2025年山西农业大学附属中学高一数学第一学期期末考试试题含解析.doc

2025年山西农业大学附属中学高一数学第一学期期末考试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知α是第三象限的角，且，则（ ）
A. B.
C. D.
2．若，，则（）
A. B.
C. D.
3．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
4．已知集合，，若，则
A. B.
C. D.
5．已知函数是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则
A. B.
C. D.
6．针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航.已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，歼16D战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（ ）倍（精确度为0.01）.
A.0.67 B.0.92
C.1.09 D.1.26
7．如图，把边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折起，当直线BD和平面ABC所成的角为时，三棱锥的体积为（ ）

A. B.
C. D.
8．设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．已知集合
A. B.
C. D.
10．已知函数，，则（）
A.的最大值为 B.在区间上只有个零点
C.的最小正周期为 D.为图象的一条对称轴
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_________.
12．已知定义域为的奇函数，则的解集为__________.
13．如图,二面角的大小是30°,线段，与所成的角为45°,则与平面所成角的正弦值是__________

14．若函数是奇函数，则__________.
15．计算：__________
16．已知与是两个不共线的向量，且向量(+λ)与(-3)共线，则λ的值为_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，
（1）求证：为奇函数；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）解关于的不等式
18．如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满，记，，试以为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题；

（1）用来表示向量；
（2）若，且，求；
19．计算：
20．已知不等式的解集为或.
（1）求b和c的值；
（2）求不等式的解集.
21．已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由已知求得，则由诱导公式可求.
【详解】α是第三象限的角，且，
，.
故选：B.
2、A
【解析】由不等式的性质判断A、B、D的正误，应用特殊值法的情况判断C的正误.
【详解】由，则，A正确；，B错误；，D错误.
当时，，C错误；
故选：A.
3、C
【解析】观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C.
4、A
【解析】利用两个集合的交集所包含的元素，求得的值，进而求得.
【详解】由于，故，所以，故，故选A.
【点睛】本小题主要考查两个集合交集元素的特征，考查两个集合的并集的概念，属于基础题.
5、A
【解析】依题意有.
6、C
【解析】根据给定信息，求出，再列式求解作答.
【详解】依题意，，即，则歼20战机所受的大气压强，
歼16D战机所受的大气压强，，
所以歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的倍.
故选：C
7、C
【解析】取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为，可以证明平面、平面，求出的面积后利用公式求出三棱锥的体积.
【详解】
取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为.
因为为等腰直角三角形，故，同理，
而，故平面，
而平面，故平面平面，
因为平面平面，平面，
故平面，故为直线BD和平面ABC所成的角，
所以.
在等腰直角形中，因为，，故，
同理，故为等边三角形，故.
故.
故选：C.
【点睛】思路点睛：线面角的构造，往往需要根据面面垂直来构建线面垂直，而后者来自线线垂直，注意对称的图形蕴含着垂直关系，另外三棱锥体积的计算，需选择合适的顶点和底面.
8、A
【解析】根据图象可得：，，，.，
则.令，，求函数的值域，即可得出结果.
【详解】画出函数的大致图象如下：

根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且，
则，，，.，
，，
则.
令，，而函数在单调递增，
所以，则.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题.
9、D
【解析】由已知，所以
考点：集合的运算
10、D
【解析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：函数
，
可得的最大值为2，最小正周期为，故A、C错误；
由可得，即，
可知在区间上的零点为，故B错误；
由，可知为图象的一条对称轴，故D正确
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】首先根据函数的解析式确定，再利用换元法将函数
在区间上有两个不同的零点的问题，转化为方程
区间上有两个不同根的问题，由此列出不等式组解得答案.
【详解】函数在区间上有两个不同的零点，
则 ，故由 可知： ，
当时，，显然不符合题意，故，
又函数在区间上有两个不同的零点，
等价于在区间上有两个不同的根，
设 ，
则函数在区间上有两个不同的根，
等价于 在区间上有两个不同的根，
由得 ，
要使区间上有两个不同的根，
需满足 ，解得 ，
故答案为：
12、
【解析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性.等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.
【详解】由题知，，
则恒成立，即，，
又定义域应关于原点对称，则，解得，
因此，，易知函数单增，
故等价于
即，解得
故答案为：
13、
【解析】
过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线,垂足为D.
连结AD，由CD⊥l, AC⊥l得， l⊥面ACD，可得AD⊥l，
因此,∠ADC为二面角α−l−β的平面角,∠ADC=30°
又∵AB与l所成角为45°,∴∠ABD=45°
连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，
∴∠ABC为AB与平面β所成的角
设AD=2x,则Rt△ACD中,AC=ADsin30°=x，
Rt△ABD中,
∴Rt△ABC中,
故答案为.
点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.
14、
【解析】根据题意，得到，即可求解.
【详解】因为是奇函数，可得.
故答案为：.
15、
【解析】.
故答案为.
点睛：（1）任何非零实数的零次幂等于1；
（2）当，则；
（3）.
16、-
【解析】由向量共线可得+λ=k((-3)，计算即可.
【详解】由向量共线可得+λ=k((-3)，
即+λ=k-3 k，∴解得λ=-.
故答案为：-

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】（1）求得的定义域，计算，与比较可得；
（2）原不等式等价为对恒成立，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围；
（3）原不等式等价为，设，判断其单调性可得的不等式，即可求出.
【小问1详解】
函数，
由解得或，可得定义域，关于原点对称，
因为，
所以是奇函数；
【小问2详解】
由或，解得，
所以恒成立，即，
则，即对恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围为；
【小问3详解】
不等式即为，
设，即，可得在上递减，
所以，则，解得，
所以不等式的解集为.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）由平面向量的线性运算法则结合图形即可得解；
（2）由平面向量数量积的运算律可得，进而可得，再由运算即可得解.
【详解】（1）∵在平行四边形中，，
∴；
（2）由（1）可知：，
∴，
∵且，
∴，∴，
又，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了平面向量线性运算及数量积运算的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
19、109
【解析】化根式为分数指数幂，运用有理数指数幂的运算性质化简可求出值.
【详解】原式＝（）6+1
＝22×33+2﹣1
＝108+2﹣1
＝109
【点睛】本题考查根式的概念，将根式化为分数指数幂和其运算法则的应用，属于基础题.
20、（1）；；（2）
【解析】（1）利用二次不等式的解集与相应的二次方程的根的关系，判断出1，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出，的值
（2）将，的值代入不等式，将不等式因式分解，求出二次不等式的解集
【详解】解：（1）不等式的解集为或
，2是方程的两个根
由根与系数的关系得到：；；
（2）因为，所以
所以，所以
所以的解集为
21、（1）；（2）.
【解析】（1）m=﹣2时求出集合B，然后进行交集、并集的运算即可；
（2）由B⊆A便可得到，解该不等式组即可得到实数m的取值范围
试题解析：
（1）；（2）
解：当时，，
由中不等式变形得，解得，即.
（1）.
（2），解得，
的取值范围为.