湖南省桃江县2025-2026学年数学高一第一学期期末调研试题含解析.doc

湖南省桃江县2025-2026学年数学高一第一学期期末调研试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的一个零点是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．已知平面向量，，且，则等于（）
A.（-2，-4） B.（-3，-6）
C.（-5，-10） D.（-4，-8）
4．若直线与圆相交于两点，且，则
A2 B.
C.1 D.
5．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（）
A.6 B.
C.12 D.
6．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）
A. B.
C. D.
7．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. B.
C D.
8．不等式的解集是（）
A.或 B.或
C. D.
9．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（）
(参考数据：)
A. B.
C. D.
10．一个扇形的弧长与面积都是5，则这个扇形圆心角的弧度数为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若在区间上的最大值是，则_______；若在区间上单调递增，则的取值范围是___________
12．计算：__________
13．若函数的值域为，则的取值范围是__________
14．已知函数，则函数零点的个数为_________
15．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数
②在区间单调递增
③的最大值为1
④在有4个零点
其中所有正确结论的编号是______.
16．已知函数，若，，则的取值范围是________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，.
（1）求的值；
（2）若向量满足，，求向量的坐标.
18．设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围.
19．已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
20．已知函数=.
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）当x，求函数的值域.
21．函数（其中）的图像如图所示.

（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据正弦型函数的性质，函数的零点，即时的值，解三角方程，即可求出满足条件的的值
【详解】解：令函数，
则，
则，
当时，.
故选：B
2、C
【解析】根据三角恒等变换化简，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围.
【详解】因为
，
因为在区间上单调递增，由，则，
则，解得，即；
当时，，要使得该函数取得一次最大值，
故只需，解得；
综上所述，的取值范围为.
故选：C.
第II卷
3、D
【解析】由，求得，再利用向量的坐标运算求解.
【详解】解：因为，，且，
所以m=-4，，
所以=（-4，-8），
故选：D
4、C
【解析】圆心到直线的距离为，所以，选C.
5、B
【解析】根据海伦秦九韶公式和基本不等式直接计算即可.
【详解】由题意得：，

，
当且仅当，即时取等号，
故选：B
6、A
【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项
7、A
【解析】求得每个选项中函数的定义域，结合对应关系是否相等，即可容易判断.
【详解】对于A：， ，定义域均为，
两个函数的定义域和对应关系都相同，表示同一函数；
对于B：的定义域为R，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于D：的定义域为，的定义域为或，
两个函数的定义域不同，不是同一函数.
故选：A.
【点睛】本题考查函数相等的判断，属简单题；注意函数定义域的求解.
8、A
【解析】把不等式左边的二次三项式因式分解后求出二次不等式对应方程的两根，利用二次不等式的解法可求得结果
【详解】由，得，解得或
所以原不等式的解集为或
故选：A
9、B
【解析】根据列式求解即可得答案.
【详解】解：因为，，
所以，即，
所以，由于，故，
所以，所以，解得.
故选：B.
【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题.
10、D
【解析】，又，故选D
考点：扇形弧长公式

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】根据定义域得，再得到取最大值的条件求解即可；先得到一般性的单调增区间，再根据集合之间的关系求解.
【详解】因为，且在此区间上的最大值是，所以
因为f(x)max=2tan=，所以 tan==，即ω=
由，得
令，得，即在区间上单调递增
又因在区间上单调递增，所以<，即
所以的取值范围是
故答案为：1，
12、
【解析】.
故答案为.
点睛：（1）任何非零实数的零次幂等于1；
（2）当，则；
（3）.
13、
【解析】由题意得
14、
【解析】解方程，即可得解.
【详解】当时，由，可得（舍）或；
当时，由，可得.
综上所述，函数零点的个数为.
故答案为：.
15、①③
【解析】利用奇偶性定义可判断①；时，可判断②；
分、时求出可判断故③； 时，由可判断④.
【详解】因为，，所以①正确；
当时，，
当时，，
，时，单调递减，故②错误；
当时，，；
当时，，
综上的最大值为1，故③正确；
时，
由得，解得，
由不存在零点，
所以在有2个零点，故④错误.
故答案为：①③.

16、
【解析】先利用已知条件，结合图象确定的取值范围，设，即得到是关于t的二次函数，再求二次函数的取值范围即可.
【详解】先作函数图象如下：

由图可知，若，，设，则，，
由知，；由知，；
故，，
故时，最小值为，时，最大值为，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题解题关键是数形结合，通过图象判断的取值范围，才能分别找到与相等函数值t的关系，构建函数求值域来突破难点.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）7；（2）.
【解析】(1)先计算,再求模即可；
（2）设，进而计算，，再根据垂直与共线的坐标关系求解即可.
【详解】解：（1）因为向量，，所以，所以
（2）设，，
因为，，
所以，
解得
所以
18、
【解析】由题意，求出方程的两根，讨论的正负，确定二次不等式的解集A的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.
【详解】解：由题意，令，解得两根为，由此可知，
当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；
当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；
综上，实数的取值范围为.
19、（1）
（2）
【解析】（1）求出集合A，进而求出A的补集，根据集合的交集运算求得答案；
（2）根据，可得，由此列出相应的不等式组，解得答案.
【小问1详解】
，则或 ，
当时，，
；
【小问2详解】
若，则，
，
实数a的取值范围为，即 .
20、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）根据正弦型函数周期的计算公式，即可求得函数的最小正周期；
（2）令，即可求得函数的单调递增区间；
（3）由求得，结合正弦函数的性质求得其的最值，即可得到函数的值域.
【小问1详解】
由解析式可知：最小正周期为.
【小问2详解】
由解析式，令，解得，
∴的单调递增区间为.
【小问3详解】
当，可得，
结合正弦型函数的性质得：
当时，即时，函数取得最大值，最大值为；
当时，即时，函数取得最小值，最小值为，
∴函数的值域为.
21、 (Ⅰ)；(Ⅱ)最大值为1，最小值为0.
【解析】(Ⅰ) 由图象可得，从而得可得 ，再根据函数图象过点，可求得，故可得函数的解析式．(Ⅱ)根据的范围得到的范围，得到的范围后可得的范围，由此可得函数的最值
试题解析：
（Ⅰ）由图像可知，，
∴，
∴.
∴
又点在函数的图象上，
∴，，
∴，，
又，
∴
∴的解析式是
（Ⅱ）∵,
∴
∴，
∴，
∴当时，函数取得最大值为1；
当时，函数取得最小值为0
点睛：根据图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)的方法
(1)根据函数图象的最高点或最低点可求得A；
(2)ω由周期T确定，即先由图象得到函数的周期，再求出T
(3)φ的求法通常有以下两种：
①代入法：把图象上的一个已知点代入解析式(此时，A，ω，B已知)求解即可，此时要注意交点在上升区间还是下降区间
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的零点作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝