山西省忻州市忻州第一中学校2025年高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

山西省忻州市忻州第一中学校2025年高一上数学期末学业质量监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．计算sin(－1380°)的值为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知为三角形的内角，且，则（　　）
A. B.
C. D.
3．集合{0，1，2}的所有真子集的个数是
A.5 B.6
C.7 D.8
4．命题“，使得”的否定是（）
A.， B.，
C.， D.，
5．若，则等于
A. B.
C. D.
6．已知幂函数是偶函数，则函数恒过定点
A. B.
C. D.
7．已知，若 ，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为
A. B.
C. D.
9．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为

A.1 B.
C. D.
10．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数满足，且当时，则______
12．____
13．已知角的终边经过点，且，则t的值为______
14．实数的值为___________.
15．已知，，，，则______.
16．若函数在上单调递增，则的取值范围是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于点，（分别是与轴、轴正半轴同方向的单位向量),函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当满足时，求函数的最小值.
18．已知函数.
（1）当时，求函数在区间上的值域；
（2）求函数在区间上的最大值.
19．已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
20．已知函数，.
（1）对任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
（2）设，证明：有且只有一个零点，且.
21．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数图象的对称中心的坐标和对称轴方程
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据诱导公式以及特殊角三角函数值求结果.
【详解】sin(－1380°) =sin(－1380°+1440°)= sin(60°)=
故选：D
【点睛】本题考查诱导公式以及特殊角三角函数值，考查基本求解能力，属基础题.
2、A
【解析】根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.
【详解】
计算得，所以，，
从而可计算的，
，
,选项A正确，选项BCD错误.
故选：A.
3、C
【解析】集合{0，1，2}中有三个元素，因此其真子集个数为.
故选：C.
4、B
【解析】根据特称命题的否定的知识确定正确选项.
【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，注意否定结论，
所以，命题“，使得”的否定是，.
故选：B
5、B
【解析】，.
考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系
第II卷（非选择题
6、D
【解析】根据幂函数和偶函数的定义可得的值，进而可求得过的定点.
【详解】因为是幂函数，
所以得或，
又偶函数，
所以，
函数恒过定点.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是幂函数和偶函数的定义，以及对数函数性质的应用，是基础题.
7、B
【解析】由以及，可得，即得，
再根据基本不等式即可求的取值范围.
【详解】解： ，
不妨设，
若，由，得：，
即与矛盾；
同理，也可导出矛盾，
故，
，
即，
而，
即，
即，当且仅当，即时等号成立，
又，
故，
即的取值范围是.
故选：B.
8、C
【解析】
设球的半径为,根据题意知球心到平面的距离,截球所得截面圆的半径为1,由,截面圆半径,球半径构成直角三角形,利用勾股定理,即可求出球半径,进而求出球的表面积.
【详解】如图所示,设球的半径为,
因为,所以,
又因为截球所得截面的面积为,所以,
在中,有,即,
所以,故球的表面积,
故选:C.

【点睛】本题主要考查球的基本应用,答题关键点在于明确球心到截面的距离,截面圆半径,球半径三者可构成直角三角形,进而满足勾股定理.
9、D
【解析】由三视图可知：此立体图形是一个底面为等腰直角三角形，一条棱垂直于底面的三棱锥；所以其体积为.故选D.
考点：三视图和立体图形的转化；三棱锥的体积.
10、B
【解析】由题意可得，故中元素的个数为2，所以选B.
【名师点睛】集合基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1009
【解析】推导出，当时，从而当时，，，由此能求出的值
【详解】∵函数满足，
∴，
∵当时，
∴当时，，，
∴
故答案为1009
【点睛】本题主要考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
12、-1
【解析】根据和差公式得到，代入化简得到答案.
【详解】

故答案为：
【点睛】本题考查了和差公式，意在考查学生的计算能力.
13、##0.5625
【解析】根据诱导公式得sin α＝－，再由任意角三角函数定义列方程求解即可.
【详解】因为，所以sin α＝－.
又角α的终边过点P(3，－4t)，
故sin α＝＝－，
故，且
解得t＝（或舍）
故答案为：.
14、
【解析】直接根据指数幂运算与对数运算求解即可.
【详解】解：
故答案为：
15、
【解析】利用两角和的正弦公式即可得结果.
【详解】因为，，所以，
由，，可得，，
所以.
故答案为：.
16、
【解析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征，可求得的取值范围
【详解】∵函数在上单调递增，
∴函数在区间上为增函数，
∴，解得，
∴实数的取值范围是
故答案为
【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】（Ⅰ）由已知可得，
则,
又因，
所以.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
由，得，
即，
解得.
由条件得，
故函数图象的对称轴为，
①当，即时，在上单调递增，
所以
②当，即时，在处取得最小值，
所以.
③当，即时，在上单调递减，
所以.
综上函数的最小值为
点睛：二次函数在给定区间上最值的类型及解法：
　（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；
（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解
18、（1）（2）
【解析】（1）利用二次函数的图象和性质求值域；
（2）讨论对称轴与区间中点的大小关系，即可得答案；
【详解】（1）由题意，当时，，又，
对称轴为，，
离对称轴较远，，
的值域为.
（2）由题意，二次函数开口向上，对称轴为，由数形结合知，
（i）当，即时，；
（ii）当，即时，，
综上：.
【点睛】本题考查一元二次函数的值域求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意抛物线的开口方向及对称轴与区间的位置关系.
19、（1）2（2）
【解析】（1）依据三角函数诱导公式化简后去求解即可解决；
（2）转化为求三角函数齐次式的值即可解决.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
20、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用的单调性以及对数函数的单调性，即可求出的范围
（2）对进行分类讨论，分为：和，利用零点存在定理和数形结合进行分析，即可求解
【详解】解：（1）因为是增函数，是减函数，
所以在上单调递增.
所以的最小值为，
所以，解得，
所以实数k的取值范围是.
（2）函数的图象在上连续不断.
①当时，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增.
因为，，
所以.
根据函数零点存在定理，存在，使得.
所以在上有且只有一个零点.
②当时，因为单调递增，所以，
因为.所以.所以在上没有零点.
综上：有且只有一个零点.
因为，即，
所以，.
因为在上单调递减，所以，
所以.
【点睛】关键点睛：对进行分类讨论时，①当时，因为与在上单调递增，再结合零点存在定理，即可求解；②当时，恒成立，所以，在上没有零点；最后利用，得到，然后化简可求解。本题考查函数的性质，函数的零点等知识；考查学生运算求解，推理论证的能力；考查数形结合，分类与整合，函数与方程，化归与转化的数学思想，属于难题
21、（1）增区间为，减区间为
（2）对称中心的坐标为；对称轴方程为
【解析】（1）将函数转化为，利用正弦函数的单调性求解；
（2）利用正弦函数的对称性求解；
【小问1详解】
解：由.
令，
解得，
令，
解得，
故函数的增区间为，
减区间为；
【小问2详解】
令，解得，
可得函数图象的对称中心的坐标为，
令，解得，
可得函数图象的对称轴方程为