2025年上海市北郊高级中学数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025年上海市北郊高级中学数学高一上期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约（）年到5730年之间？（参考数据：，）
A.4011 B.3438
C.2865 D.2292
2．在边长为3的菱形中，，，则=（）
A. B.-1
C. D.
3．已知定义在上偶函数满足下列条件：①是周期为2的周期函数；②当时，.那么值为（）
A B.
C. D.2
4．下列说法正确的是
A.截距相等的直线都可以用方程表示
B.方程不能表示平行轴的直线
C.经过点，倾斜角为直线方程为
D.经过两点，的直线方程为
5．已知函数则的值为（）
A. B.
C.0 D.1
6．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是单调递减的，设，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
7．已知为所在平面内一点，，则（）
A. B.
C. D.
8．下列四个函数中，在上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
9．函数图像大致为（）
A. B.
C. D.
10． “”是“幂函数在上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为______
12．已知，则____________.（可用对数符号作答）
13．已知函数在上的最大值为2，则_________
14．已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为__________
15．若函数部分图象如图所示，则此函数的解析式为______.

16．将正方形沿对角线折成直二面角， 有如下四个结论：
①；②是等边三角形；③与所成的角为，④取中点，则为二面角的平面角
其中正确结论是__________．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，，.
（1）若，求函数的解析式；
（2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明.
18．已知函数为偶函数
（1）求a的值，并证明在上单调递增；
（2）求满足的x的取值范围
19．进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵.经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数，单位是，是表示鱼的耗氧量的单位数
（1）当一条湟鱼的耗氧量是500个单位时，求它的游速是多少？
（2）某条湟鱼想把游速提高，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
20．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值.
21．要建造一段5000m的高速公路，工程队需要把600人分成两组，一组完成一段2000m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的3000m的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是50人/天和30人/天，设在软土地带工作的人数x人，在软土、硬土地带筑路的时间分别记为，
（1）求，；
（2）求全队的筑路工期；
（3）如何安排两组人数，才能使全队筑路工期最短?
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由已知条件可得，两边同时取以2为底的对数，化简计算可求得答案
【详解】因为碳14的质量是原来的至，所以，
两边同时取以2为底的对数得，
所以，所以，
则推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间.
故选：A.
2、C
【解析】运用向量的减法运算，表示向量，再运用向量的数量积运算，可得选项.
【详解】
.
故选:C.
【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，向量的线性表示，向量的数量积运算，属于基础题.
3、B
【解析】根据函数的周期为2和函数是定义在上的偶函数，可知，再根据条件②，即可求出结果.
【详解】因为是周期为2的周期函数，
所以，
又函数定义在上的偶函数，所以
又当时，，所以.
所以值为.
故选：B.
4、D
【解析】A错误，比如过原点的直线，横纵截距均为0，这时就不能有选项中的式子表示；
B当m=0时，表示的就是和y轴平行的直线，故选项不对
C不正确，当直线的倾斜角为90度时，正切值无意义，因此不能表示．故不正确
D根据直线的两点式得到斜率为，再代入一个点得到方程为：
故答案为D
5、D
【解析】根据分段函数解析式及指数对数的运算法则计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，
故选：D
6、A
【解析】先判断出上单调递增，由，即可得到答案.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以的图像关于y轴对称，且.
又在上是单调递减的，所以在上单调递增.
因为，，所以: ，所以,即.
故选：A
7、A
【解析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可得出答案.
【详解】解：因为为所在平面内一点，，
所以.
故选：A
8、C
【解析】A.利用一次函数的性质判断；B.利用二次函数的性质判断；C.利用反比例函数的性质判断；D.由，利用一次函数的性质判断；
【详解】A.由一次函数的性质知：在上为减函数，故错误；
B.由二次函数的性质知：在递减，在上递增，故错误；
C.由反比例函数的性质知：在上递增，在递增，则在上为增函数，故正确；
D.由知：函数在上为减函数，故错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.
9、C
【解析】先分析给定函数的奇偶性，排除两个选项，再在x>0时，探讨函数值正负即可判断得解.
【详解】函数的定义域为，
，即函数是定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A，B；
x>0时，，而，则有，显然选项D不满足，C符合要求.
故选：C
10、A
【解析】由幂函数的概念，即可求出或，再根据或均满足在上单调递增以及充分条件、必要条件的概念，即可得到结果.
【详解】若为幂函数，则，解得或，
又或都满足在上单调递增
故“”是“幂函数在上单调递增”的充分不必要条件
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，
弧长，可得=4，
这条弧所在的扇形面积为，故答案为.
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.
12、
【解析】根据对数运算法则得到，再根据对数运算法则及三角函数弦化切进行计算.
【详解】∵，∴，
又，.
故答案为：
13、1
【解析】先求导可知原函数在上单调递增，求出参数后即可求出.
【详解】解：在上
在上单调递增，且当取得最大值
，可知

故答案为：1
14、
【解析】由题意可得弦心距d=，故半径r=5，
故圆C的方程为x2+（y+2）2=25，
故答案为x2+（y+2）2=25
15、.
【解析】由周期公式可得，代入点解三角方程可得值，进而可得解析式.
【详解】由题意，周期，解得，
所以函数，又图象过点，
所以，得，
又，所以，
故函数的解析式为.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数解析式的求解，涉及系数的意义，属于基础题.
16、①②④
【解析】如图所示，取中点，则，，
所以平面，从而可得，故①正确；
设正方形边长为，则，
所以，又因为， 所以是等边三角形，故②正确；
分别取，的中点为，，连接，，．则，且，，且，则是异面直线，所成的角
在中，，，
∴
则是正三角形，故，③错误；

如上图所示，由题意可得：，则,
由可得，
据此可知：为二面角的平面角，
说法④正确.
故答案为：①②④.
点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变
(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）见解析.
【解析】(1)由求a的值即可；
(2)根据a的大小分类讨论即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
任取，且，则，，
，
①时，，在单调递增；
②时，
(i)时，单调递减；
(ii)时，单调递增；
即时，f(x)在单调递减，在单调递增；
③时，
，在单调递减.
综上所述，
时，在单调递增；
时，f(x)在单调递减，在单调递增；
时，在单调递减.
18、（1）；证明见解析
（2）
【解析】（1）由偶函数的定义解方程可得a=1，再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可得结
论；
（2）由偶函数的性质：，结合（1）的结论，原不等式化为，再由绝对值不等式的解法可得所求解集.
【小问1详解】
解：由题意函数为偶函数，
∴，即
∴对任意恒成立，解得
∴
任取，则

由，可得，
∴，即，
∴在上单调递增
【小问2详解】
由偶函数的对称性可得在上单调递减，
∴，
∴，解得，
∴满足的x的取值范围是
19、（1）约为1.17m/s；（2）4.
【解析】（1）将代入函数解析式解得即可；
（2）根据现在和以前的游速之差为1列出等式，进而解得即可.
【小问1详解】
由题意，游速为.
【小问2详解】
设原来和现在耗氧量的单位数分别为，所以，所以耗氧量的单位数是原来的4倍.
20、（1）
（2）4
【解析】（1）根据余弦函数的周期公式，求得答案；
（2）根据余弦函数的性质，可求得函数f(x)的最大值.
【小问1详解】
由题意可得：函数的最小正周期为：；
【小问2详解】
因为，
故，
即的最大值为4.
21、（1），，，
（2），且
（3）安排316人到软土地带工作，284人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短
【解析】（1）由题意分别计算在软土、硬土地带筑路的时间即可；
（2）由得到零点，即可得到分段函数；
（3）利用函数的单调性即可得到结果.
【小问1详解】
在软土地带筑路时间为：，
在硬土地带筑路时间为，，
【小问2详解】
全队的筑路工期为
由于，即，得
从而，即，且.
【小问3详解】
函数区间上递减，在区间上递增，
所以是函数的最小值点
但不是整数，于是计算和，其中较小者即为所求
于是安排316人到软土地带工作，284人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短