2025-2026学年湖南省湖南师范大学附属中学高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年湖南省湖南师范大学附属中学高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的大致图像为（）
A. B.
C. D.
2．如果函数是定义在上的奇函数，当时，函数的图象如图所示，那么不等式的解集是

A. B.
C. D.
3．如图，在平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（　　）

A. B.
C. D.
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（）

A. B.
C. D.
5．下列函数中，既在R上单调递增，又是奇函数的是（）
A. B.
C. D.
6．如图，在中，已知为上一点，且满足，则实数值为

A. B.
C. D.
7．圆与圆的位置关系为（）
A.相离 B.相交
C.外切 D.内切
8．如图，直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝45°，底边AB＝5，高AD＝3，点E由B沿折线BCD向点D移动，EMAB于M，ENAD于N，设BM＝，矩形AMEN的面积为，那么与的函数关系的图像大致是（ ）

A. B.
C. D.
9．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝，动点P从点A出发，由A→D→C→B沿边运动，点P在AB上的射影为Q.设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，则y＝f(x)的图象大致是（）

A. B.
C. D.
10．设，，，则　　
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某同学在研究函数 f（x）=（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）=-f（x）在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（-1，1）；
③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
④方程f（x）=x在R上有三个根
其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）
12．已知一组样本数据x1，x2，…，x10，且++…+=2020， 平均数 ，则该组数据的标准差为_________.
13．已知函数，若，不等式恒成立，则的取值范围是___________.
14．已知函数若是函数的最小值，则实数a的取值范围为______
15．已知一个扇形的面积为，半径为，则其圆心角为___________.
16．已知，则______________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，函数.
（1）若有两个零点，且的最小值为，当时，判断函数在上的单调性，并说明理由；
（2）设，记为集合中元素的最大者与最小者之差.若对，恒成立，求实数a的取值范围.
18．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在有且仅有两个零点，求实数取值范围.
19．函数部分图象如下图所示：

（1）求函数的解析式；
（2）求函数的最小正周期与单调递减区间；
（3）求函数在上的值域
20．如图，在棱长为1正方体中：

（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求三棱锥体积
21．已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】分析函数的定义域、奇偶性，以及的值，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的，，则函数的定义域为，排除C选项；
，，
所以，函数为偶函数，排除B选项，
因为，排除A选项.
故选：D.
2、B
【解析】图1图2
如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx图象，要求得的解集，只需转化为在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当时，，当时，，当时，，故选B.
考点：奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.
3、B
【解析】由题意，的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积
【详解】解：由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，
所以的中点就是球心，所以，球的半径为：，
所以球的表面积为：
故选B
【点睛】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力
4、D
【解析】由线性运算的加法法则即可求解.
【详解】如图，设交于点，则.

故选：D
5、B
【解析】逐一判断每个函数的单调性和奇偶性即可.
【详解】是奇函数，但在R上不单调递增，故A不满足题意；
既在R上单调递增，又是奇函数，故B满足题意；
、不是奇函数，故C、D不满足题意；
故选：B
6、B
【解析】所以，所以。故选B。
7、A
【解析】通过圆的标准方程，可得圆心和半径，通过圆心距与半径的关系，可得两圆的关系.
【详解】圆，圆心，半径为；
，圆心，半径为；
两圆圆心距，所以相离.
故选：A.
8、A
【解析】根据已知可得：点E在未到达C之前，y=x（5-x）=5x-x2；且x≤3，当x从0变化到2.5时，y逐渐变大，
当x=2.5时，y有最大值，当x从2.5变化到3时，y逐渐变小，
到达C之后，y=3（5-x）=15-3x，x＞3，
根据二次函数和一次函数的性质．故选A．
考点：动点问题的函数图象；二次函数的图象．
9、D
【解析】结合P点的运动轨迹以及二次函数，三角形的面积公式判断即可
【详解】解：P点在AD上时，△APQ是等腰直角三角形，
此时f（x）＝•x•x＝x2，（0＜x＜2）是二次函数，排除A，B，
P在DC上时，PQ不变，AQ增加，是递增的一次函数，排除C，
故选D
【点睛】本题考查了数形结合思想，考查二次函数以及三角形的面积问题，是一道基础题
10、C
【解析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较，，与1和2的大小得答案
【详解】∵，且，
，，
∴
故选C
【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，寻找中间量是解题的关键，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①②③
【解析】由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由只有一个根说明④错误
【详解】对于①，任取，都有，∴①正确；
对于②，当时，，
根据函数的奇偶性知时，，
且时，，②正确；
对于③，则当时，，
由反比例函数的单调性以及复合函数知，在上是增函数，且；
再由的奇偶性知，在上也是增函数，且
时，一定有，③正确；
对于④，因为只有一个根，
∴方程在上有一个根，④错误.
正确结论的序号是①②③.故答案为：①②③
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
12、9
【解析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案
【详解】根据题意，一组样本数据，且，
平均数，
则其方差
，
则其标准差，
故答案为：9.
13、
【解析】原问题等价于时，恒成立和时，恒成立，从而即可求解.
【详解】解：由题意，因为，不等式恒成立，
所以时，恒成立，即，所以；
时，恒成立，即，
令，则，
由对勾函数的单调性知在上单调递增，在上单调递减，
所以时，，
所以；
综上，.
所以的取值范围是.
故答案为：
14、
【解析】考虑分段函数的两段函数的最小值，要使是函数的最小值，应满足哪些条件，据此列出关于a的不等式，解得答案.
【详解】要使是函数的最小值，
则当 时，函数应为减函数，
那么此时图象的对称轴应位于y轴上或y轴右侧，即
当 时，，当且仅当x=1时取等号，
则，解得，
所以 ，
故答案为：.
15、
【解析】结合扇形的面积公式即可求出圆心角的大小.
【详解】解：设圆心角为，半径为，则，由题意知，，解得，
故答案为:
16、100
【解析】分析得出得解.
【详解】
∴

故答案为：100
【点睛】由函数解析式得到是定值是解题关键.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）函数在区间上是单调递减，理由见解析
（2）
【解析】（1）运用单调性的定义去判断或者根据函数本身的性质去判断即可；
（2）区间与二次函数的对称轴比较，从而的情况中分类讨论，而后得到的解析式，通过函数解析式求出最小值，再解不等式即可.
【小问1详解】
方法1：因为，
由题意得，即，
所以时，
即，
所以，，
对于任意设，所以，
因为，又，
所以
而，所以，所以，
所以函数在区间上是单调递减的.
方法2：因为，
由题意得，即，
所以时，
即，
所以，，
因为，所以函数图像的对称轴方程为，
因为，所以，即，
所以函数在上是单调递减的.
【小问2详解】
设，，
因为函数对称轴为，
①当即时，在上单调递减，
，
②当即时，
，
③当即时，
，
④当即时，在上单调递增，
，
综上可得：
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，
对，恒成立，只需即可，解得，
所以a的取值范围是.
18、（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
【解析】（1）先由三角恒等变换化简解析式，再由正弦函数的性质得出单调区间；
（2）由的单调性结合零点的定义求出实数的取值范围.
【小问1详解】

由得
故函数的单调递增区间为.
由得
故函数的单调递减区间为
【小问2详解】
由（1）可知，在上为增函数，在上为减函数
由题意可知：，即，
解得，故实数的取值范围为.
19、（1）；
（2）；；
（3）.
【解析】（1）根据给定函数图象依次求出，再代入作答.
（2）由（1）的结论结合正弦函数的性质求解作答.
（3）在的条件下，求出（1）中函数的相位范围，再利用正弦函数的性质计算作答.
【小问1详解】
观察图象得：，令函数周期为，则，，
由得：，而，于是得，
所以函数的解析式是：.
【小问2详解】
由（1）知，函数的最小正周期，由解得：，
所以函数的最小正周期是，单调递减区间是.
【小问3详解】
由（1）知，当时，，则当，即时，
当，即时，，
所以函数在上的值域是.
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的值域、最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.
20、（1）45°；（2）
【解析】（1），则异面直线与所成的角就是与所成的角，从而求得
（2）根据三棱锥的体积进行求解即可
【详解】解：（1）∵，
∴异面直线与所成的角就是与所成的角，即
故异面直线与所成的角为45°
（2）三棱锥的体积
【点睛】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，以及几何体的体积和异面直线所成角等有关知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题
21、（1）（2）
【解析】
（1）由奇函数定义求；
（2）代入后结合对数恒等式计算．
【详解】（1）因为函数为奇函数，
所以恒成立，
可得.
（2）由（1）可得.
所以.
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查对数恒等式，属于基础题．