p,i,.,，,i,1,2,为,(X,Y),关于,X,的,边缘分布律,；,PY,y,j,p,.,j,，,j,1,2,为,(X,Y),关于,Y,的边缘分布律。,边缘分布律自然也满足分布律的性质。,例,2.,已知,(X,Y),的分布律为,xy10,11/103/10,0 3/10 3/10,求,X,、,Y,的边缘分布律。,解：,xy10p,i.,1 1/10 3/10,0 3/10 3/10,p,.j,故关于,X,和,Y,的分布律分别为：,X10Y10,P 2/53/5P2/53/5,2/5,3/5,2/5,3/5,三、边缘密度函数,为,(X,Y),关于,Y,的边缘密度函数。,设,(X,Y),f(x,y),(x,y),R,2,则称,为,(X,Y),关于,X,的边缘密度函数；,同理，称,易知,N(,1,2,1,2,2,2,),的边缘密度函数,f,X,(x),是,N(,1,1,2,),的密度函数，而,f,X,(x),是,N(,2,2,2,),的密度函数，故,二维正态分布的边缘分布也是正态分布,。,例,3.,设,(X,Y),的概率密度为,（,1,）求常数,c;(2),求关于,X,的边缘概率密度,解,:,(1),由归一性,设,(X,Y),服从如图区域,D,上的均匀分布，,求关于,X,的和关于,Y,的边缘概率密度,x=y,x=-y,EX,四、随机变量的相互独立性,定义,2.4.1,称随机变量,X,与,Y,独立,，如果对任意实数,ab,cd,，有,paX,b,cY,d=paX,bpcY,d,即事件,aX,b,与事件,cY,d,独立，则称随机变量,X,与,Y,独立。,定理,2.4.2,：随机变量,X,与,Y,独立的充分必要条件,是,F(x,y)=F,X,(x)F,Y,(y),定理,2.4.3,设,(X,Y),是二维,连续型,随机变量，,X,与,Y,独立的充分必要条件,是,f(x,y)=f,X,(x)f,Y,(y),定理,2.4.4.,设,(X,Y),是二维,离散型,随机变量，其分布律为,P,i,j,=PX=x,i,Y=y,j,i,j=1,2,.,，则,X,与,Y,独立的充分必要条件,是对任意,i,j,，,P,i,j,=P,i,.,P,j,。,由上述定理可知，要判断两个随机变量,X,与,Y,的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对,(X,Y),的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可,EX,：判断例,1,、例,2,、例,3,中的,X,与,Y,是否相互独立,例,已知随机变量,(X,Y),的分布律为,且知,X,与,Y,独立，求,a,、,b,的值。,例,4,甲乙约定,8:00,9:00,在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待,15,分钟过时不候。求两人能见面的概率,。,定义,.,设,n,维随机变量,(X,1,X,2,.X,n,),的分布函数为,F(x,1,x,2,.x,n,),(X,1,X,2,.X,n,),的,k,（,1,k0,则称,同理，,对固定的,i,p,i,.,0,称,为,X,x,i,的条件下，,Y,的,条件分布律,;,EX,.,设某昆虫的产卵数,X,服从参数为,50,的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为,0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数,X,与下一代只数,Y,的联合分布律,.,二 连续型随机变量的条件概率密度,定义,.,给定,y,，设对任意固定的正数,0,，极限,存在，则称此极限为在条件条件下,X,的条件分布函数,.,记作,可证当 时,若记 为在,Y=y,条件下,X,的条件概率密度，则由,(3.3.3),知,当 时，,.,类似定义，当 时,例,2.,已知,(X,Y),的概率密度为,(1),求条件概率密度,(2),求条件概率,x,y,1,解,:,=,2.8,多维随机变量的函数的分布,一、,二维离散型随机变量的函数的分布律,设二维离散型随机变量（,X,，,Y,），,(X,Y),P(X,x,i,Y,y,j,),p,ij,，,i,j,1,2,则,Z,g(X,Y),PZ,z,k,p,k,k,1,2,EX,设随机变量,X,与,Y,独立，且均服从,0-1,分布，其分布律均为,X,0,1,P q p,(1),求,W,X,Y,的分布律,;,(2),求,V,max(X,Y),的分布律；,(3),求,U,min(X,Y),的分布律。,(4),求,w,与,V,的联合分布律。,(X,Y),(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),p,ij,W,X,Y,V,max(X,Y),U,min(X,Y),0,1,1,2,0,1,1,1,0,0,0,1,二、多个随机变量函数的密度函数,1,、一般的方法：,分布函数法,若,(X,1,X,2,X,n,)f(x,1,x,2,x,n,),(x,1,x,2,x,n,),R,n,Y=g,(X,1,X,2,X,n,),则可先求,Y,的分布函数,:,然后再求出,Y,的密度函数,:,2,、几个常用函数的密度函数,(1),和的分布,已知,(X,Y),f(x,y),(x,y),R,2,求,Z,X,Y,的密度。,z,x+y=z,x+y,z,若,X,与,Y,相互独立，则,Z,X,Y,的密度函数,例,1.,设随机变量,X,与,Y,独立且均服从标准正态分布，求证：,Z=X+Y,服从,N,（,0,，,2,）分布。,一般地，设随机变量,X,1,X,2,，,.,X,n,独立且,X,i,服从正态分布,N(,i,i,2,),i=1,.,n,则,例,2.,卡车装运水泥,设每袋水泥的重量,X(kg),服从,N(50,2.5,2,),分布,该卡车的额定载重量为,2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过,0.05.,解,:,设最多装,n,袋水泥,X,i,为第,i,袋水泥的重量,.,则,由题意,令,查表得,(2),商的分布,已知,(X,Y),f(x,y),(x,y),R,2,求,的密度,y,G,1,0 x,G,2,特别，当,X,，,Y,相互独立时，上式可化为,其中,f,X,(x),f,Y,(y),分别为,X,和,Y,的密度函数。,3,、极大,(,小,),值的分布,设,X,1,X,2,X,n,相互独立，其分布函数分别为,F,1,(x,1,),F,2,(x,2,),F,n,(x,n,),，记,M,maxX,1,X,2,X,n,N,minX,1,X,2,X,n,则，,M,和,N,的分布函数分别为：,F,M,(z),F,1,(z)F,n,(z),特别，当,X,1,X,2,X,n,独立同分布,(,分布函数相同,),时，则有,F,M,(z),F(z),n,;,F,N,(z),1,1,F(z),n,.,进一步地，若,X,1,X,2,X,n,独立且具相同的密度函数,f(x),，则,M,和,N,的密度函数分别由以下二式表出,f,M,(z),nF(z),n,1,f(z),；,f,N,(z),n1,F(z),n,1,f(z).,例,3.,设系统,L,由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为,(i),串联，,(ii),并联，如图所示设,L,1,L,2,的寿命分别为,X,与,Y,，已知它们的概率密度分别为,其中,0,，,0,试分别就以上两种联结方式写出,L,的寿命,Z,的概率密度,小结,