2025年江西省宜春市上高县二中高一数学第一学期期末考试试题含解析.doc

2025年江西省宜春市上高县二中高一数学第一学期期末考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则在区间上零点的个数为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
2．已知关于的方程的两个实数根分别是、，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3．所有与角的终边相同的角可以表示为，其中角（ ）
A.一定是小于90°的角 B.一定是第一象限的角
C.一定是正角 D.可以是任意角
4．下列函数中，在上是增函数的是
A. B.
C. D.
5．已知，则（）
A. B.
C.5 D.-5
6．已知集合,则 (     )
A. B.
C. D.
7．设，，若，则ab的最小值是（）
A.5 B.9
C.16 D.25
8．已知定义在R上的奇函数满足：当时，.则（ ）
A.2 B.1
C.-1 D.-2
9．若tan α＝2，则的值为（）
A.0 B.
C.1 D.
10．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为______.
12．下面有六个命题：
①函数是偶函数；
②若向量的夹角为，则；
③若向量的起点为，终点为，则与轴正方向的夹角的余弦值是；
④终边在轴上的角的集合是；
⑤把函数的图像向右平移得到的图像；
⑥函数在上是减函数.
其中，真命题的编号是__________．（写出所有真命题的编号）
13．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为__________ .
14．已知函数，是定义在区间上的奇函数，则_________.
15．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是________.
16．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0℃，那么t后物体的温度θ（单位：）可由公式（k为正常数）求得.若，将55的物体放在15的空气中冷却，则物体冷却到35所需要的时间为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是上的偶函数，当时，.
（1）用单调性定义证明函数在上单调递增；
（2）求当时，函数的解析式.
18．如图，在四棱锥中,平面,,为棱上一点.

（1）设为与的交点, 若, 求证:平面；
（2）若, 求证：
19．正数x，y满足.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值
20．已知集合，或，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求
21．已知函数，其中
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求m的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求m的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据函数的周期性、偶函数的性质，结合零点的定义进行求解即可.
【详解】因为，所以函数的周期为，
当时，，即，
因为函数是偶函数且周期为，
所以有，
所以在区间上零点的个数为，
故选：C
2、D
【解析】利用韦达定理结合对数的运算性质可求得的值，再由可求得实数的取值范围.
【详解】由题意，知，因为，所以.
又有两个实根、，所以，解得.
故选：D.
3、D
【解析】由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.
【详解】因为结论与角的终边相同的角可以表示为适用于任意角，所以D正确，
故选：D.
4、B
【解析】对于，，当时为减函数，故错误；
对于，，当时为减函数，故错误；
对于，在和上都是减函数，故错误；
故选
5、C
【解析】令，代入直接计算即可.
【详解】令，即，
则，
故选：C.
6、B
【解析】直接利用两个集合的交集的定义求得M∩N
【详解】集合M={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，N={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，则M∩N={x|-1≤x＜2}，故选B
【点睛】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题
7、D
【解析】结合基本不等式来求得的最小值.
【详解】，，
，
，
当且仅当时等号成立，由.
故选：D
8、D
【解析】
由奇函数定义得，从而求得，然后由计算
【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，
所以，而当时，，
所以，
所以当时，，
故.
由于为奇函数，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查奇函数的定义，掌握奇函数的概念是解题关键．
9、B
【解析】将目标是分子分母同时除以，结合正切值，即可求得结果.
【详解】＝＝.
故选：
【点睛】本题考查齐次式的化简和求值，属基础题.
10、D
【解析】根据三视图还原该几何体，然后可算出答案.
【详解】
由三视图可知该几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱的组合体，
故其表面积为球的表面积与圆柱的表面积之和，即
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据给定条件结合球的截面小圆性质求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.
【详解】因边长为3的正方形的四个顶点都在球上，则正方形的外接圆是球O的截面小圆，其半径为，
令正方形的外接圆圆心为，由球面的截面小圆性质知是直角三角形，且有，
而与对角线的夹角为45°，即是等腰直角三角形，球O半径，
所以球体积为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及求球的表面积、体积问题，利用球的截面小圆性质是解决问题的关键.
12、①⑤
【解析】对于①函数，则=，所以函数是偶函数；故①对；
对于②若向量的夹角为，根据数量积定义可得，此时的向量应该为非零向量；故②错；
对于③=，所以与轴正方向的夹角的余弦值是-；故③错；
对于④终边在轴上的角的集合是；故④错；
对于⑤把函数的图像向右平移得到，故⑤对；
对于⑥函数=在上是增函数.故⑥错；
故答案为①⑤.
13、
【解析】正方体体积8，可知其边长为2，
正方体的体对角线为=2，
即为球的直径，所以半径为，
所以球的表面积为=12π
故答案为：12π
点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .
14、27
【解析】由于奇函数的定义域必然关于原点对称，可得m的值，再求
【详解】由于奇函数的定义域必然关于原点对称∴m＝3，
故f（m）＝
故答案为27
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，利用了奇函数的定义域必然关于原点对称，属于基础题
15、
【解析】先将角度转化成弧度制，再利用扇形面积公式计算即可.
【详解】扇形的圆心角为120°，即，故扇形面积.
故答案为：.
16、2
【解析】将数据，，，代入公式，得到，解指数方程，即得解
【详解】将，，，
代入得，
所以，
，
所以，
即.
故答案为：2

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；
（2）.
【解析】（1）利用单调性的定义即证；
（2）当时，可得，再利用函数的奇偶性即得.
【小问1详解】
，且，则
，
∵，且，
∴，
∴，即，
∴函数在上单调递增；
【小问2详解】
当时，，
∴，又函数是上的偶函数，
∴，
即当时，.
18、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）只需证得，即可证得平面；
（2）因为平面， 平面， 所以，即可证得平面，从而得证.
试题解析：
（1）在与中，
因为， 所以，
又因为，所以在中,有，则.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面， 平面， 所以.
又因为,平面,平面,，
所以平面， 平面，所以
19、 (1)36；(2)
【解析】(1)由基本不等式可得，再求解即可；
(2)由，再求解即可.
【详解】解：(1)由得xy≥36，当且仅当，即时取等号，
故xy的最小值为36.
(2)由题意可得，
当且仅当，即时取等号，
故x＋2y的最小值为.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了拼凑法构造基本不等式，属中档题.
20、（1）（2）
【解析】（1）根据交集直接能算；
（2）根据补集、并集运算求解.
【详解】（1）因为，或，
所以
（2）由或，知，
所以.
21、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）当时，解对数不等式即可
（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可
（3）根据条件得到恒成立，利用二次函数的性质求最值即求.
【小问1详解】
由，得，即
∴且，
解得
【小问2详解】
由题得，即，
①当时，，经检验，满足题意
②当时，
（ⅰ）当时，，经检验，不满足题意
（ⅱ）当且时，，，
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即
因为解集中恰有一个元素则满足题意的m不存在
综上，m的取值范围为
【小问3详解】
当时，，
所以在上单调递减
∴函数在区间上的最大值与最小值分别为
，即，
对任意成立
因为，所以函数在区间上单调递增，
当时，y有最小值，由，得
故m的取值范围为