2026届上海市长宁区、嘉定区数学高一第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2026届上海市长宁区、嘉定区数学高一第一学期期末综合测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若表示空间中两条不重合的直线，表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
2．若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（）

A. B.
C. D.
4．设四边形为平行四边形，，若点满足，，则
A. B.
C. D.
5．函数的大致图像如图所示，则它的解析式是

A. B.
C. D.
6．函数图像大致为（）
A. B.
C. D.
7．已知，且，则
A. B.
C. D.
8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为　　
A. B.
C. D.
9．已知圆方程为，过该圆内一点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是（）
A.4 B.
C.6 D.
10．若集合，集合，则（）
A.{5，8} B.{4，5，6，8}
C.{3，5，7，8} D.{3，4，5，6，7，8}
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．记函数的值域为，在区间上随机取一个数，则的概率等于__________
12． “”是“”的_______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”中的一个）
13．如图，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得逆时针旋转得，则__________，点的横坐标为_________

14．已知，若，则_______；若，则实数的取值范围是__________
15．函数，的图象恒过定点P，则P点的坐标是_____.
16．函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，求的值.
18．已知函数且点（4,2）在函数f（x）的图象上.
(1)求函数f(x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)<1的解集；
(3)若方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围

19．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.

(1)求证：平面；
(2)求与平面所成的角；
(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为（）件.当时，年销售总收入为（）万元；当时，年销售总收入为万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元.(年利润=年销售总收入一年总投资)
(1)求(万元)与(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?
21．已知正方体，

（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成的角
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断
【详解】对于A，若n⊂平面α，显然结论错误，故A错误；
对于B，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n或m，n异面，故B错误；
对于C，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C正确；
对于D，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n位置关系不能确定，故D错误
故选C
【点睛】本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题
2、C
【解析】根据交集定义即可求出.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
3、D
【解析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.
【详解】因为点C为的中点，，所以，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，
所以的取值范围是,
故选：D.
4、D
【解析】令，则，，
故
选D
5、D
【解析】由图易知：函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，排除A，B；
的图象为开口向上的抛物线，显然不适合，
故选D
点睛：识图常用方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题
6、B
【解析】先求出函数的定义域，判断出函数为奇函数，排除选项D，由当时，，排除A，C选项，得出答案.
【详解】解析：定义域为，
，所以为奇函数，可排除D选项，
当时，，，由此，排除A，C选项，
故选： B
7、A
【解析】由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得的值
【详解】解：∵tan（α），则tanα，
∵tanα，sin2α+cos2α＝1，α∈（，0），
可得 sinα
∴
2sinα＝2（）
故选A
点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础题
8、A
【解析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标
【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，
三角形ABC的重心为（，），
代入欧拉线方程得：2＝0，
整理得：m﹣n+4＝0 ①
AB的中点为（1，2），直线AB的斜率k2，
AB的中垂线方程为y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0
联立，解得
∴△ABC的外心为（﹣1，1）
则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，
整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8 ②
联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4
当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去
∴顶点C的坐标是（﹣4，0）
故选A
【点睛】本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法
9、C
【解析】由圆的方程可知圆心为,半径,则过圆内一点的最长弦为直径,最短弦为该点与圆心连线的垂线段,进而求解即可
【详解】由题,圆心为,半径,
过圆内一点的最长弦为直径,故；
当时,弦长最短,
因为,所以,
因为在直径上,所以,
所以四边形ABCD的面积是,
故选:C
【点睛】本题考查过圆内一点弦长的最值问题,考查两点间距离公式的应用,考查数形结合思想
10、D
【解析】根据并集的概念和运算即可得出结果.
【详解】由，
得.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】因为；
所以的概率等于
点睛：
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率
12、充分不必要
【解析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】由得，解得或，
因Ü或，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
13、 ①.##0.96 ②.
【解析】由终边上的点得，，应用二倍角正弦公式求，根据题设描述知在的终边上，结合差角余弦公式求其余弦值即可得横坐标.
【详解】由题设知：，，
∴，
所在角为，则，
∴点的横坐标为.
故答案为：，.
14、 ①. ②.
【解析】先判断函数的奇偶性，由求解；再根据函数的单调性，由求解.
【详解】因为的定义域为R，且，
，所以是奇函数，
又，则-2；
因为在上是增函数，
所以在上是增函数，又是R上的奇函数，
所以在R上递增，且，
所以由，得，
即，所以，
解得或，
所以实数的取值范围是，
故答案为：，
15、
【解析】令，解得，且恒成立，所以函数的图象恒过定点；故填.
16、
【解析】先化简，然后分析的奇偶性，将的最大值和小值之和转化为和有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出的取值范围.
【详解】，
令，定义域为关于原点对称，
∴，
∴为奇函数，∴，
∴，
，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于函数奇偶性的判断，同时需要注意到奇函数在定义域上如果有最值，那么最大值和最小值一定是互为相反数.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】首先根据正切两角和公式得到，再利用诱导公式和二倍角公式化简得到，再分子、分母同除以求解即可.
【详解】因为，解得.
所以
.
18、（1）见解析； （2）；（3）.
【解析】（1）根据点在函数的图象上得到，于是可得解析式，进而可画出函数的图象；（2）将不等式化成不等式组求解可得所求；（3）结合图象得到的取值范围后再求出的范围
【详解】（1）∵点在函数图象上，
∴，
∴
∴ .
画出函数的图象如下图所示

（2）不等式等价于或
解得，或，
所以原不等式的解集为
（3）∵方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，
∴函数的图象与函数的图象有两个不同的交点
结合图象可得，
解得
∴实数的取值范围为
【点睛】（1）本题考查函数图象的画法和图象的应用，根据解析式画图象时要根据描点法进行求解，画图时要熟练运用常见函数的图象
（2）根据方程根的个数（函数零点的个数）求参数的取值时，要注意将问题进行转化两函数图象交点个数的问题，然后画出函数的图象后利用数形结合求解
19、 (1)证明见解析；(2)30°；(3)存在，.
【解析】(1)首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可求解；
(2)根据(1)中结论找出所求角，再结合已知条件即可求解；
(3)首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解.
【详解】(1)因为，是的中点，所以，
故四边形是菱形，从而，
所以沿着翻折成后，，
又因为，
所以平面，
由题意，易知，，
所以四边形是平行四边形，故，
所以平面；
(2) 因为平面，
所以与平面所成的角为，
由已知条件，可知，，
所以是正三角形，所以，
所以与平面所成的角为30°；
(3) 假设线段上是存在点，使得平面，
过点作交于，连结，，如下图：

所以，所以，，，四点共面，
又因平面，所以，
所以四边形为平行四边形，故，
所以为中点，
故在线段上存在点，使得平面，且.
20、（1）（）；（2）当年产量为件时，所得年利润最大，最大年利润为万元.
【解析】（1）根据已知条件，分当时和当时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；
（2）根据（1）中函数解析式，求出最大值点和最大值即可
【详解】（1）由题意得：当时，，
当时，，
故（）；
（2）当时，，
当时，，
而当时，，
故当年产量为件时，所得年利润最大，最大年利润为万元.
【点睛】本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题.
21、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）即为异面直线与所成的角，求出即可
【详解】（1）证：在正方体中，
，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵平面，平面；
∴平面；
（2）解：∵，
∴即为异面直线与所成的角，
设正方体的边长为，
则易得，
∴为等边三角形，
∴，
故异面直线与所成的角为
【点睛】本题主要考查线面平行的判定与异面直线所成的角，属于基础题