2025年华南师大附中数学高一上期末综合测试试题含解析.doc

2025年华南师大附中数学高一上期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．当时，函数（，），取得最小值，则关于函数，下列说法错误的是（ ）
A.是奇函数且图象关于点对称
B.偶函数且图象关于点（π，0）对称
C.是奇函数且图象关于直线对称
D.是偶函数且图象关于直线对称
2．直线的倾斜角为
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3．命题“，”的否定为（）
A.， B.，
C， D.，
4．已知实数，且，则的最小值是（ ）
A.6 B.
C. D.
5．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（ ）
A. B.
C. D.
6．函数的值域为（ ）
A.（0，＋∞） B.（－∞，1）
C.（1，＋∞） D.（0，1）
7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为

A. B.
C. D.
8．函数是偶函数且在上单调递减，，则的解集为（）
A. B.
C D.
9．下列函数中，是幂函数的是（）
A. B.
C. D.
10．以下元素的全体不能够构成集合的是
A.中国古代四大发明 B.周长为的三角形
C.方程的实数解 D.地球上的小河流
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数是偶函数，则实数的值是__________
12．直线,当变动时,所有直线都通过定点______.
13．写出一个最小正周期为2的奇函数________
14．某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，根据垃圾分类要求，下述格点为垃圾回收点：，，，，，.请确定一个格点（除回收点外）___________为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短.

15．已知平面向量，，若，则______
16．直线与直线的距离是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用e（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该船每年捕捞的总收入为50万元
（1）该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？
（2）若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？
18．已知函数，
（1）求函数的最大值及取得最大值时的值；
（2）若方程在上的解为，，求的值
19．已知函数的部分图象如图所示，其中.

（1）求值；
（2）若角是的一个内角，且，求的值.
20．已知
（1）化简；
（2）若，求值
21．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为当时，函数取得最小值，
所以，因为，
所以令，即，所以，
设，
因为，
所以函数是奇函数，因此选项B、D不正确；
因为，，
所以，因此函数关于直线对称，因此选项A不正确，
故选：C
2、A
【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.
故选A.
3、B
【解析】根据特称命题的否定为全称命题可得.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题，
可得命题“，”的否定为“，”
故选：B.
4、B
【解析】构造，利用均值不等式即得解
【详解】，
当且仅当，即，时等号成立
故选：B
【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用 ，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
5、C
【解析】利用对数的运算性质求出，由此可得答案.
【详解】
,
所以.
故选：C
6、D
【解析】将函数解析式变形为，再根据指数函数的值域可得结果.
【详解】，
因为，所以，所以，
所以函数的值域为.
故选：D
7、D
【解析】由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，
且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，
则圆锥的母线长为，
∴该几何体的表面积S=π×22+2π×2×2+π×2×2=(12+4)π，
故选D.
8、D
【解析】分析可知函数在上为增函数，且有，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数是偶函数且在上单调递减，则该函数在上为增函数，
且，
由可得，
所以，，可得或，解得或.
因此，不等式的解集为.
故选：D.
9、B
【解析】根据幂函数的定义辨析即可
【详解】根据幂函数的形式可判断B正确，A为一次函数，C为指数函数，D为对数函数
故选：B
10、D
【解析】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，选D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】函数是偶函数，，即，解得，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性
12、 (3,1)
【解析】
将直线方程变形为,得到,解出,即可得到定点坐标.
【详解】由,得,
对于任意,式子恒成立,则有,
解出,
故答案为:(3,1).
【点睛】本题考查直线过定点问题,直线一定过两直线、的交点.
13、
【解析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数，，再利用周期计算，选择一个作答即可.
【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数，，
满足，即是奇函数；
根据最小正周期，可得.
故函数可以是中任一个，可取.
故答案为：.
14、
【解析】根据题意，设满足题意得格点为，这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和为，故，再分别求和的最小值时的即可得答案.
【详解】解：设满足题意得格点为，这6个回收点沿街道到回收站之间路程和为，
则，
令，由于其去掉绝对值为一次函数，故其最小值在区间端点值，
所以代入得，
所以当时，取得最小值，
同理，令，
代入得
所以当或时，取得最小值，
所以当，或时，这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最小，
由于是一个回收点，故舍去，
所以当，这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最小，
故格点为
故答案为：
15、
【解析】求出，根据，即，进行数量积的坐标运算，列出方程，即可求解
【详解】由题意知，平面向量，，则；
因为，所以，解得
故答案为
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用，其中解答中根据平面向量垂直的条件，得到关于的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
16、
【解析】

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）该渔船捕捞3年开始盈利；
（2）万元.
【解析】（1）由题设可得，解一元二次不等式即可确定第几年开始盈利.
（2）由平均盈利额，应用基本不等式求最值注意等号成立条件，进而计算总收益.
【小问1详解】
由题意，渔船捕捞利润，解得，
又，，故，
∴该渔船捕捞3年开始盈利.
【小问2详解】
由题意，平均盈利额，当且仅当时等号成立，
∴在第7年平均盈利额达到最大，总收益为万元.
18、（1）当时，函数取得最大值为；（2）.
【解析】（1）利用同角三角函数的平方关系化简，再利用换元法即可求最值以及取得最值时的值；
（2）求出函数的对称轴，得到和的关系，利用诱导公式化简可得答案.
【详解】（1），
令，
可得，对称轴为 ，开口向下，
所以在上单调递增，
所以当，
即，时，，
所以当时，函数取得最大值为；
（2）令，可得，
当时，是的对称轴，
因为方程在上的解为，，
，，
且，所以，所以，
所以
，
所以的值为.
19、（1），，，
（2）
【解析】（1）根据图象的特征，列式确定的值；
（2）根据（1）的结果，代入解析式，得，结合同角三角函数基本关系式，即可求解.
【小问1详解】
由图象可知，，解得：，，
，解得：，
当时，，得，
因为，所以，
综上可知，，，，；
【小问2详解】
由（1）可知，
，即,
因为，解得：
20、（1）
（2）.
【解析】（1）根据诱导公式及同角关系式化简即得；
（2）根据可知，从而求得结果.
【小问1详解】
由诱导公式可得：
；
【小问2详解】
由于，有，得，
，可得
故的值为.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）利用诱导公式直接化简即可，然后弦化切；
（2）由（1）知，，对齐次式进行弦化切求值.
【详解】（1）∵

而，
∴
∵，∴，
∴，
∴.
（2）..
【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)选择合适的公式进行化简求值