广州市重点中学2026届数学高一第一学期期末统考试题含解析.doc

广州市重点中学2026届数学高一第一学期期末统考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”.若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
2．已知圆与圆相离，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
3．已知向量，，则
A. B.
C. D.
4．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知，，且满足，则的最小值为（）
A.2 B.3
C. D.
6．若集合,则（ ）
A. B.
C. D.
7．若函数是函数（且）的反函数，且，则（）
A. B.
C. D.
8．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
9．若将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小正周期为 B.在区间上单调递减
C.图象的一条对称轴为直线 D.图象的一个对称中心为
10．已知关于的方程在区间上存在两个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是___________.
12．函数定义域为____.
13．计算：sin150°＝_____
14．已知，，且，则的最小值为______
15．一条从西向东的小河的河宽为3.5海里，水的流速为3海里/小时，如果轮船希望用10分钟的时间从河的南岸垂直到达北岸，轮船的速度应为______；
16．函数的值域是________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知是定义在上的偶函数，当时，
（1）求；
（2）求的解析式；
（3）若，求实数a的取值范围
18．如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.

（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值.
19．已知向量，满足，，.
（1）求向量与夹角；
（2）求的值.
20．已知函数.
（1）当，为奇函数时，求b的值；
（2）如果为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；
（3）若，，且的最小值为2，求的最小值.
21．如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，，点为的中点

（）求证：平面
（）求证：平面平面
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则函数f（x）=|2x﹣t|和函数F（x）=|﹣t|在[1，2]上单调性相同，则（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，进而得到答案
【详解】∵函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，
∴F（x）=f（﹣x）=|2﹣x﹣t|，
∵区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，
∴函数f（x）=|2x﹣t|和函数F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，
∵y=2x﹣t和函数y=2﹣x﹣t的单调性相反，
∴（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，
即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，
即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，
即≤t≤2，
故答案为：C
【点睛】（1）本题主要考查不动点定义及利用定义解答数学问题的能力，考查指数函数的图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)正确理解不动区间的定义，得到（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，是解答的关键
2、D
【解析】∵圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，
则
又两圆相离，则：
，
本题选择D选项.
点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法
3、A
【解析】因为，故选A.
4、C
【解析】圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，先求圆心到直线的距离，再求半径的范围
【详解】解：圆的圆心坐标，圆心到直线的距离为：，
又圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，满足，
即：，解得
故半径的取值范围是，（如图）
故选：

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题
5、C
【解析】由题意得，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时，即，时取等号
所以的最小值为.
故选：C
6、B
【解析】集合、与集合之间的关系用或，元素0与集合之间的关系用或，ACD选项都使用错误。
【详解】，

只有B选项的表示方法是正确的，
故选：B。
【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合之间的关系的表示方法，注意集合与集合之间的关系是子集（包含于），元素与集合之间的关系是属于或不属于。本题属于基础题。
7、B
【解析】由题意可得出，结合可得出的值，进而可求得函数的解析式.
【详解】由于函数是函数（且）的反函数，则，
则，解得，因此，.
故选：B.
8、C
【解析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.
【详解】对A，函数的图象关于轴对称，
故是偶函数，故A错误；
对B，函数的定义域为不关于原点对称，
故是非奇非偶函数，故B错误；
对C，函数的图象关于原点对称，
故是奇函数，且在上单调递减，故C正确；
对D，函数的图象关于原点对称，
故是奇函数，但在上单调递增，故D错误.
故选：C.
9、D
【解析】根据题意函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数，即可求出最小正周期，把看成是整体，分别求的单调递减区间、对称轴、对称中心，在分别验证选项即可得到答案.
【详解】由于函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），故函数的解析式为，再将所得图象向左平移个单位长度，.，故A错误；的单调减区间为，故在区间内不单调递减；图象的对称轴为，不存在使得图象的一条对称轴为直线，故C错误；图象的对称中心的横坐标为，当时，图象的一个对称中心为，故D正确.
故选：D.
10、C
【解析】本题首先可根据方程存在两个不同的实数根得出、，然后设，分为、两种情况进行讨论，最后根据对称轴的相关性质以及的大小即可得出结果.
【详解】因为方程存在两个不同的实数根，
所以，，解得或，
设，对称轴为，
当时，
因为两个不同实数根在区间上，
所以，即，解得，
当时，
因为两个不同的实数根在区间上，
所以，即，解得，
综上所述，实数的取值范围是，
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据一元二次不等式解集的性质，结合基本不等式、对钩函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两个不相等的实根，
因此有，
因为，所以，当且仅当时取等号，
即时取等号，
，设，
因为函数在上单调递增，
所以当时，函数单调递增，所以，
故答案为：
12、∪
【解析】根据题意列出满足的条件，解不等式组
【详解】由题意得，即，解得或，从而函数的定义域为∪.
故答案为：∪.
13、
【解析】利用诱导公式直接化简计算即可得出答案.
【详解】sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°.
故答案为：
【点睛】本题考查了诱导公式的应用,属于基础题.
14、6
【解析】由可知，要使取最小值，只需最小即可，故结合，求出的最小值即可求解.
【详解】由，，得（当且仅当时，等号成立），
又因，得，即，
由，，解得，即，故.
因此当时，取最小值6.
故答案为：6.
15、15海里/小时
【解析】先求出船的实际速度，再利用勾股定理得到轮船的速度.
【详解】设船的实际速度为，船速，水的流速，
则海里/小时，
∴海里/小时.
故答案为：15海里/小时

16、##
【解析】求出的范围，再根据对数函数的性质即可求该函数值域.
【详解】，而定义域上递减，
，无最小值，
函数的值域为
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）2 （2）
（3）
【解析】（1）根据偶函数这一性质将问题转化为求的值，再代入计算即可；
（2）设，根据偶函数这一性质，求出另一部分的解析即可；
（3）由（2）可知函数的单调性，结合单调性解不等式即可.
【小问1详解】
因为是偶函数，所以
小问2详解】
设，则，因为是定义在上的偶函数，所以当时，
，
所以（也可表示为
【小问3详解】
由及是偶函数得，
由得，在上单调递增，
所以由得，，
解得，即a的取值范围是.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；
（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.
【详解】（1），
，，因此，；
（2）设，
再设，则，即，
所以，，解得，所以，
因此，.
【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.
19、（1）
（2）
【解析】（1）先求得，然后利用夹角公式求得向量与的夹角.
（2）利用平方的方法求得的值.
【小问1详解】
设向量与的夹角为，
由于，所以.
所以，由于，所以.
【小问2详解】
.
20、（1）
（2），（答案不唯一，满足即可）
（3）
【解析】（1）当时，根据奇函数的定义，可得，化简整理，即可求出结果；
（2）由函数和函数在上的单调递性，可知，即可满足题意，由此写出一组即可；
（3）令，则，然后再根据基本不等式和已知条件，可得，再根据基本不等式即可求出结果.
【小问1详解】
解：当时，，
因为是奇函数，所以，
即，得，可得；
【小问2详解】
解：当，时，此时函数为增函数.（答案不唯一，满足即可）
检验：当和时，，，均是上的单调递增函数，所以此时是上的单调递增函数，满足题意；
【小问3详解】
解：令，则，
所以，即，当且仅当，即时等号成立，
所以，
由题意，，所以.
由，
当且仅当时等号成立，由解得，
所以.
21、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)连接交于，连接．利用几何关系可证得，结合线面平行的判断定理则有直线平面
(2)利用线面垂直的定义有，结合可证得平面，则，由几何关系有，则平面，利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面
试题解析：
（）连接交于，连接

因为矩形的对角线互相平分，
所以在矩形中，
是中点，
所以在中，
是中位线，
所以，
因为平面，平面，所以平面
（）因为平面，平面，
所以；
在矩形中有，
又，
所以平面，
因为平面，
所以；
由已知，三角形是等腰直角三角形，是斜边的中点，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面