江西省新余市第一中学2025年数学高一第一学期期末统考试题含解析.doc

江西省新余市第一中学2025年数学高一第一学期期末统考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合A={x∈N|1<x<log2k}，集合A中至少有2个元素，则（）
A.k≥4 B.k>4
C.k≥8 D.k>8
2．已知，则=
A.2 B.
C. D.1
3．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（）
A. B.
C. D.或
4．已知，，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
5．下列向量的运算中，正确的是
A. B.
C. D.
6．为了得到函数，的图象，只要把函数，图象上所有的点（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
7．如图所示韦恩图中，若A={1，2，3，4，5}，B={3，4，5，6，7}，则阴影部分表示的集合是（　　）

A.2，3，4，5，6， B.2，3，4，
C.4，5，6， D.2，6，
8．已知函数的图像如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（ ）

A. B.
C. D.
9．已知函数，则下列判断正确的是
A.函数是奇函数，且在R上是增函数
B.函数偶函数，且在R上是增函数
C.函数是奇函数，且在R上是减函数
D.函数是偶函数，且在R上是减函数
10．如图，在中，为边上的中线，，设，若，则的值为

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为_______；的取值范围是________.
12．已知，若是的充分不必要条件，则的取值范围为______
13．已知函数，若存在，使得f（）＝g（），则实数a的取值范围为___
14．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，再向右平移单位，所得到的函数解析式是_________.
15．水葫芦又名凤眼莲，是一种原产于南美洲亚马逊河流域属于雨久花科，凤眼蓝属 的一种漂浮性水生植物，繁殖极快，广泛分布于世界各地，被列入世界百大外来入侵种之一．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2；
③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中，正确的是________．(填序号)．
16．定义在上的函数满足，且时，，则________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合A={x|a-1<x<2a+1}，B={x|x2-x<0}
（I）若a=1，求AB，；
（II）若AB=，求实数a的取值范围
18．已知函数其中，求：
函数的最小正周期和单调递减区间；
函数图象的对称轴
19．（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数的单调递减区间.
20．化简下列各式：
（1）；
（2）.
21．已知函数f（x）=a+是奇函数，a∈R是常数
（Ⅰ）试确定a的值；
（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
（Ⅲ）若f（2t+1）+f（1-t）＜0成立，求t的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】首先确定集合A，由此得到log2k > 3，即可求k的取值范围.
【详解】∵集合A={x∈N|1<x<log2k}，集合A中至少有2个元素，
∴A={2,3}，则log2k > 3，可得k > 8.
故选：D.
2、D
【解析】.故选.
3、C
【解析】根据扇形面积公式，求出扇形的半径，再由弧长公式，即可求出结论.
【详解】因为扇形的弧长为4，面积为2，
设扇形的半径为，则，
解得，则扇形的圆心角的弧度数为.
故选:C.
【点睛】本题考查扇形面积和弧长公式应用，属于基础题.
4、A
【解析】将转化为是函数的零点问题，再根据零点存在性定理即可得的范围，进而得答案.
【详解】解：因为函数在上单调递减，所以；
；
因为满足，即是方程的实数根，
所以是函数的零点，
易知函数f(x)在定义域内是减函数，
因为，，
所以函数有唯一零点，即.
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小，函数零点的取值范围，考查化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将满足转化为是函数的零点，进而根据零点存在性定理即可得的范围.
5、C
【解析】利用平面向量的三角形法则进行向量的加减运算，即可得解.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，属于基础题.解题时，要注意向量的起点和终点.
6、C
【解析】利用辅助角公式可得，再由三角函数的平移变换原则即可求解.
【详解】解：，
，
为了得到函数，的图象，
只要把函数，图象上所有的点向左平移个单位长度
故选：C．
7、D
【解析】根据图象确定阴影部分的集合元素特点，利用集合的交集和并集进行求解即可
【详解】阴影部分对应的集合为{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，
∵A∪B={1，2，3，4，5，6，7}，A∩B={3，4，5}，
∴阴影部分的集合为{1，2，6，7}，
故选D
【点睛】本题主要考查集合的运算，根据Venn图表示集合关系是解决本题的关键
8、B
【解析】由函数的图象可得，函数的图象过点 ，分别代入函数式， ，解得 ，函数与都是增函数，只有选项符合题意，故选B.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
9、A
【解析】求出的定义域，判断的奇偶性和单调性，进而可得解.
【详解】的定义域为R，且；
∴是奇函数；
又和都是R上的增函数；
是R上的增函数
故选A
【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题
10、C
【解析】分析：求出，，利用向量平行的性质可得结果.
详解： 因为
所以，
因为，则，
有，
，
由可知，解得．故选
点睛：本题主要考查平面向量的运算，属于中档题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】根据题意，直接列式，根据题意求的最小值和最大值，得到的取值范围.
【详解】由题意可知函数关系式是，
由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是.
故答案为：；
12、
【解析】根据不等式的解法求出的等价条件，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系即可
【详解】由得得或，
由得或，
得或，
若是的充分不必要条件，
则即得，
又，则，
即实数的取值范围是，
故填：
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行转化是解决本题的关键，为基础题
13、
【解析】先求出的值域，再求出的值域，利用和得到不等式组求解即可.
【详解】因为，所以，故，即
因为，依题意得，解得
故答案为：.
14、
【解析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案.
【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，
得到，
再向右平移个单位，得到，
故最终所得到的函数解析式为：.
故答案为：.
15、①②④
【解析】设且，根据图像求出，结合计算进而可判断①②③④；
根据第1到第3个月、第2到第4个月的面积即可求出对应的平均速度，进而判断⑤.
【详解】因为其关系为指数函数，
所以可设且，
又图像过点，所以.
所以指数函数的底数为2，故①正确；
当时，，故②正确；
当y=4时，；
当y=12时，；
所以，故③错误；
因为，
所以，故④正确；
第1到第3个月之间的平均速度为：，
第2到第4个月之间的平均速度为：，
，故⑤错误.
故答案为：①②④
16、
【解析】根据题意可得，再根据对数运算法则结合时的解析式，即可得答案；
【详解】由可得函数为奇函数，
由可得，
故函数的周期为4，
所以，
因为，所以.
.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数奇偶性及对数的运算法则，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（I）；（II）或
【解析】（I）先解不等式得集合B，再根据并集、补集、交集定义求结果；
（II）根据与分类讨论，列对应条件，解得结果.
【详解】（I）
a=1，A={x|0<x<3}，
所以
；
（II）因为AB=，
所以当时，，满足题意；
当时，须或
综上，或
【点睛】本题考查集合交并补运算、根据并集结果求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.
18、（1）最小正周期为，； （2），.
【解析】利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式化简，再利用正弦函数的周期性、单调性，即可得出结论．利用正弦函数图象的对称性，即可得图象的对称轴
【详解】函数，故函数的最小正周期为，
令，求得，
故函数的减区间为，
令，求得，，故函数的图象的对称轴为，
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，以及图象的对称性，属于中档题
19、（1）（2）
【解析】（1）直接由求解即可，
（2）由求出函数的单调减区间，再与求交集即可
【详解】（1）由，得
，
所以函数增区间为，
（2）由，得
，
所以函数上的增区间为，
20、（1）0 （2）1
【解析】（1）由诱导公式化简计算；
（2）由诱导公式化简即可得解
【小问1详解】
；
【小问2详解】

21、（Ⅰ）a=1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）-2＜t＜-或t＞1.
【解析】（Ⅰ） 根据恒成立可得；
（Ⅱ） 按照设点、作差、变形、判号、下结论，五个步骤证明；
（Ⅲ） 利用奇偶性、单调性转化不等式，从而求解
【详解】（Ⅰ）∵f（x）+f（-x）=2a++=2a-=2a-2=0对R恒成立，∴a=1
（Ⅱ）设0＜x1＜x2＜+∞，∵f（x2）-f（x1）=-=.  （*）
∵函数y=2x是增函数，又0＜x1＜x2，∴＞0，
而-1＞0，-1＞0，∴（*）式小于0
∴f（x2）＜f（x1），即f（x）是区间（0，+∞）上是减函数
（Ⅲ）∵f（x）是奇函数，∴f（2t+1）+f（1-t）＜0可化为f（2t+1）＜f（t-1）
由（Ⅱ）可知f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数
当2t+1＞0，t-1＞0时，f（2t+1）＜f（t-1）化为2t+1＞t-1，
解得t＞1；
当2t+1＜0，t-1＜0时，f（2t+1）＜f（t-1）化为2t+1＞t-1，
解得-2＜t＜-；
当2t+1＜0，t-1＞0时，f（2t+1）＜0＜f（t-1）显然成立，无解；
当2t+10，t-10时，f（2t+1）0，f（t-1），f（2t+1）＜f（t-1）显然不成立，
综上，f（2t+1）+f（1-t）＜0成立时t的取值范围是-2＜t＜-或t＞1
【点睛】本题考查了偶函数定义，单调性的证明，偶函数的应用及单调性的应用，等价转化思想，属中档题