新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区新疆乌鲁木齐八一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区新疆乌鲁木齐八一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．若点在函数的图像上，则
A.8 B.6
C.4 D.2
3．若，分别是方程，的解，则关于的方程的解的个数是（ ）
A B.
C. D.
4．已知一个水平放置的平面四边形的直观图是边长为1的正方形，则原图形的周长为（）
A.6 B.8
C. D.
5．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
6．函数的零点个数为（  ）
A.1 B.2
C.3 D.4
7．已知函数f(x)=log3(x+1)，若f(a)=1，则a等于（）
A.0 B.1
C.2 D.3
8．当前，全球疫情仍处于大流行状态，多国放松管控给我国外防输入带来挑战，冬季季节因素导致周边国家疫情输入我国风险大大增加．现有一组境外输入病例数据：
x（月份）
1
2
3
4
5
y（人数）
97
159
198
235
261
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近（）
A. B.
C. D.
9．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数也可以表示成，则（）
A. B.
C. D.
10．函数，值域是()
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数f（x）=sin（ωx+）（其中ω＞0），若x=为函数f（x）的一个零点，且函数f（x）在（，）上是单调函数，则ω的最大值为______
12．若，则实数____________.
13．若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底）
14．已知偶函数，x∈R，满足f（1-x）=f（1+x），且当0＜x＜1时，f（x）=ln（x+），e为自然数，则当2＜x＜3时，函数f（x）的解析式为______
15．已知，，则____________
16．已知向量、满足：，，，则_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为a m的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点A，B分别在这两墙角线上，现有三种方案：

方案甲：如图1，围成区域为三角形；
方案乙：如图2，围成区域为矩形；
方案丙：如图3，围成区域为梯形，且.
（1）在方案乙、丙中，设，分别用x表示围成区域的面积，;
（2）为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由.
18．已知集合，
（1）当m=5时，求A∩B，；
（2）若，求实数m取值范围
19．已知角的终边上一点的坐标是，其中，求，，的值.
20．已知：，．设函数
求：（1）的最小正周期；
（2）的对称中心，
（3）若，且，求
21．已知函数过定点，函数的定义域为.
（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅲ）解不等式.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】利用数形结合的方法，作出函数的图象，简单判断即可.
【详解】依题意，函数的图象与直线有两个交点，
作出函数图象如下图所示，

由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.
故选：B.
【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.
2、B
【解析】由已知利用对数的运算可得tanθ，再利用倍角公式及同角三角函数基本关系的运用化简即可求值
【详解】解：∵点（8，tanθ）在函数y＝的图象上，tanθ，
∴解得：tanθ＝3，
∴2tanθ＝6，
故选B
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，倍角公式及同角三角函数基本关系的运用，属于基础题
3、B
【解析】∵，分别是方程，的解，
∴，，
∴，，
作函数与的图象如下：

结合图象可以知道，有且仅有一个交点，
故，即
分类讨论：
（）当时，方程可化为，
计算得出，
（）当时，方程可化，
计算得出，；
故关于的方程的解的个数是，
本题选择B选项.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围
4、B
【解析】由斜二测画法的规则，把直观图还原为原平面图形，再求原图形的周长
【详解】解：由斜二测画法的规则知，与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，所以在平面图中其在轴上，且其长度变为原来2倍，是，
其原来的图形如图所示；

所以原图形的周长是：
故选：
【点睛】本题考查了平面图形的直观图应用问题，能够快速的在直观图和原图之间进行转化，是解题的关键，属于中档题
5、B
【解析】要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，﹣2）
到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值
【详解】要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，
此最小值即为圆心（4，﹣2）到直线的距离m，
由点到直线的距离公式得 m==4，
由勾股定理求得切线长的最小值为=
故选B
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理的应用．解题的关键是理解
要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小
6、B
【解析】函数的定义域为，
且，
即函数为偶函数，
当时，，
设，则：

，
据此可得：，据此有：，
即函数是区间上的减函数，
由函数的解析式可知：，
则函数在区间上有一个零点，
结合函数的奇偶性可得函数在R上有2个零点.
本题选择B选项.
点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点
7、C
【解析】根据，解对数方程，直接得到答案.
【详解】∵,∴a+1=3，∴a=2.
故选：C.
点睛】本题考查了解对数方程，属于基础题.
8、D
【解析】根据表中数据可得每月人数的增长速度在逐月减缓，即可选出答案.
【详解】计算可知，每月人数增长分别为62，39，37，26，增长速度在逐月减缓，符合对数函数的特点，
故选：D
9、A
【解析】利用同角三角函数平方关系，诱导公式，二倍角公式进行求解.
【详解】
故选：A
10、A
【解析】令，求出g(t)的值域，再根据指数函数单调性求f(x)值域.
【详解】令，
则，
则，
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题意，为函数的一个零点，可得，且函数在，上是单调函数可得，即可求的最大值
【详解】解：由题意，为函数的一个零点，
可得，
则．
函数在，上是单调函数，可得，
即．
当时，可得的最大值为3
故答案为3．
【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图象及性质的应用，属于中档题．
12、5##
【解析】根据题中条件，由元素与集合之间的关系，得到求解，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，解得.
故答案为：.
13、##
【解析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.
【详解】在上严格增，所以，不妨设，
因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，
也能构成三角形三边长，所以，
因为，所以，
因为对任意都成立，所以，所以，所以，
所以，所以m的最大值为
故答案为：.
14、
【解析】由f（1-x）=f（1+x），再由偶函数性质得到函数周期，再求当2＜x＜3时f（x）解析式
【详解】因为f（x）是偶函数，满足f（1-x）=f（1+x），所以f（1+x）=f（x-1），所以f（x）周期是2
当2＜x＜3时，0＜x-2＜1，
所以f（x-2）=ln（x-2+）=f（x），
所以函数f（x）的解析式为f（x）=ln（x-2+）
故答案为f（x）=ln（x-2+）
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，考查利用函数的周期性求解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15、
【解析】，，
考点：三角恒等变换
16、.
【解析】将等式两边平方得出的值，再利用结合平面向量的数量积运算律可得出结果.
【详解】，
，
，
因此，，故答案为.
【点睛】本题考查利用平面向量数量积来计算平面向量的模，在计算时，一般将平面向量的模平方，利用平面向量数量积的运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；，.
（2）农户应该选择方案三，理由见解析.
【解析】（1）根据矩形面积与梯形的面积公式表示即可得答案；
（2）先根据基本不等式研究方案甲得面积的最大值为，再根据二次函数的性质结合（1）研究，的最大值即可得答案.
【小问1详解】
解：对于方案乙，当时，，
所以矩形的面积，；
对于方案丙，当时，，由于
所以，
所以梯形面积为
，.
【小问2详解】
解：对于方案甲，设，则，
所以三角形的面积为，
当且仅当时等号成立，
故方案甲的鸡圈面积最大值为.
对于方案乙，由（1）得，，
当且仅当时取得最大值.
故方案乙的鸡圈面积最大值为；
对于方案丙，
，.
当且仅当时取得最大值.
故方案丙的鸡圈面积最大值为；
由于
所以农户应该选择方案丙，此时鸡圈面积最大.
18、（1），
（2）
【解析】（1）根据集合的交集、并集运算即得解；
（2）转化为，分，两种情况讨论，列出不等式控制范围，求解即可
【小问1详解】
（1）当时，可得集合，，
根据集合的运算，得，.
【小问2详解】
解：由，可得，
①当时，可得，解得；
②当时，则满足，解得，
综上实数的取值范围是.
19、答案见解析
【解析】首先求出，再分和两种情况讨论，根据三角函数的定义计算可得；
详解】解：令，，
则，
①当时，
，，；
②当时，
，，；
20、（1）；（2）（k∈Z）；（3）或.
【解析】（1）
解：由题意，，
（1）函数的最小正周期为；
（2），得，所以对称中心；
（3）由题意，，得或，所以或
点睛：本题考查三角函数的恒等关系的综合应用．本题中，由向量的数量积，同时利用三角函数化简的基本方法，得到，利用三角函数的性质，求出周期、对称中心等
21、（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得解析式，根据奇函数的定义，即可得证；
（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；
（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为，
，定义域为，
.
函数为奇函数.
（Ⅱ）上单调递增.
证明：任取，且，
则.
，，
，，
，即，
函数在区间上是增函数.
（Ⅲ），即，
函数为奇函数

在上为单调递增函数，
， ，解得：.
故不等式的解集为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.