2025-2026学年河南省安阳市高一上数学期末质量检测试题含解析.doc

2025-2026学年河南省安阳市高一上数学期末质量检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．半径为2的扇形OAB中，已知弦AB的长为2，则的长为　　
A. B.
C. D.
2．角的终边过点，则（）
A. B.
C. D.
3．函数在的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4．某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）
A类轮胎：94，96，99，99，105，107
B类轮胎：95，95，98，99，104，109
根据以上数据，下列说法正确的是（　　）
A.A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数
B.A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差
C.A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数
D.A类轮胎的性能更加稳定
5．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）

A.90° B.60°
C.45° D.30°
6．下列关于向量的叙述中正确的是（）
A.单位向量都相等
B.若，，则
C.已知非零向量，，若，则
D.若，且，则
7．已知，，，则a、b、c大小关系为（）
A. B.
C. D.
8．已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
9．已知为等差数列，为的前项和，且，，则公差
A. B.
C. D.
10．从数字中随机取两个不同的数，分别记为和，则为整数的概率是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．一个棱长为2 cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为_______cm³.
12．不等式的解集为_________________.
13．已知函数，.
（1）若函数的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若函数是函数的反函数，当时，函数的最小值为，求实数m的值；
（3）用表示m，n中的最大值，设函数，有2个零点，求实数m的范围.
14．已知，则_________
15．若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
16．若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，，且.
（1）求实数m的值，并求函数有3个不同的零点时实数b的取值范围；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数a的取值范围.
18．已知函数（其中且）是奇函数.
（1）求的值；
（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．如图，在中，斜边，，在以 为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积 ，的面积.

（1）若，求；
（2）令，求的最大值及此时的.
20．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：
x
10
15
20
25
30

50
55
60
55
50
（1）给出以下四个函数模型：
①；②；③；④
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值
21．已知函数在闭区间（）上的最小值为
（1）求的函数表达式；
（2）画出的简图，并写出的最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由已知可求圆心角的大小，根据弧长公式即可计算得解
【详解】设扇形的弧长为l，圆心角大小为，

∵半径为2的扇形OAB中，弦AB的长为2，
∴，
∴
故选C
【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题
2、B
【解析】由余弦函数的定义计算
【详解】由题意到原点的距离为，
所以
故选：B
3、D
【解析】先判断出函数的奇偶性，然后根据的符号判断出的大致图象.
【详解】因为，
所以，为奇函数，所以排除A项，
又，所以排除B、C两项，
故选：D
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4、D
【解析】根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.
【详解】解：对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A错误；
对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为13，B类轮胎行驶的最远里程的极差为14，选项B错误
对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为，B类轮胎行驶的最远里程的平均数为，选项C错误
对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为，B类轮胎行驶的最远里程的方差为，故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确
故选：D
5、B
【解析】连接，可证明，然后可得即为异面直线与所成的角，然后可求出答案.
【详解】
连接，因为是正方体，所以和平行且相等
所以四边形是平行四边形，所以，所以为异面直线与所成的角.
因为是等边三角形，所以
故选：B
6、C
【解析】A选项：单位向量方向不一定相同，故A错误；B选项：当时，与不一定共线，故B错误；C选项：两边平方可得，故C正确；D选项：举特殊向量可知D错误.
【详解】A选项：因为单位向量既有大小又有方向，但是单位向量方向不一定相同，故A错误；
B选项：当时，，，但与不一定共线，故B错误；
C选项：对两边平方得，，所以，故C正确；
D选项：比如：，，，所以，，所以，但，故D错误.
故选：C.
7、C
【解析】根据对数函数以及指数函数单调性比较大小即可.
【详解】
则
故选：C
8、B
【解析】采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意，，故中元素的个数为3.
故选：B
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
9、A
【解析】分析：先根据已知化简即得公差d.
详解：由题得4+4+d+4+2d=6,所以d=.故答案为A.
点睛：本题主要考查等差数列的前n项和和等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.
10、B
【解析】先计算出从数字中随机取两个不同的数，共有种情况，再求出满足为整数的情况，即可求出为整数的概率.
【详解】解：从数字中随机取两个不同的数，
则有种选法，有种选法，共有种情况；
则满足为整数的情况如下：
当时，或有种情况；
当时，有种情况；
当或时，则不可能为整数，
故共有种情况，
故为整数的概率是：.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，
所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：2
所以球的半径为：
所求球的体积为=
故答案为：
12、或.
【解析】利用一元二次不等式的求解方法进行求解.
【详解】因为，所以，所以或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
13、（1）
（2）
（3）
【解析】( 1 )函数的值域为R,可得,求解即可;
( 2)设分类论可得m的值;
(3)对m分类讨论可得结论.
【小问1详解】
值域为R,

∴
【小问2详解】
，.
设，，
①若即时，，
②若，即时，，舍去
③若即时，，无解，舍去
综上所示：
【小问3详解】
①显然，当时，在无零点，舍去
②当时，，舍去
③时，解分别为，，
只需控制，不要均大于等于1即可
Ⅰ：，，，舍去
Ⅱ：，无解，
综上：
14、
【解析】利用交集的运算解题即可.
【详解】交集即为共同的部分，即.
故答案为：
15、或.
【解析】根据集合的子集个数确定出方程解的情况，由此求解出参数值.
【详解】因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素，
当时，，所以，满足要求；
当时，，所以，此时方程解为，即，满足要求，
所以或，
故答案：或.
16、##
【解析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.
【详解】在上严格增，所以，不妨设，
因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，
也能构成三角形三边长，所以，
因为，所以，
因为对任意都成立，所以，所以，所以，
所以，所以m的最大值为
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）..（2）
【解析】
（1）由求得，作出函数图象可知的范围；
（2）由函数图象可知区间所属范围，列不等式示得结论．
【详解】（1）因为，所以.
函数大致图象如图所示

令，得.
故有3个不同的零点.
即方程有3个不同的实根.
由图可知.
（2）由图象可知，函数在区间和上分别单调递增.
因为，且函数在区间上为增函数，
所以可得，解得.
所以实数a的取值范围为.
【点睛】本题考查由函数值求参数，考查分段函数的图象与性质．考查零点个数问题与转化思想．属于中档题．
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据恒成立，计算可得的值；
（2）将不等式恒成立转化为在上恒成立，令，则转化为，利用对勾函数的性质求得的最大值即可.
【小问1详解】
因为函数（其中且）是奇函数，
，
即恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
整理得恒成立，
，解得或，
当时，显然不成立，
当时，，
由，可得或，
，满足是奇函数，
所以；
【小问2详解】
对任意的，都有不等式恒成立，
恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，

令，，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以在上的最大值为，
，
即实数取值范围是
19、（1）；（2），有最大值.
【解析】
由已知可得，.
（1）根据解可得答案；
（2）由化简为，根据的范围可得答案.
【详解】因为中，，，
所以，，.
又因为为以为直径的半圆上一点，
所以.

在中，，，.
作于点，则，
，

（1）若，则，
因为，
所以，
所以，整理得，
所以，.
（2）

因为，所以，
当时，即，有最大值.
【点睛】本题考查了三角函数的性质和解三角形，关键点是利用已知得到，，正确的利用两角和与差的正弦公式得到函数表达式的形式，考查了运算能力.

20、（1）选择模型②：，；
（2）441.
【解析】（1）根据表格数据的变化趋势选择函数模型，再将数据代入解析式求参数值，即可得解析式.
（2）由题设及（1）所得解析式求的解析式，再由分段函数的性质，结合分式型函数最值的求法求的最小值
【小问1详解】
由表格数据知，当时间x变换时，先增后减，而①；③；④都是单调函数，
所以选择模型②：，
由，可得，解得，
由，解得，，
所以日销售量与时间x的变化的关系式为
【小问2详解】
由（2）知：，
所以，
即，
当，时，
由基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立，
当，时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上，当时，函数取得最小值441
21、（1）（2）见解析
【解析】【试题分析】（1）由于函数的对称轴为且开口向上，所以按三类，讨论函数的最小值.（2）由（1）将分段函数的图象画出，由图象可判断出函数的最小值.
【试题解析】
（1）依题意知，函数是开口向上的抛物线，
∴函数有最小值，且当时，
下面分情况讨论函数在闭区间（）上的取值情况：
①当闭区间，即时，在处取到最小值，
此时；
②当，即时，在处取到最小值，此时；
③当闭区间，即时，在处取到最小值，
此时
综上，的函数表达式为
（2）由（1）可知，为分段函数，作出其图象如图：

由图像可知
【点睛】本题主要考查二次函数在动区间上的最值问题，考查分类讨论的数学思想，考查数形结合的数学思想方法.由于二次函数的解析式是知道的，即开口方向和对称轴都知道，而题目给定定义域是含有参数的动区间，故需要对区间和对称轴对比进行分类讨论函数的最值.