青海省平安县第一高级中学2025-2026学年高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

青海省平安县第一高级中学2025-2026学年高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的定义域是（）
A. B.
C D.
2．下列表示正确的是
A.0∈N B.∈N
C.–3∈N D.π∈Q
3．幂函数的图象不过原点，则（）
A. B.
C.或 D.
4．
A. B.
C.1 D.
5．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
6．已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数m的值是（）
A或2 B.2
C. D.1
7．三个数的大小关系为（）
A. B.
C. D.
8．已知一个水平放置的平面四边形的直观图是边长为1的正方形，则原图形的周长为（）
A.6 B.8
C. D.
9．已知函数是上的增函数（其中且），则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．已知设a=log30.2，b=30.2，c=0.23，则a，b，c的大小关系是（）
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b> c>a
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，用m，n表示为___________.
12．函数满足，则值为_____.
13．函数的最大值为____________
14．已知函数的两个零点分别为，则___________.
15．当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是________
16．写出一个值域为，在区间上单调递增的函数______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．回答下列各题
（1）求值：
（2）解关于的不等式：（其中）
18．（1）计算：；
（2）已知，，求，的值.
19．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，且，设.

（1）当时，求证：；
（2）求的最大值.
20．已知函数f（x）=
（1）若f（2）=a，求a的值；
（2）当a=2时，若对任意互不相等实数x1，x2∈（m，m+4），都有＞0成立，求实数m的取值范围；
（3）判断函数g（x）=f（x）-x-2a（＜a＜0）在R上的零点的个数，并说明理由
21．化简求值
（1）；
（2）.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】解不等式组即可得定义域.
【详解】由得：
所以函数的定义域是.
故选：B
2、A
【解析】根据自然数集以及有理数集的含义判断数与集合关系.
【详解】N表示自然数集，在A中，0∈N，故A正确；
在B中，，故B错误；
在C中，–3∉N，故C错误；
Q表示有理数集，在D中，π∉Q，故D错误
故选A
【点睛】本题考查自然数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.
3、B
【解析】根据幂函数的性质求参数.
【详解】是幂函数
，解得或
或
幂函数的图象不过原点
，即
故选：B
4、A
【解析】由题意可得：

本题选择A选项.
5、D
【解析】根据定义先求出l1，l2与圆相切，再求出l1，l2与圆外离，结合定义即可得到答案.
【详解】圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝b2.由两直线平行，可得a(a＋1)－6＝0，解得a＝2或a＝－3.当a＝2时，直线l1与l2重合，舍去；当a＝－3时，l1：x－y－2＝0，l2：x－y＋3＝0.由l1与圆C相切，得，由l2与圆C相切，得.当l1、l2与圆C都外离时，.所以，当l1、l2与圆C“平行相交”时，b满足，故实数b的取值范围是(，)∪(，＋∞)
故选D.
6、C
【解析】由函数是幂函数可得，解得或2，再讨论单调性即可得出.
【详解】是幂函数，，解得或2，
当时，在上是减函数，符合题意，
当时，在上是增函数，不符合题意，
.
故选：C.
7、A
【解析】利用指数对数函数的性质可以判定,从而做出判定.
【详解】因为指数函数是单调增函数，是单调减函数，对数函数是单调减函数，所以，
所以，
故选：A
8、B
【解析】由斜二测画法的规则，把直观图还原为原平面图形，再求原图形的周长
【详解】解：由斜二测画法的规则知，与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，所以在平面图中其在轴上，且其长度变为原来2倍，是，
其原来的图形如图所示；

所以原图形的周长是：
故选：
【点睛】本题考查了平面图形的直观图应用问题，能够快速的在直观图和原图之间进行转化，是解题的关键，属于中档题
9、D
【解析】利用对数函数、一次函数的性质判断的初步取值范围，再由整体的单调性建立不等式，构造函数，利用函数的单调性求解不等式，从求得的取值范围.
【详解】由题意必有，可得，且，
整理为．令
由换底公式有，

由函数为增函数，
可得函数为增函数，
注意到，
所以由，得，
即，实数a的取值范围为
故选:D.
10、D
【解析】由指数和对数函数单调性结合中间量0和1来比较a，b，c的大小关系即可有结果.
【详解】因为，，
所以
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】结合换底公式以及对数的运算法则即可求出结果.
详解】，
故答案为：.
12、
【解析】求得后，由可得结果.
【详解】，，.
故答案为：.
13、
【解析】利用二倍角公式将化为，利用三角函数诱导公式将化为，然后利用二次函数的性质求最值即可
【详解】因为，
所以当时，取到最大值.
【点睛】本题考查了三角函数化简与求最值问题，属于中档题
14、
【解析】依题意方程有两个不相等实数根、，利用韦达定理计算可得；
【详解】解：依题意令，即，
所以方程有两个不相等实数根、，
所以，，
所以；
故答案为：
15、
【解析】由解析式可知曲线为半圆，直线恒过；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围.
【详解】
为恒过的直线
则曲线图象如下图所示：

由图象可知，当直线斜率时，曲线与直线有两个相异交点
与半圆相切，可得：
解得：
又
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过数形结合的方式找到临界状态，易错点是忽略曲线的范围，误认为曲线为圆.
16、
【解析】综合考虑值域与单调性即可写出满足题意的函数解析式.
【详解】，
理由如下：
为上的减函数，且，
为上的增函数，且，
，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）2；（2）.
【解析】（1）根据指数幂的运算法则和对数的运算性质计算即可；
（2）不等式化为，根据不等式对应方程的两根写出不等式的解集
【详解】（1）

（2）不等式可化为，
不等式对应方程的两根为，，且（其中）；
所以原不等式的解集为
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据指数运算与对数运算的法则计算即可；
（2）先根据指对数运算得，进而，再将其转化为求解即可.
【详解】解：（1）原式＝
＝
（2）
∴，，化为：，
，解得
∴
19、（1）见解析（2）
【解析】（1）以为坐标原点建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，即得，得证；（2）由三角函数的定义可设，，再利用三角函数的图像和性质求解.
【详解】
以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，，，.
当时，，则，，
∴.
∴.
（2）由三角函数的定义可设，
则，，，
从而，
所以，
因为，故当时，取得最大值2.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查向量垂直的坐标表示，考查平面向量的数量积运算和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20、（1）；（2）；（3）个零点，理由见解析.
【解析】（1）分类讨论求出f（2），代入 f（2）＝a，解方程可得；
（2）a＝2时，求出分段函数的增区间；“对任意互不相等的实数x1，x2∈（m，m+4），都有0成立”⇔f（x）在（m，m+4）上是增函数，根据子集关系列式可得m的范围；
（3）按照x≥a和x＜a这2种情况分别讨论零点个数
【详解】解：（1）因为f（2）=a，
当a≤2时，4-2（a+1）+a=a，解得a=1符合；
当a＜2时，-4+2（a+1）-a=a，此式无解；
综上可得：a=1
（2）当a=2时，f（x）=，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，）和（2，+∞），
又由已知可得f（x）在（m，m+4）上单调递增，
所以m+4≤，或m≥2，
解得m≤-或m≥2，
∴实数m的取值范围是（-∞，-]∪[2，+∞）；
（3）由题意得g（x）=
①当x≥a时，对称轴为x=，
因为-，
所以f（a）=a2-a2-2a-a=-3a＞0，
∵-a=＞a，
∴f（）=-=-＜0，
由二次函数可知，g（x）在区间（a，）和区间（，+∞）各有一个零点；
②当x＜a时，对称轴为x=＞a，
函数g（x）在区间（-∞，a）上单调递增且f（）=0，
所以函数在区间（-∞，a）内有一个零点
综上函数g（x）=f（x）-x-2a（-＜a＜0）在R上有3个零点
【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用及函数零点问题，考查了分类讨论思想的运用，属于难题
21、（1）109；（2）.
【解析】（1）利用指数幂运算和分数指数幂与根式的转化，化简求值即可；
（2）利用对数运算性质化简求值即可.
【详解】解：（1）原式；
（2）原式.