福建省莆田第四中学、莆田第六中学2025年数学高一第一学期期末考试试题含解析.doc

福建省莆田第四中学、莆田第六中学2025年数学高一第一学期期末考试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在下列函数中，既是奇函数并且定义域为是（ ）
A. B.
C. D.
2．甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是

A.甲、乙两人打靶的平均环数相等
B.甲的环数的中位数比乙的大
C.甲的环数的众数比乙的大
D.甲打靶的成绩比乙的更稳定
3．将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到的函数图像，则（）
A. B.
C. D.
4．过原点和直线与的交点的直线的方程为（）
A. B.
C. D.
5．若定义在R上的偶函数满足，且当时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 的零点个数是
A.6个 B.4个
C.3个 D.2个
6．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13

14
15
13
12
9
第3组的频数和频率分别是（）
A.和14 B.14和
C.和24 D.24和
7．在①；②；③；④上述四个关系中，错误的个数是（）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
8．已知定义在上的偶函数，在上为减函数，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
9．计算，其结果是
A. B.
C. D.
10．下列关于向量的叙述中正确的是（）
A.单位向量都相等
B.若，，则
C.已知非零向量，，若，则
D.若，且，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是______
12．若，则___________；
13．已知向量，，且，则__________.
14．已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是___________
15．在正三角形中，是上的点，，则________
16．已知函数，将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个单位，得到函数的解析式______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.

（1）估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；
（2）从课外阅读时间不足10小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；
（3）国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.
18．物联网（InternetofThings，缩写：IOT）是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络.其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元），仓库到车站的距离x（单位：千米，），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则和分别为2万元和7.2万元.
（1）求出与解析式；
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？
19．已知,
（1）求
（2）设与的夹角为，求
20．已知函数.
（1）求、、的值；
（2）若，求a的值.
21．设函数，
（1）求函数的值域；
（2）设函数，若对，，，求正实数a的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】分别判断每个函数的定义域和奇偶性即可.
【详解】对A，的定义域为，故A错误；
对B，是偶函数，故B错误；
对C，令，的定义域为，且，所以为奇函数，故C正确.
对D，的定义域为，故D错误.
故选：C.
2、C
【解析】甲：8,6,8,6,9,8，平均数为7.5，中位数为8，众数为8；
乙：4,6,8,7,10,10，平均数为7.5，中位数7.5，众数为10；
所以可知错误的是C．由折线图可看出乙的波动比甲大，所以甲更稳定.
故选C
3、B
【解析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，
可得.
故选：B.
4、C
【解析】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程.
【详解】由可得，
故过原点和交点的直线为即，
故选：C.
5、B
【解析】
因为偶函数满足，所以的周期为2，当时，，所以当时，，函数的零点等价于函数与的交点个数，在同一坐标系中，画出的图象与的图象，如上图所示，显然的图象与的图象有4个交点．选B.
点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，是中档题．根据函数零点和方程的关系进行转化是解答本题的关键
6、B
【解析】根据样本容量和其它各组的频数，即可求得答案.
【详解】由题意可得：第3组频数为 ，
故第3组的频率为 ，
故选：B
7、B
【解析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系以及表示符号，及规定空集是任何非空集合的真子集，即可找出错误的个数
【详解】解： “”表示集合与集合间的关系，所以①错误；
集合中元素是数，不是集合元素，所以②错误；
根据子集的定义，{0，1，2}是自身的子集，
空集是任何非空集合的真子集，所以③④正确；
所表示的关系中，错误的个数是2
故选：B
8、D
【解析】根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集
【详解】由题意，画出的图象如图，等价于，或，由图可知，不等式的解集为

故选：D
9、B
【解析】原式
故选
10、C
【解析】A选项：单位向量方向不一定相同，故A错误；B选项：当时，与不一定共线，故B错误；C选项：两边平方可得，故C正确；D选项：举特殊向量可知D错误.
【详解】A选项：因为单位向量既有大小又有方向，但是单位向量方向不一定相同，故A错误；
B选项：当时，，，但与不一定共线，故B错误；
C选项：对两边平方得，，所以，故C正确；
D选项：比如：，，，所以，，所以，但，故D错误.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】对m进行讨论，变形，构造新函数求导，利用单调性求解最值可得实数m的取值范围；
【详解】解：由
上
，；
当时，显然也不成立；
；
可得
设，其定义域为R；
则，
令，可得；
当上时，；
当上时，；
当时；取得最大值为
可得，
；

解得：；
故答案为.
【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性和最值中的应用，属于难题.
12、1
【解析】根据函数解析式，从里到外计算即可得解.
【详解】，所以.
故答案为：1
13、
【解析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量，，因为，可得，解得.
故答案为：.
14、38##
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件概率计算公式即求.
【详解】∵甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，
∴甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是.
故答案为：0.38.
15、
【解析】根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定，故答案为
考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质
16、
【解析】根据三角函数图象的变换可得答案.
【详解】将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得，
再将得到的图象向右平移个单位得
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）720人
（2）
（3）需要增加，理由见解析
【解析】（1）由分层抽样的特点可分别求得抽取的初中生、高中生人数，由频率分布直方图的性质可知初中生、高中生课外阅读时间在，小时内的频率，然后由频数样本容量频率可分别得初中生、高中生课外阅读时间在，小时内的样本学生数，最后将两者相加即可
（2）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件，由频数样本容量频率组距频率可分别得初中生、高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数，然后用列举法表示出随机抽取3人的所有可能结果以及事件的结果，从而得
（3）同一组中的数据用该组区间中点值作为代表来计算样本中的所有初中生平均每天阅读时间，并与30小时比较大小，若小于30小时，则需要增加，否则不需要增加
【小问1详解】
由分层抽样知，抽取的初中生有人，高中生有人
初中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:
，学生人数为人
高中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:
，学生人数约有人，
全校学生中课外阅读时间在，小时内学生总人数为人
【小问2详解】
记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件，
初中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为人，
高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为人
记这3名初中生为，，，这2名高中生为，，
则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共有10种，
即，，，，，，，，，，
而事件结果有7种，它们是：，，，，，，，
至少抽到2名初中生的概率为
【小问3详解】
样本中的所有初中生平均每天阅读时间为:
（小时），而（小时），
，该校需要增加初中学生课外阅读时间
18、（1），
（2）把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元
【解析】（1）设出与以及与x的解析式，将x=9的费用代入，求得答案;
（2）列出两项费用之和的表达式，利用基本不等式求得其最小值，可得答案.
【小问1详解】
设，，其中，
当时，，.
解得，，
所以，.
【小问2详解】
设两项费用之和为z（单位：万元）
则

,
当且仅当，即时，“”成立，
所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元.
19、（1）1；（2）
【解析】分析：（1）直接利用数量积的坐标表示求的值.（2）直接利用向量的夹角公式求.
详解：（1）；
（2）∵,，∴，
∴
点睛：（1）本题主要考查向量的数量积和向量的夹角，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)向量的夹角公式为.
20、（1），，；（2）5.
【解析】（1）根据自变量的范围选择相应的解析式可求得结果；
（2）按照三种情况，，，选择相应的解析式代入解方程可得结果.
【详解】（1），，，
则；
（2）当时，，解得（舍），
当时，，则（舍），
当时，，则，
所以a的值为5.
【点睛】方法点睛：（1）计算分段函数函数值时，要根据自变量的不同取值范围选取相应的解析式计算.；（2）已知函数值求自变量的值时，要根据自变量的不同取值范围进行分类讨论，从而正确求出自变量的值.
21、（1）；
（2）.
【解析】(1)由题可得，利用基本不等式可求函数的值域；
(2)由题可求函数在上的值域，由题可知函数在上的值域包含于函数在上的值域，由此可求正实数a的取值范围
【小问1详解】
∵，又，，
∴，当且仅当，即时取等号，
所以，
即函数的值域为
【小问2详解】
∵，
设，因为，所以，函数在上单调递增，
∴，即，
设时，函数的值域为A．由题意知，
∵函数，函数图象的对称轴为，
当，即时，函数在上递增，
则，即，
∴，
当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，
而且，不合题意，
当，即时，函数在上递减，
则，即，满足条件的a不存在，
综上，