2025-2026学年河北省石家庄实验中学高一上数学期末综合测试试题含解析.doc

2025-2026学年河北省石家庄实验中学高一上数学期末综合测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，，，则
A. B.
C. D.
2．若∃x∈[0，3]，使得不等式x2﹣2x+a≥0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.﹣3≤a≤0 B.a≥0
C.a≥1 D.a≥﹣3
3．若函数 满足且的最小值为，则函数的单调递增区间为
A. B.
C. D.
4．下列函数中与是同一函数的是（）
（1）（2）（3）（4）（5）
A.（1）（2） B.（2）（3）
C.（2）（4） D.（3）（5）
5．实验测得四组（x，y）的值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（）
A.
B.
C.
D.
6．函数的定义域是（　）
A. B.
C. D.
7．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是（）
①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A.②④ B.①③
C.①④ D.②③
8．要得到函数的图象，只需要将函数的图象
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
9．若偶函数在区间上是减函数，是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是（）
A. B.
C. D.
10．函数的部分图象如图所示，则可能是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年
（1）求森林面积的年增长率；
（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
（3）为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：，）
12．已知函数是幂函数，且过点，则___________.
13．不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是__________
14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为2，半径为1米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米.（结果保留两位有效数字，参考数据：，）

15．已知一个圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，则该圆锥的体积为____________.
16．设函数，则下列结论
①的图象关于直线对称
②的图象关于点对称
③的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
④的最小正周期为，且在上为增函数
其中正确的序号为________.（填上所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．已知集合，集合.
（1）求集合；
（2）求
19．已知函数，其中.
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最大值为2.求a的值.
20．在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x千件需另投入成本，当年产量不足60千件时，（万元），当年产量不小于60千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完
（1）写出利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？
21．如图，在几何体中，，均与底面垂直，且为直角梯形，，，，，分别为线段，的中点，为线段上任意一点.

（1）证明：平面.
（2）若，证明：平面平面.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】A项：利用向量的坐标运算以及向量共线的等价条件即可判断.
B项：利用向量模的公式即可判断.
C项：利用向量的坐标运算求出数量积即可比较大小.
D项：利用向量加法的坐标运算即可判断.
【详解】A选项：因为，，所以与不共线.
B选项：，，显然，不正确.
C选项：因为，所以，不正确；
D选项：因为，所以，正确；答案为D.
【点睛】主要考查向量加、减、数乘、数量积的坐标运算，还有向量模的公式以及向量共线的等价条件的运用.属于基础题.
2、D
【解析】等价于二次函数的最大值不小于零，即可求出答案.
【详解】设，
，使得不等式成立，
须，即，或，
解得.
故选:D
【点睛】本题考查特称命题成立求参数的问题，等价转化是解题的关键，属于基础题.
3、D
【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.
详解：，
根据题中条件满足且的最小值为，
所以有，所以，从而有，
令，整理得，
从而求得函数的单调递增区间为，故选D.
点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确.
4、C
【解析】将5个函数的解析式化简后，根据相等函数的判定方法分析，即可得出结果.
【详解】（1）与定义域相同，对应关系不同，不是同一函数；
（2）与的定义域相同，对应关系一致，是同一函数；
（3）与定义与相同，对应关系不同，不是同一函数；
（4）与定义相同，对应关系一致，是同一函数；
（5）与对应关系不同，不是同一函数；
故选：C.
5、A
【解析】根据所给数据，求出样本中心点，把样本中心点代入所给四个选项中验证，即可得答案
【详解】解：由已知可得，
所以这组数据的样本中心点为，
因样本中心必在回归直线上，
所以把样本中心点代入四个选项中验证，可得只有成立，
故选：A.
6、C
【解析】函数式由两部分构成，且每一部分都是分式，分母又含有根式，求解时既保证分式有意义，还要保证根式有意义
【详解】解：要使原函数有意义，需解得，所以函数的定义域为．故选C
【考点】函数的定义域及其求法
【点睛】先把函数各部分的取值范围确定下来，然后求它们的交集是解决本题的关键
7、B
【解析】对于①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，②④根据运算性质可得均正确.
【详解】∵xy>0，∴①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，
②logax2＝2loga|x|，④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|，根据对数运算性质得两个都正确；
故选：B.
8、B
【解析】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位
本题选择B选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同
9、C
【解析】根据，可得，根据的单调性，即可求得结果.
【详解】因为是锐角三角形的两个内角，故可得，
即，又因为，故可得；
是偶函数，且在单调递减，
故可得在单调递增，
故.
故选：C.
【点睛】本题考查由函数奇偶性判断函数的单调性，涉及余弦函数的单调性，属综合中档题.
10、A
【解析】先根据函数图象，求出和，进而求出，代入特殊点坐标，求出，，得到正确答案.
【详解】由图象可知：，且，所以，不妨设：，将代入得：，即，，解得：，，当时，，故A正确，其他选项均不合要求.
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（1）；
（2）5年；（3）17年.
【解析】（1）设森林面积的年增长率为，则，解出，即可求解；
（2）设该地已经植树造林年，则，解出的值，即可求解；
（3）设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，再结合对数函数的公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设森林面积的年增长率为，则，解得
【小问2详解】
解：设该地已经植树造林年，则，
，解得，
故该地已经植树造林5年
【小问3详解】
解：设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，
则，，
，
，即取17，
故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林17年
12、
【解析】由题意，设代入点坐标可得，计算即得解
【详解】由题意，设，过点
故，解得
故
则
故答案为：
13、
【解析】利用二次不等式与相应的二次函数的关系，易得结果.
详解】∵不等式对任意实数都成立，
∴
∴＜k＜2
故答案为
【点睛】（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式
（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法
14、
【解析】由题设可得“弦”为，“矢”为，结合弧田面积公式求面积即可.
【详解】由题设，“弦”为，“矢”为，
所以所得弧田面积是.
故答案为：.
15、##
【解析】由题可得，然后利用圆锥的体积公式即得.
【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h,由圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，

∴，
∴该圆锥的体积为.
故答案为：.
16、③
【解析】利用正弦型函数的对称性判断①②的正误，利用平移变换判断③的正误，利用周期性与单调性判断④的正误.
【详解】解：对于①，因为f（）＝sinπ＝0，所以不是对称轴，故①错；
对于②，因为f（）＝sin，所以点不是对称中心，故②错；
对于③，将把f（x）的图象向左平移个单位，得到的函数为
y＝sin[2（x）]＝sin（2x）＝cos2x，所以得到一个偶函数的图象；
对于④，因为若x∈[0，]，则，所以f（x）在[0，]上不单调，故④错；
故正确的结论是③
故答案为③
【点睛】此题考查了正弦函数的对称性、三角函数平移的规律、整体角处理的方法，正弦函数的图象与性质是解本题的关键
三、

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）为奇函数，证明见解析
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）求出函数的定义域，然后验证、之间的关系，即可证得函数为奇函数；
（2）任取、，且，作差，因式分解后判断差值的符号，即可证得结论成立；
（3）由参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
证明：函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域为，，
所以为奇函数.
【小问2详解】
证明：任取、，且，则，，

，
所以，，所以在区间上单调递增.
【小问3详解】
解：不等式在上恒成立
等价于在上恒成立，
令，因为，所以，
则有在恒成立，
令，，则，
所以，所以实数的取值范围为.
18、（1）；（2）
【解析】⑴解不等式求得集合
⑵根据已知的集合，集合，运用交集的运算即可求得
解析：（1）由已知得.
（2）.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据对数的性质进行求解即可；
（2）根据对数的运算性质，结合配方法、对数复合函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）要使函数有意义，则有，
解得，
所以函数的定义域为.
（2）函数可化.
因为，所.
因，所以，
即，
由，解得.
20、（1）；
（2）当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.
【解析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本，可得出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数的最大值及其对应的值，由此可得出结论.
【小问1详解】
由题意可知，
当时，，
当时，，
故有；
【小问2详解】
当时，，
即时，，
当时，有，
当且仅当时，,
因为，所以时，，
答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.
21、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）由题可得，进而可得平面，因为，，所以四边形为平行四边形，即，从而得出平面，平面平面，进而证得平面
（2）由题可先证明四边形为正方形，连接，则，再证得平面，进而证得平面平面.
【详解】证明：（1）因平面，平面，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
因为，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面.

（2）因为，所以为等腰直角三角形，
则.
因为为的中点，且四边形为平行四边形，
所以，
故四边形为正方形.
连接，则.
因为平面，平面，
所以.
因为，平面，平面，
所以平面.
因为分别，的中点，
所以，则平面.
因为平面，
所以平面平面.
【点睛】本题主要考查证明线面平行问题以及面面垂直问题，属于一般题