2025年泸州市重点中学数学高二上期末学业水平测试试题含解析.doc

2025年泸州市重点中学数学高二上期末学业水平测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，分别带着A、B、C、D、E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）
A. B.
C. D.
2．函数的导函数为，若已知图象如图，则下列说法正确的是（）

A.存在极大值点 B.在单调递增
C.一定有最小值 D.不等式一定有解
3．下列求导运算正确的是（）
A. B.
C. D.
4．两圆x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直线的方程为（　　）
A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0
C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝0
5．等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（）
A.若有最大值，则数列的公差小于0
B.若，则使的最大的n为18
C.若，，则中最大
D.若，，则数列中的最小项是第9项
6．已知直线与直线垂直，则（ ）
A. B.
C. D.
7．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
8．数列中，，，则（　　）
A.32 B.62
C.63 D.64
9．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A.60种 B.120种
C.240种 D.480种
10．某商场为了解销售活动中某商品销售量与活动时间之间的关系，随机统计了某次销售活动中的商品销售量与活动时间，并制作了下表：
活动时间

销售量

由表中数据可知，销售量与活动时间之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为，据此模型预测当时，的值为（）
A B.
C. D.
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A是椭圆短轴的一个顶点，且，则椭圆的离心率（）
A. B.
C. D.
12． “且”是“”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C 充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______.
14．写出直线一个方向向量______
15．执行如图所示的程序框图，则输出的结果________

16．如图，某海轮以的速度航行，若海轮在点测得海面上油井在南偏东，向北航行后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为沿北偏东的航向再行驶到达点，则，间的距离是________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，直线交抛物线E于两点
（1）求E的方程；
（2）若以BC为直径的圆过原点O，求直线l的方程
18．（12分）已知抛物线上的点P（3，c）），到焦点F的距离为6
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（2，1）和焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，求△PAB的面积
19．（12分）已知直线和直线
（1）若时，求a的值；
（2）当平行，求两直线，的距离
20．（12分）某省食品药品监管局对15个大学食堂“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：
分数段

食堂个数
1
3
8
3
（1）现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；
（2）以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及数学期望.
21．（12分）已知数列满足，
（1）设，求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数m，使得对任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由
22．（10分）公差不为0的等差数列中，，且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为．若，求的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.
故选：D
2、C
【解析】根据图象可得的符号，从而可得的单调区间，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案.
【详解】由所给的图象，可得当时，，当时，，
当时，，当时，，
可得在递减，递增；在递减，在递增，B错误，
且知，所以存在极小值和，无极大值，A错误，
同时无论是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定为负数，故C正确，D错误.
故选：C.
3、B
【解析】根据基本初等函数的导数和求导法则判断.
【详解】，，，，只有B正确.
故选：B.
【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式，考查导数的运算法则，属于基础题.
4、C
【解析】两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程.
【详解】两圆方程相减得，即x﹣2y+6＝0
则公共弦所在直线的方程为x﹣2y+6＝0
故选：C
5、B
【解析】由有最大值可判断A；由，可得，，利用可判断BC；，得，，
可判断D.
【详解】对于选项A，∵有最大值，∴ 等差数列一定有负数项，
∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；
对于选项B，∵，且，
∴，，
∴，，
则使的最大的n为17，故选项B错误；
对于选项C，∵，，
∴，，
故中最大，故选项C正确；
对于选项D，∵，，
∴，，
故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.
故选：B.
6、D
【解析】根据互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可.
【详解】由，所以直线的斜率为，
由，所以直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，
所以，
故选：D
7、B
【解析】由空间向量的线性运算求解
【详解】由题意

，又，，，
∴,
故选：B
8、C
【解析】把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.
【详解】数列中，，故，
因为，故，故，
所以，所以为等比数列，公比为，首项为.
所以即，故，故选C.
【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下：
（1），取倒数变形为；
（2），变形为，也可以变形为；
9、C
【解析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
10、C
【解析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程，求出的值，再将代入回归方程即可得解.
【详解】由表格中的数据可得，，
将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得，
所以，回归直线方程为，故当时，.
故选：C.
11、D
【解析】依题意，不妨设点A的坐标为，在中，由余弦定理得，再根据离心率公式计算即可.
【详解】设椭圆的焦距为，
则椭圆的左焦点的坐标为，右焦点的坐标为，
依题意，不妨设点A的坐标为，
在中，由余弦定理得：
，
，
，
，
解得.
故选：D.
【点睛】本题考查椭圆几何性质，在中，利用余弦定理求得是关键，属于中档题.
12、A
【解析】按照充分必要条件的判断方法判断，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判断得到正确答案，
【详解】当且时，成立，
反过来，当时，例：，不能推出且.
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案.
详解】

P，A，B，C四点共面,则存在实数，使得
所以
即
所以 ，解得
故答案为：
14、
【解析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量.
【详解】由题意可知，直线可以化为，
所以直线的斜率为，直线的一个方向向量可以写为.
故答案为：.
15、132
【解析】根据程序框图模拟程序运行，确定变量值的变化可得结论
【详解】程序运行时，变量值变化如下：
，
判断循环条件，满足，，；
判断循环条件，满足，，；
判断循环条件，不满足，输出
故答案为：132
16、
【解析】根据条件先由正弦定理求出的长，得出,求出的长，由勾股定理可得答案.
【详解】海轮向北航行后到达点，则
由题意，在中， 又则,
由正弦定理可得：,即
在中， ，
所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】(1)利用椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，列出方程求解即可
(2)设，、，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，通过，求出，得到直线方程
【小问1详解】
由题意知：，，
∴的方程是
【小问2详解】
设，、，，由题意知，
由，得，
∴，，，
∵以为直径的圆过点，∴，
即，
∴，解得，
∴直线的方程是
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据抛物线的焦半径公式求得，即可得到抛物线方程；
（2）写出直线方程，联立抛物线方程，进而求得弦长|AB|,再求出点P到直线的距离，即可求得答案.
【小问1详解】
由抛物线的焦半径公式可知： ，
即得 ，故抛物线方程为：；
【小问2详解】
点Q（2，1）和焦点作直线l，则l方程为 ，
即 ，
联立抛物线方程： ，整理得 ，
设 ，则 ，
故 ，
点P（3，c）在抛物线上，则 ，
点P到直线l的距离为 ，
故△PAB的面积为 .
19、（1）
（2）
【解析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程.
（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线与之间的距离.
【小问1详解】
∵，且，
∴，
解得
【小问2详解】
∵，，且，
∴且，解得，
∴，即
∴直线间的距离为
20、（1）
（2）分布列见解析，
【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求概率.
（2）由题设可得，故利用二项分布可求的分布列，利用公式可求其期望.
【小问1详解】
设至多有1个大学食堂的评分不低于9分为事件，
则.
所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为.
【小问2详解】
任意一个大学食堂，其评分不低于9分的概率为，
故，
所以，，
，，
的分布列为：

0
1
2
3

.
21、（1）；（2）存在，3
【解析】(1)结合递推关系可证得bn+1－bn1，且b1＝1，可证数列{bn}为等差数列，据此可得数列的通项公式；
(2)结合通项公式裂项有求和有，再结合条件可得，即求
【详解】（1）证明：∵，
又由a1＝2，得b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以bn＝1+(n－1)×1＝n，
由，得
（2）解：∵，，
所以，
依题意，要使对于n∈N*恒成立，
只需，解得m≥3或m≤-4
又m＞0，所以m≥3，
所以正整数m的最小值为3
22、（1）
（2）
【解析】（1）利用等比数列的定义以及等差数列的性质，列出方程即可得到答案；
（2）先求出的通项，再利用的单调性即可得到的最小值，从而求得的取值范围
【小问1详解】
依题意，，，所以，
设等差数列的公差为，则，
解得，
所以
【小问2详解】
，则数列是递增数列，
，
所以，
若，则.