河北省衡水市衡水中学2026届高一上数学期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

河北省衡水市衡水中学2026届高一上数学期末学业水平测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点，向量，若，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
2．设函数，点，，在的图像上，且．对于，下列说法正确的是（）
①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形
A①③ B.①④
C.②③ D.②④
3．下列四个函数，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
4．函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数f (x) =有两不同的零点，则的取值范围是（）
A.(−∞，0) B.(0，+∞)
C.(−1，0) D.(0，1)
6．
A B.
C.1 D.
7．命题任意圆的内接四边形是矩形，则为（）
A.每一个圆的内接四边形是矩形
B.有的圆的内接四边形不是矩形
C.所有圆的内接四边形不是矩形
D.存在一个圆内接四边形是矩形
8．下列命题中不正确的是（ ）
A.一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5
C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙
D.为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟
9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A.向右平移 B.向右平移
C.向左平移 D.向左平移
10． “”是“”的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.即不充分也不必要
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．两平行直线与之间的距离______.
12．已知向量，，若，则的值为________.
13．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10与直线l：2x+y＝0，则圆C与直线l的位置关系是_____
14．某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为__________元
15．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为4的直角三角形，俯视图是半径为2的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为______

16．定义在上的函数则的值为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．观察以下等式：
①
②
③
④
⑤
（1）对①②③进行化简求值，并猜想出④⑤式子的值；
（2）根据上述各式的共同特点，写出一条能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明
18．已知函数是定义在上的增函数，且，求x的取值范围.
19．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为.
（1）若，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积?
20．已知函数，.

（1）求方程的解集；
（2）定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.
21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本万元.
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】设点坐标为，利用向量的坐标运算建立方程组，解之可得选项.
【详解】设点坐标为，，A，所以，
又，，
所以.解得，解得点坐标为.
故选：B.
2、A
【解析】结合，得到，所以一定为钝角三角形，可判定①正确，②错误；根据两点间的距离公式和函数的变化率的不同，得到，可判定③正确，④不正确.
【详解】由题意，函数为单调递增函数，
因为点，，在的图像上，且，
不妨设，
可得，
则，
因为，可得，

又由因为，，，，
所以，
所以
所以，所以一定为钝角三角形，所以①正确，②错误；
由两点间的距离公式，可得，
根据指数函数和一次函数的变化率，可得点到的变化率小于点到点的变化率不相同，所以，所以不可能为等腰三角形，所以③正确，④不正确.
故选：A.
3、A
【解析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.
【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递增；
最小正周期为，在区间上单调递增；
故选：A
4、C
【解析】由解出范围即可.
【详解】由，可得，所以函数的单调递增区间为，
故选C.
5、A
【解析】函数f (x) =有两不同的零点，可以转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，构造不等式即可求得的取值范围.
【详解】由题可知方程有两个不同的实数根，
则直线与函数的图象有两个不同的交点，
作出与的大致图象如下：

不妨设，由图可知，，整理得，
由基本不等式得，（当且仅当时等号成立）
又，所以，解得，
故选：A
6、A
【解析】由题意可得：

本题选择A选项.
7、B
【解析】全称命题的否定特称命题，任意改为存在，把结论否定.
【详解】全称量词命题的否定是特称命题，需要将全称量词换为存在量词，答案A，C不符合题意，同时对结论进行否定，所以：有的圆的内接四边形不是矩形，
故选：B.
8、A
【解析】由中位数以及众数判断A；由百分位数的定义计算判断B；计算乙组数据的方差判断C；计算被抽中的30名学生每天平均阅读时间从而判断D.
【详解】对于A，中位数为和众数相等，故A错误；
对于B，将该组数据从小到大排列为，，则该组数据的分位数为5，故B正确；
对于C，乙组数据，方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；
对于D，被抽中的30名学生每天平均阅读时间为，故D正确；
故选：A
9、B
【解析】先将，进而由平移变换规律可得解.
【详解】函数，
所以只需将向右平移可得.
故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移变换，解题的关键是将函数名统一，需要利用诱导公式，属于中档题.
10、B
【解析】根据充分条件和必要条件的概念，结合题意，即可得到结果.
【详解】因为，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】根据平行线间距离公式可直接求解.
【详解】直线与平行
由平行线间距离公式可得
故答案为:2
【点睛】本题考查了平行线间距离公式的简单应用,属于基础题.
12、
【解析】因为，，，
所以，解得，
故答案为：
13、相交
【解析】根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断
详解】由题意有圆心，半径
则圆心到直线的距离
故直线与圆C相交
故答案为：相交
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，属于基础试题
14、2400
【解析】由题意直接利用指数幂的运算得到结果
【详解】12年后的价格可降为81002400元
故答案为2400
【点睛】本题考查了指数函数模型的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
15、
【解析】由题得几何体为圆锥的，根据三视图的数据计算体积即可
【详解】由三视图可知几何体为圆锥的，圆锥的底面半径为2，母线长为4，
∴圆锥的高为
∴V=×π×22×=
故答案为

【点睛】本题主要考查了圆锥的三视图和体积计算，属于基础题
16、
【解析】∵定义在上的函数
∴
故答案为
点睛：：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析；
（2）；证明见解析.
【解析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即得；
（2）根据式子的特点可得等式，然后利用和差角公式及同角关系式化简运算即得,
【小问1详解】

猜想：

【小问2详解】
三角恒等式为
证明：

=
18、.
【解析】根据定义域和单调性即可列出不等式求解.
【详解】是定义在上增函数
∴由得，解得，即
故 x取值范围.
19、（1）；（2）见解析
【解析】（1）根据弧长的公式和扇形的面积公式即可求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）根据扇形的面积公式，结合基本不等式即可得到结论
【详解】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则
α＝90°＝，R＝10，l＝×10＝5π(cm)，
S弓＝S扇－S△＝×5π×10－×102＝25π－50(cm2).
(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，
∴R＝，
∴S扇＝α·R2＝α·
＝·＝·≤.
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.
【点睛】本题主要考查扇形的弧长和扇形面积的计算，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力
20、（1）
（2）
（3）图象见解析，单调递减区间是，单调递增区间是，最小值为1
【解析】（1）根据题意可得，平方即可求解.
(2)由题意比较与大小，从而可得出答案.
(3)由（2）得到的函数关系，作出函数图像，根据图像可得函数的单调区间和最小值.
【小问1详解】
由，得且，解得，；
所以方程的解集为
【小问2详解】
由已知得.
【小问3详解】
函数的图象如图实线所示：
函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.

21、（1）300台；（2）90人.
【解析】（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.
【详解】（1）由总成本，
可得每台机器人的平均成本.
因为.
当且仅当，即时，等号成立.
∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.
（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：
当时，300台机器人的日平均分拣量为
∴当时，日平均分拣量有最大值144000.
当时，日平均分拣量为
∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.
若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）.
∴日平均分拣量达最大值时，
用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值.