浙江省绍兴市柯桥区2026届数学高二上期末学业水平测试试题含解析.doc

浙江省绍兴市柯桥区2026届数学高二上期末学业水平测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．变量，满足约束条件则的最小值为()
A. B.
C. D.5
2．已知，若是函数一个零点，则的值为( )
A.0 B.
C.1 D.
3．某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级）的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是（）

A.3，5 B.3，3
C.3.5，5 D.3.5，4
4．若抛物线焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
A. B.
C. D.
5．已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围
A. B.
C. D.
6．下列说法正确的个数有（ ）个
①在中，若，则
②是，，成等比数列的充要条件
③直线是双曲线的一条渐近线
④函数的导函数是，若，则是函数的极值点
A.0 B.1
C.2 D.3
7．已知函数的定义域为，若，则（）
A. B.
C. D.
8．设双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为若以为直径的圆与直线相切，则的面积为（）

A. B.
C. D.
9．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于则这个直角三角形周长的最大值为（）
A. B.
C. D.
10．已知双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为（）
A.16 B.8
C.2 D.1
11．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：与椭圆C：相切于点P，椭圆C的焦点为，，由光学性质知直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
12．若，则下列等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．中国的西气东输工程把西部地区的资源优势变为经济优势，实现了天然气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为的峡谷拐入宽为的峡谷，如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点，的连线恰好经过拐角内侧顶点(点，，在同一水平面内)，设与较宽侧峡谷悬崖壁所成的角为，则的长为______(用表示).要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于______.

14．已知曲线，则以下结论正确的是______.①曲线C关于点对称；②曲线C关于y轴对称；③曲线C被x轴所截得的弦长为2；④曲线C上的点到原点距离都不超过2.
15．若函数恰有两个极值点，则k的取值范围是______
16．在数列中，满足，则________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF＝2

（1）证明：AC∥平面BEF；
（2）求点C到平面BEF的距离
18．（12分）已知函数其中.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，函数有两个零点，，满足，
证明.
19．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于，两点
（1）求椭圆的方程及焦点坐标；
（2）若线段的垂直平分线经过点，求的取值范围
20．（12分）已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
21．（12分）已知椭圆：的离心率为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）设的右焦点为F，过F作两条互相垂直的直线AB和DE，其中A，B，D，E都在椭圆上，求的取值范围.
22．（10分）已知函数，
（1）求的单调区间；
（2）当时，求证：在上恒成立
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据不等式组，作出可行域，数形结合即可求z的最小值.
【详解】根据不等式组作出可行域如图，

，则直线过A(－1，0)时，z取最小值.
故选：A.
2、A
【解析】首先根据题意求出，然后设函数，利用以及的单调性，并结合对数运算即可求解.
【详解】由题意可知，，所以，
不妨设，()，故，
从而，
易知在上单调递增，
故，即，
从而.
故选：A.
3、C
【解析】将甲的所有选修课等级从低到高排列可得甲的中位数，由图可知乙的选修课等级的众数.
【详解】由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第5，6门的成绩等级分别为3，4，故中位数为，乙成绩等级的众数为5.
故选：C.
4、D
【解析】解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D
5、A
【解析】根据条件，列出满足条件的不等式，求的取值范围.
【详解】曲线表示交点在轴的椭圆，
，解得：.
故选A
【点睛】本题考查根据椭圆的焦点位置求参数的取值范围，意在考查基本概念，属于基础题型.
6、B
【解析】根据三角函数、等比数列、双曲线和导数知识逐项分析即可求解.
【详解】①在中，则有，因，所以，又余弦函数在上单调递减，所以，故①正确，
②当且时，此时，但是，，不成等比数列，故②错误，
③由双曲线可得双曲线的渐近线为，故③错误，
④“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件，故④错误.
故选：B.
7、D
【解析】利用导数的定义可求得的值.
【详解】由导数的定义可得.
故选：D.
8、C
【解析】据三角形中位线可得；再由双曲线的定义求出，进而求出的面积
【详解】双曲线的方程为：，，
设以为直径的圆与直线相切与点，则，且，，∥.
又为的中点，，
又，，
的面积为：.
故选:C
9、C
【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则，根据基本不等式求出的最大值后，可得三角形周长的最大值.
【详解】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则.
因为，
所以， 所以，
当且仅当时，等号成立.
故这个直角三角形周长的最大值为
故选：C
10、C
【解析】根据双曲线的渐近线方程的特点，结合虚轴长的定义进行求解即可.
【详解】因为双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，
所以，因此该双曲线的虚轴长为，
故选：C
11、A
【解析】先求得点坐标，然后求得的角平分线所在的直线的方程.
【详解】，
直线的斜率为，
由于直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的斜率为，
所以所求直线方程为.
故选：A
12、D
【解析】利用复数除法运算和复数相等可用表示出，进而得到之间关系.
【详解】，
，，则.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.
【解析】(1)利用三角关系分别利用表示、即可求解；(2)利用导数求最小值的方法即可求解.
【详解】过点分别作，，垂足分别为，，

则，
在中，，则，同理可得，
所以.
令，
则，
令，，得，即，
由，解得，
当时，；当时，，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
则，
故输气管的长度不能低于m.
故答案为：；.
14、②④
【解析】将x换成,将y换成,若方程不变则关于原点对称；将x换成，曲线的方程不变则关于y轴对称；令通过解方程即可求得被x轴所截得的弦长；利用基本不等式即可判断出曲线C上y轴右侧的点到原点距离是否不超过2，根据曲线C关于y轴对称，即可判断出曲线C上的点到原点距离是否都不超过2.
【详解】对于①，将x换成,将y换成,方程改变，则曲线C关于点不对称，故①错误；
对于②，将x换成，曲线的方程不变，则曲线C关于y轴对称，故②正确；
对于③，令得，，解得，即曲线C与x轴的交点为和，则曲线C被x轴所截得的弦长为，故③错误；
对于④，当时，，可得，当且仅当时取等号，即，则，即曲线C上y轴右侧的点到原点的距离都不超过2，此曲线关于y轴对称，即曲线C上y轴左侧的点到原点的距离也不超过2，故④正确；
故答案为：②④.
15、
【解析】求导得有两个极值点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，利用导数研究的单调性并作出的图象，根据图象即可得出k的取值范围
【详解】函数的定义域为，
，
令，解得或，
若函数有2个极值点，
则函数与图象在上恰有1个横坐标不为1的交点，
而，
令，令或，
故在和上单调递减，在上单调递增，
又，如图所示，

由图可得.
故答案为：
16、15
【解析】根据递推公式，依次代入即可求解.
【详解】数列满足，
当时，可得，
当时，可得，
当时，可得，
故答案为：15.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，进而求出平面BEF的法向量，然后证明线面平行；
（2）算出在向量方向上的投影，进而求得答案.
【小问1详解】
因为DE⊥平面ABCD，DA、DC平面ABCD，所以DE⊥DA，DE⊥DC，因为ABCD是正方形，所以DA⊥DC.以D为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(0，0，2)，F(2，0，1)，

所以，，设平面BEF的法向量，因为，所以－2x－2y＋2z＝0，－2y＋z＝0，令y＝1，则＝(1，1，2)，又因为＝(－2，2，0)，所以，即，而平面BEF，所以AC∥平面BEF.
【小问2详解】
设点C到平面BEF的距离为d，而，所以，所以点C到平面BEF的距离为
18、（1）单调递增区间,无递减区间；
（2）证明见解析
【解析】（1）求出函数的导数，从而判断其正负，确定函数的单调区间；
（2）根据题意可得到，进而变形为，然后换元令，将证明的问题转换为成立的问题，从而构造新函数，求新函数的导数，判断其单调性，求其最值，进而证明不等式成立.
【小问1详解】
时， ， ,
令，
当时， ，当时， ，
故 ，则 ，
故是单调递增函数，
即的单调递增区间为 ,无递减区间；
【小问2详解】
当时，函数有两个零点，，满足,
即 ，
所以 ，则，
令 ，由于，则，
则 ，所以，
故 ，
要证明，只需证明，即证，
设，
令 ，则 ，
当时，，即在时为增函数，
故 ，即，
所以在时为增函数，
即 ，即，
故，即.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间以及涉及到零点的不等式的证明问题，解答时要注意导数的应用，主要是根据导数的正负判断函数的单调性，进而求函数极值或最值，解答的关键时对函数式或者不等式进行合理的变形，进而能构造新的函数，利用新的函数的单调性或最值达到证明不等式成立的目的m.
19、（1），
（2）
【解析】（1）由题意，列出关于a，b，c的方程组求解即可得答案；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点（x0，y0），则，作差可得①，又线段MN的垂直平分线过点A（0，1），则②，联立直线MN与椭圆的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式联立即可求解
【小问1详解】
解：由题意可得，解得，
所以椭圆C的方程为，焦点坐标为
【小问2详解】
解：设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点（x0，y0），
因为，所以，即，
所以①，
因为线段MN的垂直平分线过点A（0，1），所以，即②，
联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，
所以＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＝﹣16t2+16+64k2＞0，即﹣t2+1+4k2＞0（*），③，
把③代入②，得④，
把③④代入①得，
所以，即，代入（*）得，解得，又k≠0，
所以k的取值范围为
20、（1）（2）
【解析】（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I）定义域为.当时，
，
曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
设，则
，
（i）当，时，，故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
.
由和得，故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
（1）确定函数y＝f（x）定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据椭圆的离心率为，及经过点建立等式可求解；
（2）分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，计算与后再求范围即可.
【小问1详解】
由题意知的离心率为，整理得，
又因为经过点，所以，解得，
所以，
因此，的方程为.
小问2详解】
由已知可得，
当直线AB或DE有一条的斜率不存在时，可得，或，，
此时有或.
当AB和DE的斜率都存在时且不为0时，设直线：，直线：，
，，，
由得，
所以，，
所以，
用替换可得.
所以，
综上所述，的取值范围为.
22、（1）单调减区间为，单调增区间为；
（2）证明见解析.
【解析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性从而求得函数单调区间；
（2）根据题意，转化目标不等式为，分别构造函数，，利用导数研究其单调性，即可证明.
【小问1详解】
因为，故可得，又为单调增函数，
令，解得，故当时，；当时，，
故的单调减区间为，单调增区间为.
【小问2详解】
当时，，要证，即证，
又，则只需证，即证，
令，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，取得最大值；
令，，又为单调增函数，且时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故当时，取得最小值.
则，且当时，同时取得最小值和最大值，故，
即，也即时恒成立.
【点睛】本题考察利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究恒成立问题；处理本题的关键是合理转化目标式，属中档题.