2026届贵州省遵义凤冈二中高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2026届贵州省遵义凤冈二中高二数学第一学期期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线准线方程为 (　　)
A. B.
C. D.
2．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）

A. B.
C. D.
3．下列函数是偶函数且在上是减函数的是　　
A. B.
C. D.
4．某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为
A.11 B.12
C.13 D.14
5．若抛物线焦点坐标为，则的值为
A. B.
C.8 D.4
6．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率（）
A.50% B.30%
C.10% D.60%
7．已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是
A. B.
C. D.
8．设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（）
A. B.
C. D.
11．若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（ ）
A. B.
C. D.
12．某市2016年至2020年新能源汽车年销量y（单位：百台）与年份代号x的数据如下表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号x
0
1
2
3
4
年销量y
10
15
m
30
35
若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则表中m的值为（）
A.22 B.20
C.30 D.32.5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．抛物线的焦点到准线的距离等于__________.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上的点P满足轴，，则该椭圆的离心率为___________
15．某学生到某工厂进行劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.（取）

16．已知抛物线与直线交于D，E两点，若（点O为坐标原点）的面积为16，则抛物线的方程为______；过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和的最大值.
18．（12分）已知椭圆C：，斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点且
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求直线l方程
19．（12分）已知等差数列的首项为2，公差为8.在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，，，是从中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，，令，求数列的前项和.
20．（12分）已知命题：对任意实数都有恒成立；命题：关于的方程有实数根
（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；
（2）如果“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围
21．（12分）已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线，与直线和椭圆分别交于两点，（与不重合）.判断以为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.
22．（10分）已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，，P为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过、的圆与直线相切
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由抛物线的准线方程即可求解
【详解】由抛物线方程得：．所以，
抛物线的准线方程为
故选D
【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程，属于基础题
2、B
【解析】根据程序框图的循环逻辑写出其执行步骤，即可确定输出结果.
【详解】由程序框图的逻辑，执行步骤如下：
1、：执行循环，，；
2、：执行循环，，；
3、：执行循环，，；
4、：执行循环，，；
5、：执行循环，，；
6、：不成立，跳出循环.
∴输出的值为.
故选：B.
3、C
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，为一次函数，不是偶函数，不符合题意；
对于B，，，为奇函数，不是偶函数，不符合题意；
对于C，，为二次函数，是偶函数且在上是减函数，符合题意；
对于D，，，为奇函数，不是偶函数，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题
4、B
【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人
∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，
接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人
考点：系统抽样
5、A
【解析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得的值.
【详解】抛物线的标准方程为，
因为抛物线的焦点坐标为，
所以，所以，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关利用抛物线的焦点坐标求抛物线的方程的问题，涉及到的知识点有抛物线的简单几何性质，属于简单题目.
6、A
【解析】根据甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件即可求解.
【详解】甲不输有两种情况：甲获胜或甲、乙两人下成平局，
甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件，
所以甲、乙两人下成平局的概率为.
故选：A.
7、B
【解析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，，命题为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.
【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，
直线与抛物不相切，可得命题是假命题，
当时，，
方程表示椭圆
命题是真命题，
则是真命题.
故选:B.
【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.
8、B
【解析】根据抛物线的方程写出焦点坐标，求出直线的方程、点的坐标，最后根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
所以直线的方程为：，
令，解得，因此点的坐标为：，
因为面积为4，
所以有，即，，
因此抛物线的方程为.
故选：B.
9、C
【解析】由题设分析知的轨迹为(不与重合)，要求的取值范围，只需求出到圆上点的距离范围即可.
【详解】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，
所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，
又圆心到的距离，圆的半径为2，
所以的取值范围为，即.
故选：C
10、D
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解.
【详解】甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为.
故选：D
11、A
【解析】利用对立事件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由对立事件的概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为.
故选：A.
12、B
【解析】求出样本中心的横坐标，代入回归直线方程，求出样本中心的纵坐标，然后求解即可
【详解】因为，
代入回归直线方程为，
所以，，
于是得，解得
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先将抛物线方程，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可.
【详解】因为抛物线方程是，
转化为标准方程得：，
所以抛物线开口方向向右，焦点坐标 准线方程为：，
所以焦点到准线的距离等于.
故答案为：
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
14、
【解析】由题意分析为直角三角形，得到关于a、c的齐次式，即可求出离心率.
【详解】设，则.
由椭圆的定义可知：，所以.
所以
因轴，所以为直角三角形，
由勾股定理得：，
即，即，
所以离心率.
故答案为：
15、4500
【解析】根据题意可知大圆柱底面圆的半径，两圆柱的高，设小圆柱的底面圆的半径为，再根据小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，求出小圆柱的底面圆的半径，然后求出该模型的体积，从而可得出答案.
【详解】解：根据题意可知大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高，
设小圆柱的底面圆的半径为，
则有，即，解得，
所以该模型的体积为，
所以制作该模型所需原料的质量为.
故答案为：4500.
16、 ①. ②.1
【解析】利用的面积列方程，化简求得的值，从而求得抛物线方程.将的斜率分成存在和不存在两种情况进行分类讨论，结合根与系数关系求得.
【详解】依题意可知，
，
所以，解得.
所以抛物线方程为.
焦点，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
，即，
此时.
当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，
由消去并化简得，
，
设，
则，
结合抛物线的定义可知
.
故答案为：；

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）30.
【解析】（1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，进一步求出首项，代入等差数列的通项公式求数列的通项公式；
（2）利用等差数列求和公式求和,再利用二次函数求得最值即可.
【详解】解：（1）由题意得，数列公差为，
则

解得：,
∴
（2）由（1）可得，
∴
∵，∴当或时，
取得最大值
【点睛】本题考查利用基本量求解等差数列的通项公式，以及前n项和及最值，属基础题
18、（1）
（2）或
【解析】（1）将椭圆化为标准方程，求得，进而求得离心率；
（2）设直线，，，与椭圆联立，借助韦达定理及弦长公式求得，从而求得直线方程.
【小问1详解】
由题知，椭圆C：，
则，离心率
【小问2详解】
设直线，，
联立，化简得，
则，解得，
，
由弦长公式知，
，
解得，
故直线或
19、（1）；
（2）
【解析】（1）由题意在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，可知的公差，进而可求出其通项公式；
（2）根据题意可得，进而得到，再代入中得，利用错位相减即可求出前项和.
【小问1详解】
由于等差数列的公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，则的公差，的首项和 首项相同为2，则数列的通项公式为.
【小问2详解】
由于，是等比数列的前两项，且，，则，则等比数列的公比为3， 则，即，.①.
②.
①减去②得.
.
20、（1）；（2）
【解析】（1）先分别求出命题为真命题和命题为真命题时参数的范围，则可得当命题为假命题，实数的取值范围
（2）由“”为真命题，且“”为假命题，则命题，一真一假，再分真，且假，和真，且假两种情况分别求出参数的范围，再综合得到答案.
【详解】命题为真命题：对任意实数都有恒成立或；
命题为真命题：关于的方程有实数根；
（1）命题为假命题，则实数取值范围
（2）由“”为真命题，且“”为假命题，则命题，一真一假.
如果真，且假，有，且，则
如果真，且假，有或，且，则
综上，实数的取值范围为
21、（1）
（2）过定点，定点为
【解析】（1）根据离心率及顶点坐标求出即可得椭圆方程；
（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为（），求出的坐标，设是以为直径的圆上的点，利用向量垂直可得恒成立，可得定点，斜率不存在时验证即可.
【小问1详解】
由题意得，，，
又因为，所以.
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
以为直径的圆过定点.理由如下：
当直线斜率存在时，设直线的方程为（）.
令，得，所以.
由得，则或，
所以.
设是以为直径的圆上的任意一点，
则，.
由题意，，
则以为直径的圆的方程为.
即恒成立
即解得
故以为直径的圆恒过定点.
当直线斜率不存在时，以为直径的圆也过点.
综上，以为直径的圆恒过定点.
22、（1）；
（2）存在；.
【解析】(1)根据给定条件求出a，c，b即可作答.
(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用斜率坐标公式并结合韦达定理计算即可推理作答.
【小问1详解】
依题意，，，，
由椭圆定义知：椭圆长轴长，
即，而半焦距，即有短半轴长，
所以椭圆C的标准方程为：
【小问2详解】
依题意，设直线l方程为，由消去x并整理得，
设，，则，，假定存在点，
直线TM与TN的斜率分别为，，

，
要使为定值，必有，即，
当时，，，
当时，，，
所以存在点，使得直线TM与TN的斜率之积为定值
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值