2025-2026学年江苏省南通市通州区、海安县高一数学第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

2025-2026学年江苏省南通市通州区、海安县高一数学第一学期期末调研模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列说法不正确的是（）
A.奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点 B.偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和y轴相交
C.若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则 D.若奇函数的图象与y轴相交，交点不一定是原点
2．若函数的定义域和值域都为R，则关于实数a的下列说法中正确的是
A.或3 B.
C.或 D.
3．已知全集，，，则()=（）
A.{} B.{}
C.{} D.{}
4．函数的零点个数为
A.1 B.2
C.3 D.4
5．当生物死后，它体内的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半.2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14检测，检测出碳14的残留量约为初始量的，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（ ）（参考数据：，)
A.年 B.年
C.年 D.年
6．定义域为R的偶函数满足对任意的,有=且当时,=,若函数=在(0,+上恰有六个零点,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
7．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴为
A. B.
C. D.
8．已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
9．已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂
足．若，则到平面的距离等于

A. B.
C. D.1
10．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；②与；
③与；④与
A.① ② B.① ③
C.③ ④ D.① ④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，且，则的最小值为___________.
12．已知A，B，C为的内角.
（1）若，求的取值范围；
（2）求证：；
（3）设，且，，，求证：
13．已知函数的两个零点分别为，则___________.
14．函数的值域为，则实数a的取值范围是______
15．函数的图象恒过定点,点在幂函数的图象上,则=____________
16．下面有六个命题：
①函数是偶函数；
②若向量的夹角为，则；
③若向量的起点为，终点为，则与轴正方向的夹角的余弦值是；
④终边在轴上的角的集合是；
⑤把函数的图像向右平移得到的图像；
⑥函数在上是减函数.
其中，真命题的编号是__________．（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）若有两个零点、，且，求的值；
（2）若命题“，”假命题，求的取值范围
18．已知的三个内角所对的边分别为，且.
（1）角的大小；
（2）若点在边上，且，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，若，试求的长.

19．已知角终边上有一点，且.
（1）求的值，并求与的值；
（2）化简并求的值.
20．已知函数为奇函数
（1）求实数的值，判断函数的单调性并用定义证明；
（2）求关于的不等式的解集
21．已知，均为锐角，且，是方程的两根.
（1）求的值；
（2）若，求与的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】对于AB，举例判断，对于CD根据函数奇偶性和对称性的关系分析判断即可
【详解】对于A，是奇函数，其图象关于原点对称，但不过原点，所以A正确，
对于B，是偶函数，其图象关于轴对称，但与轴不相交，所以B正确，
对于C，若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则两个交点关于轴对称，所以，所以C正确，
对于D，若奇函数与y轴有交点，则，故，所以函数必过原点，所以D错误，
故选：D
2、B
【解析】若函数的定义域和值域都为R，则.
解得或3.
当时，，满足题意；
当时，，值域为{1}，不满足题意.
故选B.
3、D
【解析】先求得，再求与集合的交集即可.
【详解】因为全集，，，
故可得，则().
故选：.
4、C
【解析】令，得到，画出和的图像，根据两个函数图像交点个数，求得函数零点个数.
【详解】令，得，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，也即有个零点.
故选C.

【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
5、B
【解析】根据碳14的半衰期为5730年，即每5730年含量减少一半，设原来的量为，经过年后变成了，即可列出等式求出的值，即可求解.
【详解】解：根据题意可设原来的量为，
经过年后变成了，
即，
两边同时取对数，得：，
即，
，
，
以此推断此水坝建成的年代大概是公元前年.
故选：B.
6、C
【解析】因为=,且是定义域为R的偶函数，令,则，解得，所以有=，所以是周期为2的偶函数，因为当时，=，其图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线，因为函数=在(0,+上恰有六个零点，令，因为所以，所以，要使函数=在(0,+上恰有六个零点，如图所示：

只需要,解得.故选C.
点睛：本题考查函数的零点及函数与方程，解答本题时要注意先根据函数给出的性质对称性和周期性，画出函数的图象，然后结合函数的零点个数即为函数和图象交点的个数，利用数形结合思想求得实数的取值范围.
7、C
【解析】，
所以，所以，所以是一条对称轴
故选C
8、C
【解析】
由，即，分别作出函数和的图象如图，由图象可知表示过定点的直线，当过时，此时两个函数有两个交点，当过时，此时两个函数有一个交点，所以当时，两个函数有两个交点，所以在内有且仅有两个不同的零点，实数的取值范围是，故选C.
9、C
【解析】如图，在平面内过点作于点

因为为直二面角，，所以，从而可得．又因为，所以面，故的长度就是点到平面的距离
在中，因为，所以
因为，所以．则在中，因为，所以．因为，所以，故选C
10、C
【解析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可.
【详解】①中的定义域为，的定义域也是，但与对应关系不一致，所以①不是同一函数；
②中与定义域都是R，但与对应关系不一致，所以②不是同一函数；
③中与定义域都是，且，对应关系一致，所以③是同一函数；
④中与定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.
故选C
【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由已知凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值
【详解】因为，，且，
所以，当且仅当，即时等号成立
故答案为：
12、（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）根据两角和的正切公式及均值不等式求解；
（2）先证明，
再由不等式证明即可；
（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.
【小问1详解】
,
为锐角，

，
，

解得，当且仅当时，等号成立，
即.
【小问2详解】
在中，，

, ,
.
【小问3详解】
由（2）知

，
令，
原不等式等价为，
在上为增函数，
，
，
同理可得，
，，
，
故不等式成立，
问题得证.
【点睛】本题第3问的证明需要用到，换元后转换为，再构造不等式是证明的关键，本题的难点就在利用函数单调性构造出不等式.
13、
【解析】依题意方程有两个不相等实数根、，利用韦达定理计算可得；
【详解】解：依题意令，即，
所以方程有两个不相等实数根、，
所以，，
所以；
故答案为：
14、
【解析】分，，三类，根据一次函数和二次函数的性质可解.
【详解】当时，，易知此时函数的值域为；
当时，二次函数图象开口向下，显然不满足题意；
当时，∵函数的值域为，
∴，解得或，
综上，实数a的取值范围是，
故答案为：.
15、
【解析】因为函数图象恒过定点，则可之令2x-3=1,x=2,函数值为4，故过定点（2，4），然后根据且点在幂函数的图象上，设,故可知=9，故答案为9.
考点：对数函数
点评：本题考查了对数函数图象过定点（1，0），即令真数为1求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标
16、①⑤
【解析】对于①函数，则=，所以函数是偶函数；故①对；
对于②若向量的夹角为，根据数量积定义可得，此时的向量应该为非零向量；故②错；
对于③=，所以与轴正方向的夹角的余弦值是-；故③错；
对于④终边在轴上的角的集合是；故④错；
对于⑤把函数的图像向右平移得到，故⑤对；
对于⑥函数=在上是增函数.故⑥错；
故答案为①⑤.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）由已知条件可得，结合韦达定理可求得实数的值；
（2）由已知可知，命题“，”为真命题，可得其判别式，即可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由已知可得，可得或，
由韦达定理可得，，
所以，，解得，合乎题意.
故.
【小问2详解】
解：由题意可知，，，
则判别式，解得.
所以，实数的取值范围是.
18、 (1)；(2)；(3).
【解析】（1）由条件知，结合正弦定理得，整理得，可得，从而得．（2）由，得．在中，由正弦定理得．在中，由余弦定理可得．所以 ．（3）由，可得．在中，由余弦定理得
试题解析：
（1），
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
（2）由，得，
在中，由正弦定理知，
∴，
解得，
设，
在中，由余弦定理得，
∴，
整理得
解得，
∴ ；
（3）∵，
∴，
在中，由余弦定理得

∴.
19、（1），，
（2）
【解析】（1）直接利用三角函数的定义依次计算得到答案.
（2）根据诱导公式化简得到原式等于，计算得到答案.
【小问1详解】
，，解得.
故，.
【小问2详解】
.
20、（1），函数为R上的增函数，证明见解析
（2）
【解析】(1)f(x)是R上奇函数，则f(0)＝0，即可求出a；设R，且，作差化简判断大小关系，根据单调性的定义即可判断单调性；
(2)，根据(1)中单调性可去掉“f”，将问题转化为解三角不等式.
【小问1详解】
∵的定义域是R且是奇函数，
∴，即.
为R上的增函数，证明如下：
任取R，且，
则，
∴为增函数，，∴
∴，
∴，即，
∴在R上是增函数
【小问2详解】
∵，，
又在R上是增函数，，即，
，
∴原不等式的解集为.
21、（1）
（2）；
【解析】（1）利用韦达定理求出，再根据两角和的正切公式即可得解；
（2）求出，再根据二倍角正切公式即可求得，化弦为切即可求出.
【小问1详解】
解：因为，均为锐角，且，是方程的两根，
所以，
所以；
【小问2详解】
因为，均为锐角，，
所以，所以，
所以，
.