2026届新疆阿克苏市沙雅县二中数学高二第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2026届新疆阿克苏市沙雅县二中数学高二第一学期期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线的一条渐近线方程为.则（）
A. B.
C.2 D.4
2．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知函数的部分图象如图所示，且经过点，则（）

A.关于点对称
B.关于直线对称
C.为奇函数
D.为偶函数
4．若函数在上有两个极值点，则下列选项中不正确的为（）
A. B.
C. D.
5．圆的圆心和半径分别是（）
A.， B.，
C.， D.，
6．如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法有（ ）
A
B
C
A.3种 B.6种
C.12种 D.27种
7．为了解青少年视力情况，统计得到名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数，则该组数据的中位数是（ ）

A. B.
C. D.
8．执行如图所示的程序框图，若输入t的取值范围为，则输出s的取值范围为（）

A. B.
C. D.
9．已知过点的直线l与圆相交于A，B两点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是（ ）
A.1024 B.256
C.2 D.512
11．中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”，如图，一位古人在从右到左（即从低位到高位）依次排列的红绳子上打结，满六进一，用6来记录每年进的钱数，由图可得，这位古人一年收入的钱数用十进制表示为（）

A.180 B.179
C.178 D.177
12．在等腰中，在线段斜边上任取一点，则线段的长度大于的长度的概率（）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与直线互相垂直，则___________.
14．如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1、P2、P3、P4四个点，F1和F2分别是C1的左右焦点，也是C2的左右焦点，并且六边形是正六边形.若椭圆C1的方程为，则双曲线方程为______.

15．椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，，则的取值范围是___________.
16．命题“任意，”为真命题，则实数a的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知为坐标原点，圆的圆心在轴上，点、均在圆上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于两个不同的点、，点在圆上，求面积的最大值.
18．（12分）如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点、作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点

（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求该圆锥的体积
19．（12分）已知椭圆，离心率为，短半轴长为1
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线，问：在椭圆C上是否存在点T，使得点T到直线l的距离最大？若存在，请求出这个最大距离；若不存在，请说明理由
20．（12分）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点

（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值
21．（12分）设椭圆：的左顶点为，右顶点为.已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截得的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，点关于轴对称点为点，直线与直线交于点，若直线斜率大于，求直线的斜率的取值范围.
22．（10分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点

（1）求证：平面，并求直线与平面的距离；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】求出渐近线方程为，列出方程求出.
【详解】双曲线的渐近线方程为，因为，所以，所以.
故选：C
2、B
【解析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.
【详解】根据题意，设点关于直线的对称点，
则，解得，即.
根据椭圆的定义可知，，
当、、三点共线时，长轴长取最小值，即，
由且，得，
因此椭圆C的短轴的最小值为.
故选：B.
3、D
【解析】根据图象求得函数解析式，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，可得，
根据图形走势，可得，解得，
令，可得，所以，
由，所以A不正确；
由，可得不是函数的对称轴，所以B不正确；
由，此时函数为非奇非偶函数，所以C不正确；
由为偶函数，所以D正确.
故选：D .
4、C
【解析】求导，根据题意可得，从而可得出答案.
【详解】解：，
因为函数在上有两个极值点，
所以，即.
所以ABD正确，C错误.
故选：C.
5、D
【解析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.
【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.
故选：D.
6、C
【解析】根据给定信息，按用色多少分成两类，再分类计算作答.
【详解】计算不同的涂色方法数有两类办法：
用3种颜色，每个矩形涂一种颜色，有种方法，用2色，矩形A，C涂同色，有种方法，
由分类加法计数原理得(种)，
所以不同的涂法有12种.
故选：C
7、B
【解析】将样本中的数据由小到大进行排列，利用中位数的定义可得结果.
【详解】将样本中的数据由小到大进行排列，依次为：、、、、、、、、、，
因此，这组数据的中位数为.
故选：B.
8、A
【解析】由程序图可得，，再分段求解函数的值域，即可求解
【详解】由程序图可得，
当时，，，当时，，，
综上所述，的取值范围为，
故选：A
9、D
【解析】经判断点在圆内，与半径相连，所以与垂直时弦长最短，最长为直径
【详解】将代入圆方程得：，所以点在圆内，连接，当时，弦长最短，，所以弦长，当过圆心时，最长等于直径8，所以的取值范围是
故选：D
10、D
【解析】设数列的公比为q，由已知建立方程求得q，再利用等比数列的通项公式可求得答案.
【详解】解：因为数列是等比数列，是其前n项之积， ，设数列的公比为q，
所以，解得，
所以，
故选：D.
11、D
【解析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从
右到左的数分别为、、，然后把它们相加即可.
【详解】
（个）.
所以古人一年收入的钱数用十进制表示为个.
故选：D.
12、C
【解析】利用几何概型的长度比值，即可计算.
【详解】设直角边长，斜边，
则线段的长度大于的长度的概率.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】由直线垂直的性质求解即可.
【详解】由题意得，解得.
故答案为：
14、
【解析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，然后根据为正六边形求得点的坐标，即点在双曲线上，然后解出方程即可
【详解】设双曲线的方程为：
根据椭圆的方程可得：
又为正六边形，则点的坐标为：
则点在双曲线上，可得：
又
解得：
故答案为：
15、
【解析】根据椭圆和双曲线得定义求得，再根据，可得，从而有，求出的范围，根据，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：设，
则有，
所以，即，
又因为，所以，
所以，即，则，
由，得，所以，所以，
则，
由，得，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
因为，所以，所以，
即，
所以的取值范围是.
故答案为：.

16、
【解析】分离常数，将问题转化求函数最值问题.
【详解】任意，恒成立恒成立，故只需，记，，易知，所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）求出圆心坐标，可求得圆的半径，进而可得出圆的标准方程；
（2）求得点到直线的距离，将直线的方程与椭圆的方程联立，求得的表达式，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得结果.
【小问1详解】
解：由题知，线段的中点为，直线的斜率，
所以线段的中垂线为，即为，
所以圆的圆心为轴与的交点，
所以圆的半径，所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：由题知：圆心到直线的距离，
因为，所以圆心到直线的距离，
所以到直线的距离，
设点、，联立可得，
，，则，
所以，，
所以，
所以，
所以当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取得最大值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值
18、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由线面垂直、切线的性质可得、，再根据线面垂直的判定即可证结论.
（2）若，构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及其对应的余弦值求R，最后由圆锥的体积公式求体积.
【小问1详解】
由题设，底面圆，又是切线与圆的切点，
∴底面圆，则，且，而，
∴平面.
【小问2详解】
由题设，若，可构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，
又，可得，
∴，，，有，，
若是面的一个法向量，则，令，则，
又面的一个法向量为，

∴，可得，
∴该圆锥的体积
19、（1）；
（2）存在，最大距离为.，理由见解析
【解析】（1）根据离心率及短轴长求椭圆参数，即可得椭圆方程.
（2）根据直线与椭圆的位置关系，将问题转为平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离，设直线方程联立椭圆方程根据求参数，进而判断点T的存在性，即可求最大距离.
【小问1详解】
由题设知：且，又，
∴，故椭圆C的方程为.
小问2详解】
联立直线与椭圆，可得：，
∴，即直线与椭圆相离，
∴只需求平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离即为所求，
令平行于直线且与椭圆相切的直线为，联立椭圆，整理可得：，
∴，可得，
当，切线为，其与直线距离为；
当，切线为，其与直线距离为；
综上，时，与椭圆切点与直线距离最大为.
20、（1）（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；
（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
【详解】
（1）连
以为轴建立空间直角坐标系，则

从而直线与所成角的余弦值为
（2）设平面一个法向量为

令
设平面一个法向量为
令

因此
【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据直线被圆截得的弦长为，由解得，再由离心率结合求解。
（2）设，则，得到直线：；直线：，联立求得，再根据线斜率大于，求得，然后由求解.
【详解】（1）以线段为直径的圆的圆心为：，半径，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长为，
解得：，又椭圆离心率，
∴，，
椭圆的标准方程为：.
（2）设，其中，，则，
∴，，
则直线为：；直线为：，
由得：，
∴，
∴，
∴，
令，，则，
∴，
∵∴，
∴，
即.
【点睛】本题主要考查椭圆方程和几何性质以及直线与圆，椭圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22、（1）证明见解析，直线与平面的距离为
（2）
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可证得平面，以及求得直线与平面的距离；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面所成夹角的余弦值
【小问1详解】
解：因为平面，四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、、，
，，，，
所以，，，
所以，，，又因为，因此，平面.
所以，平面的一个法向量为，
，平面，平面，则平面，
所以，直线到平面的距离为.
【小问2详解】
解：若，则、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
.
因此，平面与平面所成夹角的余弦值为.