2025年天津市和平区高一数学第一学期期末达标检测试题含解析.doc

2025年天津市和平区高一数学第一学期期末达标检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．定义在R上的偶函数f(x)满足，当x∈[0，1]时，则函数在区间上的所有零点的和为（）
A.10 B.9
C.8 D.6
2．若，且，则（ ）
A. B.
C. D.
3．某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是

A.1 B.
C. D.2
4．已知圆,圆,则两圆的位置关系为
A.相离 B.相外切
C.相交 D.相内切
5．若，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
6．已知，，则的值等于（）
A. B.
C. D.
7．已知函数的定义域为，若是奇函数，则
A. B.
C. D.
8．若命题:，则命题的否定为（）
A. B.
C. D.
9．已知函数，的最值情况为（）
A.有最大值，但无最小值 B.有最小值，有最大值1
C.有最小值1，有最大值 D.无最大值，也无最小值
10．设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知在平面直角坐标系中，角顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则___________.
12．函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是______
13．从含有两件正品和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，取出的两件产品都是正品的概率为__________.
14．若幂函数在区间上是减函数，则整数________
15．已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________
16．函数的部分图象如图所示，则___________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知是幂函数，是指数函数，且满足，
（1）求函数，的解析式；
（2）若，，请判断“是的什么条件？（“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）
18．已知函数.
（1）求函数的最小正周期及函数的对称轴方程；
（2）若，求函数的单调区间和值域.
19．计算
（1）
（2）
20．证明：
（1）；
（2）
21．要建造一段5000m的高速公路，工程队需要把600人分成两组，一组完成一段2000m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的3000m的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是50人/天和30人/天，设在软土地带工作的人数x人，在软土、硬土地带筑路的时间分别记为，
（1）求，；
（2）求全队的筑路工期；
（3）如何安排两组人数，才能使全队筑路工期最短?
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据条件可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；根据函数的解析式及奇偶性，对称性可得出函数f(x)在的图象；令，画出其图象，进而得出函数的图象．根据函数图象及其对称性，中点坐标公式即可得出结论
【详解】因为定义在R上的偶函数f(x)满足，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
当x∈[0，1]时，，可以得出函数f(x)在上的图象，进而得出函数f(x)
在的图象.画出函数，的图象；
令，可得周期T1，画出其图象，进而得出函数的图象
由图象可得：函数在区间上共有10个零点，即5对零点，每对零点的中点都为1，所以所有零点的和为.

故选：A
2、D
【解析】根据给定条件，将指数式化成对数式，再借助换底公式及对数运算法则计算即得.
【详解】因为，于是得，，
又因为，则有，即，因此，，而，解得，
所以.
故选：D
3、B
【解析】
在正方体ABCD­A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1­BCB1，如图所示，该四面体的体积为.
故选B
点睛：三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图
4、A
【解析】利用半径之和与圆心距的关系可得正确的选项.
【详解】圆,即，圆心为(0,3)，半径为1，
圆,即，圆心为(4,0)，半径为3.
.
所以两圆相离，
故选：A.
5、D
【解析】根据对数的运算性质以及指数函数和对数函数的单调性即可判断
【详解】因为，而函数在定义域上递增，，所以
故选：D
6、B
【解析】由题可分析得到,由差角公式,将值代入求解即可
【详解】由题,
,
故选：B
【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题
7、D
【解析】由为奇函数，可得，求得，代入计算可得所求值
【详解】是奇函数，
可得，且时，
，可得，
则，
可得，
则，
故选D
【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于基础题
8、D
【解析】根据存在量词的否定是全称量词可得结果.
【详解】根据存在量词的否定是全称量词可得命题的否定为.
故选：D
9、C
【解析】利用二次函数的图象与性质，得到二次函数的单调性，即可求解最值，得到答案.
【详解】由题意，函数，
可得函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最小值，最小值为，
故选C.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及其应用，其中解答中熟练利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
10、B
【解析】
不妨设，由，得，结合图象可知，，则，令，可知在上单调递减，故，则，故选B.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据角的终边经过点，利用三角函数的定义求得，然后利用二倍角公式求解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
12、 (1,4)
【解析】已知过定点,由向右平移个单位，向上平移个单位即可得，故根据平移可得到定点.
【详解】由向右平移个单位，向上平移个单位得到，过定点，则过定点.
【点睛】本题考查指数函数的图象恒过定点以及函数图象的平移问题.图象平移，定点也随之平移，平移后仍是定点.
13、
【解析】基本事件总数6，取出的两件产品都是正品包含的基本事件个数2，由此能求出取出的两件产品都是正品的概率.
【详解】从含有两件正品和一件次品的3件产品中，
按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，
共包含，，，，，6个基本事件，
取出的两件产品都是正品包含，2个基本事件，
∴取出的两件产品都是正品的概率为，
故答案为：.
14、2
【解析】由题意可得，求出的取值范围，从而可出整数的值
【详解】因为幂函数在区间上是减函数，
所以，解得，
因为，
所以，
故答案为：2
15、##
【解析】根据幂函数的定义设函数解析式，将点的坐标代入求解即可.
【详解】由题意知，
设幂函数的解析式为为常数)，
则，解得，
所以.
故答案为：
16、##
【解析】函数的图象与性质，求出、与的值，再利用函数的周期性即可求出答案.
【详解】解：由图象知，，∴，又由图象可得：，可求得，∴，
∴，
∴

故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）“”是“”的必要不充分条件
【解析】（1）利用待定系数法求得.
（2）通过求函数的值域求得，由此确定充分、必要条件.
【小问1详解】
设，，则
则，代入，
∴，.
【小问2详解】
由（1）知，，，
当时，，有，得，
又由，有，得，故，
当时，，有，得，
又由，有，，解得，故，
由Ü，故“”是“”的必要不充分条件
18、（1）最小正周期为，对称轴方程为
（2）函数在上单调递减，在上单调递增；值域为
【解析】（1）先通过降幂公式化简成，再按照周期和对称轴方程进行求解；
（2）求出整体的范围，再结合正弦函数的单调性求解单调区间和值域.
【小问1详解】
；
函数的最小正周期为，
函数的对称轴方程为；
【小问2详解】
，
，
时，函数单调递减，即时，函数在上单调递减；
时，函数在单调递增，即时，函数在上单调递增.
，
函数的值域为.
19、（1）6（2）
【解析】（1）将根式转化为分数指数幂，然后根据幂的运算性质即可化简求值；
（2）利用对数的运算性质即可求解.
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：.
20、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】(1)利用三角函数的和差公式，分别将两边化简后即可；（2）利用 和2倍角公式构造出齐次式，再同时除以即可证明.
【小问1详解】
左边=
=
=
右边=
=
=
左边=右边，所以原等式得证.
【小问2详解】

故原式得证.
21、（1），，，
（2），且
（3）安排316人到软土地带工作，284人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短
【解析】（1）由题意分别计算在软土、硬土地带筑路的时间即可；
（2）由得到零点，即可得到分段函数；
（3）利用函数的单调性即可得到结果.
【小问1详解】
在软土地带筑路时间为：，
在硬土地带筑路时间为，，
【小问2详解】
全队的筑路工期为
由于，即，得
从而，即，且.
【小问3详解】
函数区间上递减，在区间上递增，
所以是函数的最小值点
但不是整数，于是计算和，其中较小者即为所求
于是安排316人到软土地带工作，284人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短