2026届福建省宁德市普通高中毕业班高一数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2026届福建省宁德市普通高中毕业班高一数学第一学期期末质量检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．方程的解所在的区间是（）
A. B.
C. D.
2．当时，的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知函数，，的图象如图所示，则、、的大小关系为（）

A. B.
C. D.
4．的值等于
A. B.
C. D.
5．函数f（x）=|x3|•ln的图象大致为（　　）
A. B.
C. D.
6．用区间 表示不超过的最大整数，如，设，若方程 有且只有3个实数根，则正实数 的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
7．且，则角是（）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
8．已知全集，集合，集合，则集合为
A. B.
C. D.
9．已知函数关于直线对称，且当时，恒成立，则满足的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．下列各角中，与角1560°终边相同的角是（）
A.180° B.-240°
C.-120° D.60°
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的递减区间是__________.
12．已知正数、满足，则的最大值为_________
13．已知函数
①______；
②函数与函数，二者图象有______个交点
14．已知，则_____.
15．已知函数对于任意，都有成立，则___________
16．给出以下四个结论：
①若函数的定义域为，则函数的定义域是；
②函数（其中，且）图象过定点；
③当时，幂函数的图象是一条直线；
④若，则的取值范围是；
⑤若函数在区间上单调递减，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：
条件①：的图象关于点对称；
条件②：的图象关于直线对称
（1）请写出你选择的条件，并求的解析式；
（2）在（1）的条件下，求的单调递增区间
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
18．已知函数，且
（1）证明函数在上是增函数
（2）求函数在区间上的最大值和最小值
19．已知圆的方程为：
（1）求圆的圆心所在直线方程一般式；
（2）若直线被圆截得弦长为，试求实数的值；
（3）已知定点，且点是圆上两动点，当可取得最大值为时，求满足条件的实数的值
20．已知函数.
（1）判断奇偶性；
（2）当时，判断的单调性并证明；
（3）在（2）的条件下，若实数满足，求的取值范围.
21．已知函数的周期是.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上的最值及其对应的的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】作差构造函数，利用零点存在定理进行求解.
【详解】令，
则，
，
因为，
所以函数的零点所在的区间是，
即方程的解所在的区间是.
故选：B.
2、B
【解析】利用基本不等式直接求解.
【详解】，，又
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为
故选：B
3、A
【解析】由指数函数、幂函数的图象和性质，结合图象可得，，，问题得以解决
【详解】由图象可知：，
的图象经过点，∴
当时，，
∴，
故选：
【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键掌握指数函数，对数函数和幂函数的图象和性质，属于基础题.
4、C
【解析】因为，所以可以运用两角差的正弦公式、余弦公式，求出的值.
【详解】，
，
，故本题选C.
【点睛】本题考查了两角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函数值.其时本题还可以这样解：
，
.
5、A
【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊点的函数值是否对应进行排除即可
【详解】f（-x）=|x3|•ln=-|x3|•ln=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，
f（）=ln=ln＜0，排除C，
故选A
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键
6、A
【解析】由方程的根与函数交点的个数问题，结合数形结合的数学思想方法，作图观察y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点时k的取值范围，即可得解.
【详解】方程{x}+kx﹣1＝0有且只有3个实数根等价于y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象
有且只有3个交点，
当0≤x＜1时，{x}＝x，当1≤x＜2时，
{x}＝x﹣1，当2≤x＜3时，{x}＝x﹣2，
当3≤x＜4时，{x}＝x﹣3，以此类推
如上图所示，实数k的取值范围为：
k，
即实数k的取值范围为：（，]，
故选A

【点睛】本题考查了方程的根与函数交点的个数问题，数形结合的数学思想方法，属中档题
7、D
【解析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案.
【详解】由，可得为第二或第四象限角；
由，可得为第一、第四及轴非负半轴上的角
∴取交集可得，是第四象限角
故选：D
8、C
【解析】 ,选C
9、B
【解析】根据题意，得到函数为偶函数，且在为单调递减函数，则在为单调递增函数，把不等式，转化为，即可求解.
【详解】由题意，函数关于直线对称，所以函数为偶函数，
又由当时，恒成立，
可得函数在为单调递减函数，则在为单调递增函数，
因为，可得，即或，
解得或，即不等式的解集为，
即满足的x的取值范围是.
故选：B.
10、B
【解析】终边相同的角，相差360°的整数倍，据此即可求解.
【详解】与1560°终边相同的角为，，
当时，.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性“同增异减”原则求出函数的单调递减区间即可得出答案
【详解】解：意可知，解得，
所以的定义域是，
令,对称轴是，
在上是增函数，在是减函数，
又在定义域上是增函数，
是和的复合函数，
的单调递减区间是，
故答案为：
【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调区间，属于基础题
12、
【解析】利用均值不等式直接求解.
【详解】因为且，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.
故答案为：.
13、 ①.##-0.25 ②.3
【解析】①根据函数解析式，代值求解即可；
②在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，即可数形结合求得结果.
【详解】①由题可知：；
②根据的解析式，在同一坐标系下绘制与的图象如下所示：

数形结合可知，两个函数有个交点.
故答案为：；.
14、3
【解析】利用诱导公式求出，再将所求值的式子弦化切，代值计算即得.
【详解】因，所以.
故答案为：3.
15、##
【解析】由可得时，函数取最小值，由此可求.
【详解】，其中，．因为，所以，，解得，，则
故答案为：.
16、①④⑤
【解析】根据抽象函数的定义域，对数函数的性质、幂函数的定义、对数不等式的求解方法，以及复合函数单调性的讨论，对每一项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对①：因为，，所以的定义域为，
令，故，即的定义域为，故①正确；
对②：当，，图象恒过定点，故②错误；
对③：若，则的图象是两条射线，故③错误；
对④：原不等式等价于，故（无解）或，
解得，故④正确；
对⑤：实数应满足，解得，故⑤正确；
综上所述：正确结论的序号为①④⑤.
【点睛】（1）抽象函数的定义域是一个难点，一般地，如果已知的定义域为，的定义域为，那么的定义域为；如果已知的定义域为，那么的定义域可取为.
（2）形如的复合函数，如果已知其在某区间上是单调函数，我们不仅要考虑在给定区间上单调性，还要考虑到其在给定区间上总有成立.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据周期可得，选择条件①：由可求出；选择条件②：由可求出；
（2）令可求出单调递增区间.
【小问1详解】
的最小正周期为，则.
选择条件①：
因为的图象关于点对称，
所以，则，
因为，所以，则；
选择条件②：
因为的图象关于直线对称，
所以，则，、
因为，所以，则；
【小问2详解】
由（1），
令，
解得，
所以的单调递增区间为.
18、（1）证明见解析；（2）的最大值为，最小值为.
【解析】（1）根据求出，求得，再利用函数单调性的定义，即可证得结论；
（2）根据在上的单调性，求在上的最值即可.
【详解】解：（1）因为，可得，解得，所以，
任取，则，
因为，所以，可得，即且，
所以，即，所以在上是增函数；
（2）由（1）知，在上是增函数，
同理，任取时，，其中，故，即且，故，即，所以在上是减函数，故在上是减函数，在上是增函数，又，，
所以的最大值为，最小值为.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性方法：
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值——作差——变形——定号——下结论.
19、（1）；
（2）或；
（3）.
【解析】（1）配方得圆的标准方程，可得圆心坐标满足，消去可得圆心所在直线方程；
（2）由弦长、半径结合勾股定理求出圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，两者相等可解得m；
（3）根据题意判断出四边形PACB是正方形，进而求得，由两点间距离公式可求得m
【小问1详解】
由已知圆C的方程为：，所以圆心为，
所以圆心在直线方程为.
【小问2详解】
（2）由已知r=2，又弦长为，所以圆心到直线距离，所以，解得或.
【小问3详解】
由可取得最大值为可知点为圆外一点，所以，
当PA、PB为圆的两条切线时，∠APB取最大值.又，所以四边形PACB为正方形，由r=2得到，即P到圆心C的距离，解得.
20、（1）奇函数（2）增函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）求出函数的定义域，再判断的关系，即可得出结论；
（2）任取且，利用作差法比较的大小即可得出结论；
（3）根据函数的单调性列出不等式，即可得解，注意函数的定义域.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，
因为，
所以函数是奇函数；
小问2详解】
解：函数是上单调增函数，
证：任取且，则

，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数是上的单调增函数；
【小问3详解】
解：由（2）知函数是上的单调增函数，
所以，解得，
所以的取值范围为.
21、（1）；（2）当时，；当时，.
【解析】（1）先由周期为求出,再根据,进行求解即可；
（2）先求出,可得,进而求解即可
【详解】（1）解：∵,∴,
又∵,∴,∴,
∵,,
∴,,
∴,,
∴的单调递增区间为
（2）解：∵∴,∴,
∴,
∴,
∴,
当时,,
当,即时,
【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题