2025-2026学年上海市新中高级中学高一上数学期末质量检测试题含解析.doc

2025-2026学年上海市新中高级中学高一上数学期末质量检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中是信道支持的最大速度或者叫信道容量，是信道的带宽（），S是平均信号功率（），是平均噪声功率（）．已知平均信号功率为，平均噪声功率为，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为（）
A. B.
C. D.
2．如图，的斜二测直观图为等腰，其中，则原的面积为（）

A.2 B.4
C. D.
3．定义在上的函数满足，且当时，，若关于的方程在上至少有两个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4．若用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：

0.5
1
0.75
0.625
0.5625

1
0.462
0.155

则方程的一个近似根（精度为0.1）为（）
A.0.56 B.0.57
C.0.65 D.0.8
5．已知，那么“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）
A. B.
C. D.
7．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）

A. B.
C. D.
8．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是

A.
B.平面
C.平面平面
D.与所成的角等于与所成的角
9．若，则所在象限是
A.第一、三象限 B.第二、三象限
C.第一、四象限 D.第二、四象限
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O于点P，则点P的坐标为　　

A. ，
B. ， 
C. ，
D. 
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知幂函数过点，若，则________
12．已知弧长为cm2的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为_____cm2
13．函数的递增区间是__________________
14．函数的定义域为__________.
15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______
16．已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在初中阶段函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式—利用函数图象研究其性质”，函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对已知经过点的函数的图象和性质展开研究.探究过程如下，请补全过程：
x
…

0
1
7
9
…
y
…

m

0
n
…
（1）①请根据解析式列表，则_________，___________；
②在给出的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；

（2）写出这个函数的一条性质：__________；
（3）已知函数，请结合两函数图象，直接写出不等式的解集：____________.
18．已知函数（x∈R，(m>0)是奇函数.
（1）求m的值：
（2）用定义法证明：f（x）是R上的增函数.
19．已知为的三个内角，向量与向量共线，且角为锐角.
(1）求角的大小；
（2）求函数的值域.
20．已知，，且.
（1）求的值；
（2）求.
21．（1）当，求的值；
（2）设，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用题设条件，计算出原信道容量的表达式，再列出在B不变时用所求平均噪声功率表示的信道容量的表达式，最后列式求解即得.
【详解】由题意可得，，则在信道容量未增大时，信道容量为，信道容量增大到原来2倍时，，则，即，解得，
故选：A
2、D
【解析】首先算出直观图面积，再根据平面图形与直观图面积比为求解即可.
【详解】因为等腰是一平面图形的直观图，直角边，
所以直角三角形的面积是.
又因为平面图形与直观图面积比为，
所以原平面图形的面积是.
故选：D
3、C
【解析】把问题转化为函数在上的图象与直线至少有两个公共点，再数形结合，求解作答.
【详解】函数满足，当时，，
则当时，，当时，，
关于的方程在上至少有两个实数解，
等价于函数在上的图象与直线至少有两个公共点，
函数的图象是恒过定点的动直线，
函数在上的图象与直线，如图，

观察图象得：当直线过点时，，将此时的直线绕点A逆时针旋转到直线的位置，
直线(除时外)与函数在上的图象最多一个公共点，此时或或a不存在，
将时的直线(含)绕A顺时针旋转到直线(不含直线)的位置，
旋转过程中的直线与函数在上的图象至少有两个公共点，此时，
所以实数的取值范围为.
故选：C
【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者
将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
4、B
【解析】利用零点存在性定理和精确度要求即可得解.
【详解】由表格知在区间两端点处的函数值符号相反，且区间长度不超过0.1，符合精度要求，
因此，近似值可取此区间上任一数
故选：B
5、A
【解析】化简得，再利用充分非必要条件定义判断得解.
【详解】解：.
因为“”是“”的充分非必要条件，
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
6、B
【解析】利用向量垂直求得，代入夹角公式即可.
【详解】设的夹角为；
因为，，
所以，
则，
则
故选：B
【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.
7、D
【解析】答案：D 左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案

8、D
【解析】结合直线与平面垂直判定和性质，结合直线与平面平行的判定，即可
【详解】A选项，可知可知，故，正确；
B选项，AB平行CD，故正确；
C选项，，故平面平面，正确；
D选项，AB与SC所成的角为，而DC与SA所成的角为，故错误，故选D
【点睛】考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了异面直线所成角，难度中等
9、A
【解析】先由题中不等式得出在第二象限，然后求出的范围，即可判断其所在象限
【详解】因为，，
所以，故在第二象限，
即，
故，
当为偶数时，在第一象限，
当为奇数时，在第三象限，
即所在象限是第一、三象限
故选A.
【点睛】本题考查了三角函数的象限角，属于基础题
10、D
【解析】直接利用任意角的三角函数的定义求得点P的坐标
【详解】设，由任意角的三角函数的定义得，
，
点P的坐标为
故选D
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】先由已知条件求出的值，再由可求出的值
【详解】因幂函数过点，
所以，得，
所以，
因为，所以，得，
故答案为：
12、
【解析】先求出半径，再用扇形面积公式求解即可.
【详解】由已知半径为，
则这条弧所在的扇形面积为.
故答案为：.
13、
【解析】由已知有，解得，即函数的定义域为，又是开口向下的二次函数，对称轴，所以的单调递增区间为，又因为函数以2为底的对数型函数，是增函数，所以函数的递增区间为
点睛：本题主要考查复合函数的单调区间，属于易错题．在求对数型函数的单调区间时，一定要注意定义域
14、
【解析】解不等式即可得出函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
15、1
【解析】根据题意，由函数在（﹣∞，0）上的解析式可得f（﹣1）的值，又由函数为奇函数可得f（1）=﹣f（﹣1），即可得答案
【详解】根据题意，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，
则f（﹣1）=2×（﹣1）3+（﹣1）2=﹣1，
又由函数奇函数，
则f（1）=﹣f（﹣1）=1；
故答案为1
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，注意利用奇偶性明确f（1）与f（﹣1）的关系
16、或
【解析】令，记的两根为，由题知的图象与直线共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.
【详解】令，记的零点为，
因为集合中有3个元素，所以的图象与直线共有三个交点，
则，或或
当时，得，，满足题意；
当时，得，，满足题意；
当时，，解得.
综上，t的取值范围为或.
故答案为：或

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）①，；②答案见解析
（2）函数的最小值为
（3）或
【解析】（1）把、分别代入函数解析式即可把下表补充完整；描点、连线即可得到函数的图象；
（2）这个函数的最小值为；
（3）画出两个函数的图象，结合图象即可求解结论
【小问1详解】
解：①将和分别代入函数解析式可得：
，；
②根据表格描点，连线，
x

0
1
3
5
7
9
y

0
1
可得这个函数的图象所示：
；
【小问2详解】
解：由图象可知：这个函数的最小值为，（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：在同一直角坐标系中作出和图象如图所示：
当时，令，解得，
当时，令，解得，
所以两个函数图象相交于点，
所以当时，自变量x的取值范围为或，
即不等式的解集为或.

18、（1）2（2）证明见解析
【解析】(1) 因为是定义在R上的奇函数，则，即可得出答案.
(2)通过，来证明f（x）是R上的增函数.
【小问1详解】
因为函数是奇函数，
则，
解得，经检验，当时，为奇函数，所以值为2；
【小问2详解】
证明：由（1）可知，，
设，则，
因为，所以，
故，即，
所以是R上的增函数.
19、 (1)；（2）.
【解析】（1）根据平行向量的坐标关系即可得到（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（sinA+cosA）（sinA﹣cosA）＝0，这样即可解出tan2A，结合A为锐角，即可求出A；
（2）由B+C便得C，从而得到，利用二倍角的余弦公式及两角差的正余弦公式即可化简原函数y＝1+sin（B），由前面知0，从而可得到B的范围，结合正弦函数的图象即可得到的范围，即可得出原函数的值域
【详解】（1）由m∥n，得（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（sinA+cosA）（sinA﹣cosA）＝0，
得到2（1-sin2A）-sin2A+cos2A=0，
所以2cos2A-sin2A+cos2A=0，即3cos2A-sin2A =0
得，所以
且为锐角，则.
（2）由（1）知，，即,
=,
所以，=，
且，则,
所以，则，即函数的值域为.
【点睛】本题考查平行向量的坐标的关系，同角基本关系及向量数量积的计算公式，考查了利用正弦函数的图象求最值及二倍角的余弦公式，两角差的正余弦公式等，属于综合题
20、（1）；（2）.
【解析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求；
（2）先根据，，求出，再根据求解即可.
【详解】（1）∵且，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，

，
所以.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题.
21、（1）；（2）
【解析】（1）利用商数关系，化弦为切，即可得到结果；
（2）利用诱导公式化简，代入即可得到结果.
【详解】（1）因为，且，
所以，原式=
（2）∵
,
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，涉及到正余弦的齐次式（弦化切），诱导公式，属于中档题.