2025年四川省成都市外国语学校高一数学第一学期期末考试试题含解析.doc

2025年四川省成都市外国语学校高一数学第一学期期末考试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
2．若－4<x<1，则（）
A.有最小值1 B.有最大值1
C.有最小值－1 D.有最大值－1
3．表示不超过实数的最大整数，是方程的根，则（ ）
A. B.
C. D.
4．已知sin2α>0，且cosα<0，则角α的终边位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5．若函数y=|x|（x-1）的图象与直线y=2（x-t）有且只有2个公共点，则实数t的所有取值之和为（　　）
A.2 B.
C.1 D.
6．当时，函数和的图像只可能是 （ ）
A. B.
C. D.
7．某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组40个.每组计数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）

A.甲比乙的极差大
B.乙的中位数是18
C.甲的平均数比乙的大
D.乙的众数是21
8．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）
A. B.
C. D.
9．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为

A.1 B.
C. D.
10．设函数（），，则方程在区间上的解的个数是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数；若方程有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是__________
12．已知，若，则_______；若，则实数的取值范围是__________
13．若在幂函数的图象上，则______
14．已知向量，，且，则__________.
15．函数的定义域是___________，若在定义域上是单调递增函数，则实数的取值范围是___________
16．若，则____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知.
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调增区间；
（3）当时，求的值域.
18．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示

（1）请补出函数，剩余部分的图象，并根据图象写出函数，的单调增区间；
（2）求函数，的解析式；
（3）已知关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围
19．某商人计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别是，，已知投资额为0时，收益为0.
（1）求a，b值;
（2）若该商人投入万元经营这两种商品，试建立该商人所获收益的函数模型；
（3）如果该商人准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收益的最大值.
20．已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
21．已知全集，集合，集合.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据偶次根号下非负，分母不等于零求解即可.
【详解】解：要使函数有意义，则需满足不等式， 解得：且，
故选：C
2、D
【解析】先将转化为，根据－4<x<1，利用基本不等式求解.
【详解】
又∵－4<x<1，
∴x－1<0
∴－(x－1)>0
∴．当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立
故选：D
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
3、B
【解析】先求出函数的零点的范围，进而判断的范围，即可求出.
【详解】由题意可知是的零点，
易知函数是（0，）上的单调递增函数，
而，，
即
所以，
结合性质，可知.
故选B.
【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题
4、C
【解析】根据二倍角公式可得到，又因为cosα<0，故得到进而得到角所在象限.
【详解】已知sin2α>0，，又因为cosα<0，故得到，进而得到角是第三象限角.
故答案为C.
【点睛】本题考查象限角的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号是解决问题的关键，属于基础题
5、C
【解析】可直接根据题意转化为方程有两个根，然后利用分类讨论思想去掉绝对值再利用判别式即可求得各个t的值
【详解】由题意得方程有两个不等实根，
当方程有两个非负根时，
令 时，则方程为，整理得
，解得；
当时，
，解得，故不满足满足题意；
当方程有一个正跟一个负根时，
当时，，
，解得，
当时，方程为，
，解得；
当方程有两个负根时，
令，则方程为，
解得，
当，
，解得，不满足题意
综上，t的取值为 和，
因此t的所有取值之和为1，故选C
【点睛】本题是在二次函数的基础上加了绝对值，所以首先需解决绝对值，关于去绝对值直接用分类讨论思想即可；
关于二次函数根的分布需结合对称轴，判别式，进而判断，必要时可结合进行判断
6、A
【解析】由一次函数的图像判断出a、b的符号，结合指数函数的图像一一进行判断可得答案.
【详解】解：A项，由一次函数的图像可知此时函数为减函数，故A项正确；
B项，由一次函数的图像可知此时函数为增函数，故B项错误；
C项，由一次函数的图像可知，此时函数为的直线，故C项错误；
D项，由一次函数的图像可知，，此时函数为增函数，故D项错误；
故选A.
【点睛】本题主要考查指数函数的图像特征，相对简单，由直线得出a、b的范围对指数函数进行判断是解题的关键.
7、B
【解析】通过茎叶图分别找出甲、乙的最大值以及最小值求出极差即可判断A；找出乙中间的两位数即可判断B；分别求出甲、乙的平均数判断C；观察乙中数据即可判断D；
【详解】对于A，由茎叶图可知，甲的极差为，乙的极差为，故A正确；
对于B，乙中间两位数为，故中位数为，故B错误；
对于C，甲的平均数为，
乙的平均数为，故C正确；
对于D，乙组数据中出现次数最多为21，故D正确；
故选：B
【点睛】本题考查了由茎叶图估计样本数据的数字特征，属于基础题.
8、D
【解析】函数分别是上的奇函数、偶函数,
，
由，得，
，
，
解方程组得，
代入计算比较大小可得.
考点：函数奇偶性及函数求解析式
9、D
【解析】由三视图可知：此立体图形是一个底面为等腰直角三角形，一条棱垂直于底面的三棱锥；所以其体积为.故选D.
考点：三视图和立体图形的转化；三棱锥的体积.
10、A
【解析】由题意得，方程在区间上的解的个数即函数与函数的图像在区间上的交点个数
在同一坐标系内画出两个函数图像，注意当时，恒成立，易得交点个数为.选A

点睛：函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．但在应用图象解题时要注意两个函数图象在同一坐标系内的相对位置，要做到观察仔细，避免出错

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据分段函数的解析式作出函数图象，将方程有且仅有1个实数根转化为函数与直线有一个交点，然后数形结合即可求解.
【详解】作出函数的图象，如图：

结合图象可得：，
故答案为：.
12、 ①. ②.
【解析】先判断函数的奇偶性，由求解；再根据函数的单调性，由求解.
【详解】因为的定义域为R，且，
，所以是奇函数，
又，则-2；
因为在上是增函数，
所以在上是增函数，又是R上的奇函数，
所以在R上递增，且，
所以由，得，
即，所以，
解得或，
所以实数的取值范围是，
故答案为：，
13、27
【解析】由在幂函数的图象上，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值
【详解】设幂函数，，
因为函数图象过点，
则，，
幂函数，
，故答案为27
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与解析式，意在考查对基础知识的掌握情况，是基础题
14、
【解析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量，，因为，可得，解得.
故答案为：.
15、 ①.## ②.
【解析】根据对数函数的定义域求出x的取值范围即可；结合对数复合型函数的单调性与一次函数的单调性即可得出结果.
【详解】由题意知，，得，
即函数的定义域为；
又函数在定义域上单调增函数，
而函数在上单调递减，
所以函数为减函数，
故.
故答案为：；
16、##0.6
【解析】，根据三角函数诱导公式即可求解.
【详解】＝.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2），
（3）
【解析】（1）利用降幂公式等化简可得，结合周期公式可得结果；
（2）由，，解不等式可得增区间；
（3）由的范围，得出的范围，根据正弦函数的性质即可得结果.
【小问1详解】

∴函数的最小正周期.
【小问2详解】
由，
得，
∴所求函数的单调递增区间为，.
【小问3详解】
∵，∴
∴，，
∴的值域为.
18、（1）图象见解析，函数的单调增区间为；
（2）；
（3）.
【解析】(1)根据奇函数的图象特征即可画出右半部分的图象，结合图象，即可得出单调增区间；
(2)根据函数的奇偶性即可直接求出函数的解析式；
(3)由(2)得出函数的解析式，画出函数图象，利用数形结合的数学思想即可得出m的取值范围.
【小问1详解】
剩余的图象如图所示，

有图可知，函数的单调增区间为；
【小问2详解】
因为当时，，
所以当时，则，有，
由为奇函数，得，
即当时，，
又，
所以函数的解析式为；
【小问3详解】
由(2)得，，
作出函数与图象，如图，

由图可知，当时，函数与图象有3个交点，
即方程有3个不等的实根.
所以m的取值范围为.
19、（1）；
（2）；
（3）投入A商品4万元，B商品1万元，最大收益12万元.
【解析】（1）根据直接计算即可.
（2）依据题意直接列出式子
（3）使用还原并结合二次函数性质可得结果.
【小问1详解】
由题可知：
【小问2详解】
由（1）可知：，
设投入商品投入万元，投入商品万元
则收益为：
【小问3详解】
由题可知：
令，则
所以
所以当，即时，（万元）
所以投入A商品4万元，B商品1万元，最大收益12万元
20、（1）（2）
【解析】（1）根据诱导公式化简；（2）巧用平方关系进行代换，再利用商数关系将原式转化为用表示，结合第1问解答
【详解】（1）
（2）
将代入，得.
【点睛】三角函数式的化简要求熟记相关公式，同角三角函数基本关系平方关可实现正弦和余弦的互化，要注意公式的逆使用，商数关系可实现正弦、余弦和正切的互化
21、 (1)A∪B＝{x|－2<x<3}，；(2)(－∞，－2]
【解析】（1）求解集合A,B根据集合交并补的定义求解即可；
（2）由A∩B＝A，得A⊆B，从而得，解不等式求解即可.
试题解析：
（1）由题得集合A＝{x|0＜＜1}={x|1＜＜3}
当m＝－1时，B＝{x|－2<x<2}，
则A∪B＝{x|－2<x<3}

（2）由A∩B＝A，得A⊆B.
.
解得m≤－2，
即实数m的取值范围为(－∞，－2].