福建宁德市2025年高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

福建宁德市2025年高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（）
A. B.
C. D.
2．已知，则（ ）.
A. B.
C. D.
3．设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
4．定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则下列各式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
5．已知集合，,则（）
A. B.
C. D.
6．已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是
A. B.
C. D.
7．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A.，
B.，
C.，
D.，
8．设，则（）
A.13 B.12
C.11 D.10
9．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了()（）
A.10% B.30%
C.60% D.90%
10．如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为.若一个扇形的圆心角为a，弧长为10，则该扇形的面积为（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若对任意的、，，都有成立，则实数的取值范围是______.
12．已知单位向量与的夹角为,向量的夹角为 ,则cos=_______
13．如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD．给出下列命题：①PB⊥AC；②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD为锐角三角形．其中正确命题的序号是________

14．已知函数的图像恒过定点，则的坐标为_____________.
15．在平面直角坐标系xOy中，设角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.那么___________，=___________.
16．幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（x）的解析式是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（其中）的图象过点，且其相邻两条对称轴之间的距离为，
（1）求实数的值及的单调递增区间；
（2）若，求的值域
18．若存在实数、使得，则称函数为、的“函数”
（1）若．为、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求、的解析式；
（2）设函数，，是否存在实数、使得为、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由．（注：为自然数．）
19．已知函数的定义域是 A ，不等式的解集是集合 B ，求集合 A 和 .
20．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点A，已知点A的纵坐标为.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，且，求实数a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，的定义域为，
而，但，
故在定义域上不是增函数，故A错误.
对于B，的定义域为，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数，
故B错误.
对于C，因为时，，故在定义域上不是增函数，故C错误.
对于D，因为为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R，且为增函数，
而，故为奇函数，符合.
故选：D.
2、C
【解析】将分子分母同除以，再将代入求解.
【详解】.
故选：C
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3、D
【解析】由，则,再由指数、对数函数的单调性得出大小，得出答案.
【详解】由，则
， ，
所以
故选：D
4、A
【解析】根据题意，先得到是周期为的函数，再由函数单调性和奇偶性，得出在区间上是增函数；根据三角形是锐角三角，得到，得出，从而可得出结果.
【详解】因为偶函数满足，所以函数是周期为的函数，
又在区间上是减函数，所以在区间上是减函数，
因为偶函数关于轴对称，所以在区间上是增函数；
又，是锐角三角形的两个内角，
所以，即，因此，即，
所以.
故选：A.
【点睛】本题主要考查由函数的基本性质比较大小，涉及正弦函数的单调性，属于中档题.
5、A
【解析】由已知得，
因为，
所以，故选A
6、B
【解析】，所以，故选B
考点：平面向量的垂直
7、B
【解析】根据相等函数的判定方法，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错；
B选项，因为的定义域为，的定义域也为，且与对应关系一致，是同一函数，故B正确；
C选项，因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C错；
D选项， 因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错.
故选：B.
8、A
【解析】将代入分段函数解析式即可求解.
【详解】，
故选：A
9、B
【解析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；
【详解】解：当时，，当时，，
∴，∴ 约增加了30%.
故选：B
10、D
【解析】先求出，再由弧长公式求出扇形半径，代入扇形面积公式计算即可.
【详解】由图可知，，
则该扇形的半径，
故面积.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】分析出函数为上的减函数，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】设，则，由可得，即，
所以，函数为上的减函数.
由于，
由题意可知，函数在上为减函数，则，
函数在上为减函数，则，
且有，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案：.
【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.
12、
【解析】根据题意，由向量的数量积计算公式可得•、||、||的值，结合向量夹角计算公式计算可
得答案
【详解】根据题意，单位向量，的夹角为，则•1×1×cos，
32，3，
则•（32）•（3）＝92+22﹣9•，
||2＝（32）2＝92+42﹣12•7，则||，
||2＝（3）2＝922﹣6•7，则||，
故cosβ.
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算和向量的夹角的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
13、②③
【解析】设AC∩BD=O，由题意证明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；由线面平行的判定和性质说明②正确；由线面垂直的判定和性质说明③正确；由勾股定理即可判断，说明④错误
【详解】设AC∩BD=O,如图，

①若PB⊥AC，∵AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，∴AC⊥PO，
又PA⊥平面ABCD，则AC⊥PA，在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，①错误；
②∵CD∥AB，则CD∥平面PAB，∴平面PAB与平面PCD的交线与AB平行，②正确；
③∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，
又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，则平面PBD⊥平面PAC，③正确；
④∵PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，
∴PD2+CD2=PC2，
∴④△PCD为直角三角形，④错误，
故答案为：②③
14、
【解析】由过定点（0,1），借助于图像平移即可.
【详解】过定点（0,1），
而可以看成的图像右移3个单位，再下移2个点位得到的，
所以函数的图像恒过定点
即A
故答案为：
【点睛】指数函数图像恒过（0,1），对数函数图像恒过（1,0）.
15、 ①.##0.75 ②.##-0.6
【解析】利用三角函数的定义和诱导公式求出结果
【详解】由三角函数的定义及已知可得：
，
所以
又
故答案为：，
16、
【解析】根据幂函数的概念设f（x）=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式
【详解】设f（x）=xα，
∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），
∴4α=2
∴α=
这个函数解析式为
故答案为
【点睛】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程解法等知识，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）m＝1；单调增区间；（2）[0，3]
【解析】解：（1）由题意可知，，，所以
所以，
解 得：，
所以的单调递增区间为；
（2）因为 所以所以，
所以，所以的值域为
考点：正弦函数的单调性，函数的值域
点评：解本题的关键是由函数图象上的点和函数的周期确定函数的解析式，利用正弦函数的单调区间求出函数的单调增区间，利用角的范围求出函数的值域
18、（1），；
（2）存在；，.
【解析】（1）由已知条件可得出关于、的等式组，由此可解得函数、的解析式；
（2）由偶函数的定义可得出，由函数的值域结合基本不等式以及对数函数的单调性可求得的值，进而可求得的值，即可得解.
【小问1详解】
解：因为为、的“函数”，
所以①，所以
因为为奇函数，为偶函数，所以，
所以②
联立①②解得，
【小问2详解】
解：假设存在实数、，使得为，的“函数”
则
①因为是偶函数，所以
即，即，
因为，整理得
因为对恒成立，所
②，
因为，当且仅当，即时取等号
所以，
由于的值域为，所以，且
又因为，所以，
综上，存在，满足要求
19、； .
【解析】先解出不等式得到集合A，再根据指数函数单调性解出集合B，然后根据补集和交集的定义求得答案.
【详解】由题意，，则，
又，则，，
于是.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据点A的纵坐标，可求得点A的横坐标，根据正切函数的定义，即可得答案.
（2）利用诱导公式进行化简，结合（1）即可得答案.
【小问1详解】
因为点A纵坐标为，且点A在第二象限，
所以点A的横坐标为，
所以；
【小问2详解】
由诱导公式可得：.
21、（1）
（2）
【解析】（1）先求出集合，再按照并集和补集计算即可；
（2）先求出，再由求出a取值范围即可.
【小问1详解】
，，；
【小问2详解】
，由题得
故.