2026届陕西省西安市秦汉中学数学高一第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

2026届陕西省西安市秦汉中学数学高一第一学期期末检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（参考数据：）（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
2．已知角的终边过点，且，则的值为(　 　)
A. B.
C. D.
3．函数的部分图象大致为（）
A B.
C. D.
4．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
5．设全集为，集合，，则（）
A. B.
C. D.
6．已知函数的定义域和值域都是，则（ ）
A. B.
C.1 D.
7．下列各式化简后的结果为的是（）
A. B.
C. D.
8．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于20的概率是（ ）
【注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数．】
A. B.
C. D.
10．已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则在区间上零点的个数为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．________
12．设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T—单调增函数”
对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：
①“T—单调增函数”一定在D上单调递增；
②“T—单调增函数” 一定是“—单调增函数” （其中，且）：
③函数是“T—单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；
④函数不“T—单调增函数”
其中，所有正确的结论序号是______
13．已知圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的半径为____.
14．求值：__________
15．已知定义在上的偶函数，当时，若直线与函数的图象恰有八个交点，其横坐标分别为，，，，，，，，则的取值范围是___________.
16．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求函数导数；
（2）求函数的单调区间和极值点.
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点
（1）求证：PA∥平面BMD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若AB=PD=2，求点A到平面BMD的距离

19．已知向量， ，且.
（1）的值；
（2）若，，且，求的值
20．（1）若正数a，b满足，求的最小值，并求出对应的a，b的值；
（2）若正数x，y满足，求的取值范围
21．在四面体B-ACD中，是正三角形，是直角三角形，，.

（1）证明:;
（2）若E是BD的中点，求二面角的大小.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.
【详解】解：设经过个小时才能驾驶，则，
即，
由于在定义域上单调递减，
，
∴他至少经过11小时才能驾驶.则他次日上午最早7点开车才不构成酒后驾车
故选：B
2、B
【解析】因为角的终边过点，所以 ， ，解得，故选B.
3、C
【解析】根据题意，分析可得函数为奇函数，当时，有，利用排除法分析可得答案.
详解】解：根据题意，对于函数，
有函数，
即函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A、B；
当时，，则恒有，排除D；
故选：C.
4、B
【解析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.
【详解】点在圆外，，
圆心到直线距离，
直线与圆相交.
故选B.
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5、B
【解析】先求出集合B的补集，再根据集合的交集运算求得答案.
【详解】因为，所以，
故，
故选:B.
6、A
【解析】分和，利用指数函数的单调性列方程组求解.
【详解】当时，，方程组无解
当时，，解得

故选：A.
7、A
【解析】利用诱导公式化简每一个选项即得解.
【详解】解：A.；
B.；
C.；
D..
故选：A
8、A
【解析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性的定义判断可得；
【详解】解：对于A：定义域为，且，即为偶函数，且在上单调递增，故A正确；
对于B：定义域为，且，即为偶函数，在上单调递减，故B错误；
对于C：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故C错误；
对于D：定义域为，但是，故为非奇非偶函数，故D错误；
故选：A
9、A
【解析】随机选取两个不同的数共有种，而其和等于20有2种，由此能求出随机选取两个不同的数，其和等于20的概率
【详解】在不超过20的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，
随机选取两个不同的数共有种，
随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，分别为（3,17）和（7,13），
故可得随机选取两个不同的数，其和等于20的概率，
故选：
10、C
【解析】根据函数的周期性、偶函数的性质，结合零点的定义进行求解即可.
【详解】因为，所以函数的周期为，
当时，，即，
因为函数是偶函数且周期为，
所以有，
所以在区间上零点的个数为，
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据对数运算、指数运算和特殊角的三角函数值，整理化简即可.
【详解】.
故答案为：.
12、②③④
【解析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明.
【详解】①例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误；
②因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，②正确；
③，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，③正确；
④当时，，若，则，显然不满足，故不是单调增函数，④正确.
故答案为：②③④
13、4
【解析】由扇形的面积公式列方程即可求解.
【详解】扇形的面积，即，解得：.
故答案为：.
14、
【解析】直接利用两角和的正切公式计算可得；
【详解】解：
故答案为：
15、
【解析】先作出函数的大致图象，由函数性质及图象可知八个根是两两关于轴对称的，因此分析可得,，进而将转化为
形式，再数形结合，求得结果.
【详解】作出函数的图象如图：

直线与函数的图象恰有八个交点，其横坐标分别为，，，，，，，，
不妨设从左到右分别是，，，，，，，，则 ，
由函数解析式以及图象可知： ，
即 ，同理： ；
由图象为偶函数，图象关于轴对称可知： ，
所以
又因为是方程 的两根，
所以 ，
而 ，所以 ，
故 ，
即，
故答案为：
16、二
【解析】由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限
【详解】因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，
则角α的终边在第二象限，
故答案为二
点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.函数的极大值点为，极小值点为.
【解析】（1）直接利用导数求导得解；
（2）令，求出方程的根，再列表得解.
【小问1详解】
解：由题得.
【小问2详解】
解：，
令或.
当变化时，的变化情况如下表，

正
0
负
0
正

单调递增
极大值点
单调递减
极小值点
单调递增
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.函数的极大值点为，极小值点为.
18、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】（1）设AC和BD交于点O，MO为三角形PAC的中位线可得MO∥PA，再利用直线和平面平行的判定定理，证得结论
（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，再由cos∠BAD，证得 AD⊥BD，可证AD⊥平面PBD，从而证得结论
（3）点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离h，求出MN、MO的值，利用等体积法求得点C到平面MBD的距离h
【详解】（1）证明：设AC和BD交于点O，则由底面ABCD是平行四边形可得O为AC的中点
由于点M为PC的中点，故MO为三角形PAC的中位线，故MO∥PA．再由PA不在平面BMD内，而MO在平面BMD内，
故有PA∥平面BMD
（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，平行四边形ABCD中，∵∠BCD＝60°，AB＝2AD，
∴cos∠BADcos60°，∴AD⊥BD
这样，AD垂直于平面PBD内的两条相交直线，故AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB
（3）若AB＝PD＝2，则AD＝1，BD＝AB•sin∠BAD＝2，
由于平面BMD经过AC的中点，故点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离
取CD得中点N，则MN⊥平面ABCD，且MNPD＝1
设点C到平面MBD的距离为h，则h为所求
由AD⊥PB 可得BC⊥PB，故三角形PBC为直角三角形
由于点M为PC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得MD＝MB，故三角形MBD为等腰三角形，
故MO⊥BD
由于PA，∴MO
由VM﹣BCD＝VC﹣MBD 可得，•（）•MN•（BD×MO ）×h，
故有 （）×1•（）•h，
解得h

【点睛】本题主要考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的性质，用等体积法求点到平面的距离，体现了数形结合和等价转化的数学思想，属于中档题
19、（1）；（2）
【解析】（1）首先应用向量数量积坐标公式求得，结合，求得，得到结果；
（2）结合题的条件，利用同角三角函数关系式求得，结合角的范围以及（1）的结论，求得，再应用余弦和角公式求得的值，结合角的范围求得，得到结果.
【详解】（1）因为，，
所以

因为，所以，即.
（2）因为，，所以.
因为，，所以.
因为，所以，
所以.
因为， ，所以，所以.
【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有向量数量积坐标公式，同角三角函数关系式，余弦的和角公式，利用角的三角函数值的大小，结合角的范围求角的大小，属于简单题目.
20、（1）当且仅当时，取得最小值为18 ；（2）
【解析】（1）化简得，再利用基本不等式求最值；
（2）由题得，再解一元二次不等式得解.
【详解】（1）原式，
当且仅当时取等号，
所以最小值为18.
（2），
即，即，解得，
所以，当且仅当取等号
所以的取值范围为
21、（1）证明见解析（2）
【解析】（1）取AC的中点F,连接DF,BF,由等腰三角形的性质,先证平面BFD,再证；
（2）连接FE,由（1）可得,,则即为二面角的平面角,进而求解即可
【详解】（1）取AC的中点F,连接DF,BF,

是正三角形,
,
又是直角三角形,且,
,
又,平面BFD,平面BFD,
平面BFD,
又平面BFD,
.
（2）连接FE,

由（1）平面BFD,平面BFD,平面BFD,
,,
即为二面角的平面角,
设,则,
,,
在中,,
,即是直角三角形,
∴,
故为正三角形,∴,
∴二面角的大小为.
【点睛】本题考查线线垂直的证明,考查几何法求二面角,考查运算能力