2025年甘肃省靖远二中数学高一上期末监测试题含解析.doc

2025年甘肃省靖远二中数学高一上期末监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．用函数表示函数和中的较大者，记为：，若，，则的大致图像为（）
A. B.
C. D.
2．下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是
A. B.
C. D.
3．已知函数，则（）
A.2 B.5
C.7 D.9
4．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）
A.3 B.6
C.18 D.36
5．二次函数中，，则函数的零点个数是
A.个 B.个
C.个 D.无法确定
6．下列说法不正确的是（）
A.方向相同大小相等的两个向量相等
B.单位向量模长为一个单位
C.共线向量又叫平行向量
D.若则ABCD四点共线
7．含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2012+b2013的值为（ ）
A.0
B.1
C.-1
D.±1
8．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为（）

A. B.
C. D.
9．下列各式中与相等的是
A. B.
C. D.
10．已知幂函数的图像过点，则下列关于说法正确的是（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.定义域为 D.在单调递减
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．记为偶函数，是正整数，，对任意实数，满足中的元素不超过两个，且存在实数使中含有两个元素，则的值是__________
12． “”是“”的_______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”中的一个）
13．如果满足对任意实数，都有成立，那么a的取值范围是______
14．定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________
15．已知函数，，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为_________.
16．已知为第四象限的角，，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）设，证明：
18．下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量（单位：）和年份代码绘制的散点图（2012年~2018年的年份代码分别为1~7）.

（1）根据散点图分析与之间的相关关系；
（2）根据散点图相应数据计算得，，求关于的线性回归方程.
参考公式：.
19．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－1.
(1)求f(3)＋f(－1)；
(2)求f(x)的解析式.
20．已知扇形的周长为30
（1）若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;
（2）求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 .
21．已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的对称中心；
（3）当时，求的最大值和最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用特殊值确定正确选项.
【详解】依题意，
，排除CD选项.
，排除B选项.
所以A选项正确.
故选：A
2、C
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝sinx，是正弦函数，在定义域上不是增函数；不符合题意；
对于B，y＝tanx，为正切函数，在定义域上不是增函数，不符合题意；
对于C，y＝x3，是奇函数且在其定义域内单调递增，符合题意；
对于D，y＝ex为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性
3、D
【解析】先求出，再求即可，
【详解】由题意得，
所以，
故选：D
4、C
【解析】由弧长的定义，可求得扇形的半径，再由扇形的面积公式，即可求解.
【详解】由1弧度的圆心角所对的弧长为6，利用弧长公式，可得，即，
所以扇形的面积为.
故选C.
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式的应用，着重考查了计算能力，属于基础题.
5、C
【解析】计算得出的符号，由此可得出结论.
【详解】由已知条件可得，因此，函数的零点个数为.
故选：C.
6、D
【解析】利用平面向量相等概念判断,利用共线向量和单位向量的定义判断.
【详解】根据向量相等的概念判断正确；
根据单位向量的概念判断正确；
根据共线向量的概念判断正确；
平行四边形中，因此四点不共线，故错误.
故选：.
【点睛】本题考查了命题真假性的判断及平面向量的基础知识，注意反例的积累，属于基础题.
7、B
【解析】根据题意，由{a，，1}={a2，a+b，0}可得a=0或=0，
又由的意义，则a≠0，必有=0，
则b=0，
则{a，0，1}={a2，a，0}，则有a2=1，即a=1或a=-1，
集合{a，0，1}中，a≠1，则必有a=-1，
则a2012+b2013=（-1）2012+02013=1，
故选B
点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性，集合的表示常用的有三种形式：列举法，描述法，Venn图法.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.
8、C
【解析】根据题意，列出所有可能，结合古典概率，即可求解.
【详解】甲、乙、丙3人投中与否的所有情况为：（中，中，中），（中，中，不中），（中，不中，中），
（中，不中，不中），（不中，中，中），（不中，中，不中），（不中，不中，中），
（不中，不中，不中），共8种，其中至多有1人投中的有4种，故所求概率为
故选：C.
9、A
【解析】利用二倍角公式及平方关系可得，结合三角函数的符号即可得到结果.
【详解】,
又2弧度在第二象限，故sin2＞0,cos2＜0，
∴=
故选A
【点睛】本题考查三角函数的化简问题，涉及到二倍角公式，平方关系，三角函数值的符号，考查计算能力.
10、D
【解析】
设出幂函数的解析式，将所过点坐标代入，即可求出该函数.再根据幂函数的性质的结论，选出正确选项.
【详解】设幂函数为，因为函数过点，
所以，则，
所以，
该函数定义域为，则其既不是奇函数也不是偶函数，
且由可知，该幂函数在单调递减.
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4、5、6
【解析】根据偶函数，是正整数，推断出的取值范围，相邻的两个的距离是，依照题意列不等式组，求出的值
【详解】由题意得．∵为偶函数，是正整数，
∴，
∵对任意实数，满足中的元素不超过两个，且存在实数使中含有两个元素，
∴中任意相邻两个元素的间隔必小于1，任意相邻的三个元素的间隔之和必大于1
∴，解得，又，∴．答案：
【点睛】本题考查了正弦函数的奇偶性和周期性，以及根据集合的运算关系，求参数的值，关键是理解的意义，强调抽象思维与灵活应变的能力
12、充分不必要
【解析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】由得，解得或，
因Ü或，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
13、
【解析】根据题中条件先确定函数的单调性，再根据函数的单调性求解参数的取值范围.
【详解】由对任意实数都成立可知，函数 为实数集上的单调减函数.
所以解得 .
故答案为.
14、
【解析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解得的范围，即可得答案
【详解】根据题意，，
则，
根据单调性可得先减后增，所以当时，取得最小值2，则有 ，
则，因为为减函数，
必有，
解可得：，即m的取值范围为；
故答案为．
【点睛】本题考查函数单调性、函数最值的计算，关键是求出c的值．
15、##a≤
【解析】时，，原问题.
【详解】∵，，∴，
∴，
即对任意的，都存在，使恒成立，
∴有.
当时，显然不等式恒成立；
当时，，解得；
当时，，此时不成立.
综上，.
故答案为：.
16、
【解析】给两边平方先求出,然后利用完全平方公式求出,再利用公式可得结果.
【详解】∵，两边平方得：，∴，
∴，
∵为第四象限角，∴，，∴，
∴.
故答案为：
【点睛】此题考查的是同角三角函数的关系和二倍角公式,属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）偶函数；理由见解析
（3）证明见解析
【解析】（1）根据对数函数的真数大于0建立不等式求解；
（2）根据函数的奇偶性定义判断即可；
（3）利用不等式的性质及对数函数的单调性证明即可.
【小问1详解】
因为，即，
所以函数的定义域是
【小问2详解】
因为，都有，
且，
所以函数为偶函数
【小问3详解】
因为，
所以
所以
所以
因为是增函数，
所以
因为，，
所以
18、（1）与之间是正线性相关关系（2）
【解析】（1）根据散点图当由小变大时，也由小变大可判断为正线性相关关系.
（2）由图中数据求出，代入样本中心点求出，即可求出关于的线性回归方程.
【详解】（1）由散点图可以看出，点大致分布在某一直线的附近，
且当由小变大时，也由小变大，从而与之间是正线性相关关系；
（2）由题中数据可得，
，
从而，
，
从而所求关于的线性回归方程为.
【点睛】本题考查了线性回归方程的求法以及变量之间的关系，属于基础题.
19、 (1) 6(2)f(x)＝
【解析】（1）可以直接求，利用为奇函数，求得，所以只需要求出就可以了，再求出；（2）由于已知的解析式，所以只需要求出时的解析式即可，由奇函数的性质求出解析式
试题解析：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(3)＋f(－1)＝f(3)－f(1)＝23－1－2＋1＝6.
(2)设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝2－x－1，
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，
∴f(x)＝
20、（1），，；
（2），.
【解析】（1）利用弧长公式，扇形面积公式即得；
（2）由题可得，然后利用基本不等式即求.
【小问1详解】
由题知扇形的半径，扇形的周长为30，
∴，
∴，，.
【小问2详解】
设扇形的圆心角，弧长，半径为，则，
∴，
∴
当且仅当，即取等号，
所以该扇形面积的最大值为，此时扇形的半径为.
21、（1）最小正周期
（2），
（3），
【解析】（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期公式求得函数的最小正周期，利用三角函数图象和性质求得其对称轴方程
（2）根据正弦函数的性质计算可得；
（3）利用的范围求得的范围，再根据正弦函数的性质求出函数在区间上最大值和最小值
【小问1详解】
解：

即
所以的最小正周期为，
【小问2详解】
解：令，，解得，，所以函数的对称中心为，
【小问3详解】
解：当时，，所以
则当，即时，；
当，即时，