衡水中学2025年高一上数学期末检测模拟试题含解析.doc

衡水中学2025年高一上数学期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知表示不大于的最大整数，若函数在上仅有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2．函数的最小正周期是（）
A. B.
C. D.3
3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是
A. B.
C. D.
4．已知，，则下列不等式中恒成立的是（）
A. B.
C. D.
5．不等式成立x的取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
6．函数f(x)=-|sin 2x|在上零点的个数为(　　)
A.2 B.4
C.5 D.6
7．设，，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
8．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
其中正确命题的序号是（　　）
A.和 B.和
C.和 D.和
9．设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
10．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是（）
①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A.②④ B.①③
C.①④ D.②③
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．写出一个同时具有下列性质①②③的函数_________
①在R上单调递增；②；③
12．直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则__________
13．已知函数则的值等于____________.
14．函数的递减区间是__________.
15．设某几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________

16．若是定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则当时，_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的部分图象如图所示

（1）求的解析式及对称中心坐标：
（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，求的值域
18．设函数是定义域为的任意函数.
(1)求证：函数是奇函数，是偶函数；
(2)如果，试求(1)中的和的表达式.
19．如图，在四棱锥中，底面，，，，，是中点

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值
20．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图（1）所示；B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y与投资x的单位均为万元）

（1）分别求A，B两种产品的利润y关于投资x的函数解析式；
（2）已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产
①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？
②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得总利润最大？其最大利润为多少万元？
21．已知函数，，.
（1）若，解关于方程；
（2）设，函数在区间上的最大值为3，求的取值范围；
（3）当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据题意写出函数表达式为：，在上仅有一个零点分两种情况，情况一：在第一段上有零点， ，此时检验第二段无零点，故满足条件；情况二，第二段有零点，
以上两种情况并到一起得到：．
故答案为C．
点睛：在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．
2、A
【解析】根据解析式，由正切函数的性质求最小正周期即可.
【详解】由解析式及正切函数的性质，最小正周期.
故选：A.
3、A
【解析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.
【详解】设C(m，n),由重心坐标公式得重心为,
代入欧拉线方程得： ①
AB的中点为，，
所以AB的中垂线方程为
联立，解得
所以三角形ABC的外心为，
则，化简得： ②
联立①②得：或，
当时，BC重合，舍去，
所以顶点C的坐标是
故选A.
【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.
4、D
【解析】直接利用特殊值检验及其不等式的性质判断即可.
【详解】对于选项A，令，，但，则A错误；
对于选项B，令，，但，则B错误；
对于选项C，当时，，则C错误；
对于选项D，有不等式的可加性得，则D正确，
故选：D.
5、B
【解析】先求出时，不等式的解集，然后根据周期性即可得答案.
【详解】解：不等式，
当时，由可得，又最小正周期为，
所以不等式成立的x的取值集合为.
故选：B.
6、C
【解析】在同一坐标系内画出两个函数y1=与y2=|sin 2x|的图象，根据图象判断两个函数交点的个数，进而得到函数零点的个数
【详解】在同一直角坐标系中分别画出函数y1=与y2=|sin 2x|的图象，

结合图象可知两个函数的图象在上有5个交点，
故原函数有5个零点
故选C
【点睛】判断函数零点的个数时，可转化为判断函数和函数的图象的公共点的个数问题，解题时可画出两个函数的图象，通过观察图象可得结论，体现了数形结合在解题中的应用
7、C
【解析】根据指数函数与对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解.
【详解】由对数的性质，可得，
又由指数函数的性质，可得，即，且，
所以.
故选：C.
8、B
【解析】根据空间直线和平面平行、垂直的性质分别进行判断即可
【详解】①若m⊥α，n∥α，则m⊥n成立，故①正确，
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β不成立，两个平面没有关系，故②错误
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β不成立，可能m与β相交，故③错误，
④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ，成立，故④正确，
故正确是①④，
故选B
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行和垂直的判定和性质，考查学生的空间想象能力
9、D
【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
10、B
【解析】对于①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，②④根据运算性质可得均正确.
【详解】∵xy>0，∴①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，
②logax2＝2loga|x|，④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|，根据对数运算性质得两个都正确；
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（答案不唯一，形如均可）
【解析】由指数函数的性质以及运算得出.
【详解】对函数，因在R上单调递增，所以在R上单调递增；
，.
故答案为：（答案不唯一，形如均可）
12、
【解析】，所以，，故．填
13、18
【解析】根据分段函数定义计算
【详解】
故答案为：18
14、
【解析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性“同增异减”原则求出函数的单调递减区间即可得出答案
【详解】解：意可知，解得，
所以的定义域是，
令,对称轴是，
在上是增函数，在是减函数，
又在定义域上是增函数，
是和的复合函数，
的单调递减区间是，
故答案为：
【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调区间，属于基础题
15、4
【解析】根据三视图确定该几何体为三棱锥，由题中数据，以及棱锥的体积公式，即可求出结果.
【详解】由三视图可得：该几何体为三棱锥，
由题中数据可得：该三棱锥的底面是以为底边长，以为高的三角形，三棱锥的高为，
因此该三棱锥的体积为：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求体积的问题，熟记棱锥的结构特征，以及棱锥的体积公式即可，属于基础题型.
16、
【解析】根据得到，再取时，，根据函数奇偶性得到表达式.
【详解】是定义在R上的奇函数，则，故，
时，，则.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），()
（2）
【解析】（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得的值，根据周期求得的值，根据求得的值，由此求得的解析式，进而求出的对称中心；
（2）根据三角变换法则求得函数的解析式，再换元即可求出的值域
【小问1详解】
由图象可知：,解得：，
又由于,可得：,所以
由图像知,,又因为
所以,.所以
令(),得：()
所以的对称中心的坐标为()
【小问2详解】
依题可得，因为，
令，所以，即的值域为
18、 (1) 是奇函数，是偶函数.(2)
【解析】（1）计算，可得证（2）将f(x)代入（1）中表达式化简即可求得
试题解析：
(1)∵的定义域为，∴和的定义域都为.
∵，∴.
∴是奇函数，
∵，∴，
∴是偶函数.
(2)∵，由(1)得，

.
∵，
∴.
点睛：抽象函数的奇偶性证明，先看定义域是否关于远点对称，然后根据奇偶函数的等式性质进行计算便可判断出奇偶性，计算时要注意符号的变化.
19、（1）见解析；（2）.
【解析】（1）通过和得到 平面，利用等腰三角形的性质可得，可得结论；（2）过点作，垂足为，连接，证得是二面角的平面角，在中先求出，然后在中求出结论.
试题解析：(1)证明：在四棱锥中，因底面，平面，
故.由条件，，∴平面.
又平面，∴.
由，，可得.
∵是的中点，∴.
又，综上得平面.
（2）过点作，垂足为，连接，
由（1）知，平面，在平面内的射影是，则
因此是二面角的平面角
由已知，可得．设，可得，，
，
在中，∵，∴，则 ，
在中，.
20、（1）A产品的利润y关于投资x的函数解析式为：；
B产品的利润y关于投资x的函数解析式为：.
（2）①万元；②当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.
【解析】（1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可；
（2）①：利用代入法进行求解即可；
②利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.
【小问1详解】
因为A产品的利润y与投资x成正比，
所以设，由函数图象可知，当时，，
所以有，所以；
因为B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，
所以设，由函数图象可知：当时，，
所以有，所以；
【小问2详解】
①: 将200万元资金平均投入两种产品的生产，
所以A产品的利润为，
B产品的利润为，
所以获得总利润为万元；
②：设投入B产品的资金为万元，则投入A产品的资金为万元，
设企业获得的总利润为万元，
所以，令，
所以，
当时，即当时，有最大值，最大值为，
所以当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.
21、（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）将代入函数的解析式，并求出函数的定义域，利用对数的运算法则可解出方程；
（2）当时，，分、和三种情况讨论，去绝对值，分析函数在区间上的单调性，结合该函数在区间上的最大值为，可求出实数的取值范围；
（3）利用对数的运算性质可得出，可知该函数在区间上为减函数，由题意得出对任意的恒成立，求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，定义域为.
由，可得，可得，
解得或（舍去），因此，关于的方程的解为；
（2）当时，.
当时，对任意的恒成立，则，
此时，函数在区间上为增函数，，合乎题意；
当时，对任意的恒成立，则，
此时，函数在区间上为减函数，，解得，不合乎题意；
当时，令，得，此时，
所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数.
，，由于，所以，解得.
此时，.
综上所述，实数的取值范围是；
（3），
由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数，
所以，函数在区间上为减函数，
所以，，
由题意可得，可得，
所以，.
①当时，；
②当时，令，设，
可得.
下面利用定义证明函数在区间上的单调性，
任取、且，即，
，
，，，，即，
所以，函数在区间上单调递减，
当时，函数取得最大值.
综上所述，函数在上的最大值为，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查对数方程的求解、考查了利用带绝对值函数的最值求参数，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.