青岛市重点中学2026届高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

青岛市重点中学2026届高一上数学期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则的值为（）
A.－4 B.4
C.－8 D.8
2．若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是
A. B.
C. D.
3．已知全集，集合，图中阴影部分所表示的集合为

A. B.
C. D.
4．始边是x轴正半轴，则其终边位于第（）象限
A.一 B.二
C.三 D.四
5．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
6．在下列命题中，不是公理的是
A.平行于同一条直线的两条直线互相平行
B.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
C.空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
7．已知，那么（）
A. B.
C. D.
8．的值是
A. B.
C. D.
9．满足2，的集合A的个数是　　
A.2 B.3
C.4 D.8
10．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是单调递减的，设，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，直四棱柱的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线与的夹角大小等于______

12．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是________
13．________.
14．已知点是角终边上任一点，则__________
15．不等式的解集是__________
16．已知在上是增函数，则的取值范围是___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并
18．已知集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
19．已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求函数的取值范围
20．如图，直四棱柱中，上下底面为等腰梯形，．，，为线段的中点

（1）证明：平面平面；
21．已知集合，集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由已知条件，结合同角正余弦的三角关系可得，再将目标式由切化弦即可求值.
【详解】由题意知：，即，
∴，而.
故选：C.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，应用了以及切弦互化求值，属于基础题.
2、C
【解析】联立方程 得交点 ，由交点在第一象限知： 解得 ，即是锐角，故 ，选C.
3、A
【解析】由题意可知，阴影部分所表示的元素属于，不属于，结合所给的集合求解即可确定阴影部分所表示的集合.
【详解】由已知中阴影部分在集合中，而不在集合中，故阴影部分所表示的元素属于，不属于（属于的补集），即.
【点睛】本题主要考查集合表示方法，Venn图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4、B
【解析】将转化为内的角，即可判断.
【详解】，所以的终边和的终边相同，即落在第二象限.
故选：B
5、B
【解析】对变形得到，构造新函数，得到在上单调递减，再对变形为，结合，得到，根据的单调性，得到解集.
【详解】，不妨设，故，即，
令，则，故在上单调递减，，
不等式两边同除以得：，因为，所以，即，
根据在上单调递减，故，综上：
故选：B
6、C
【解析】A,B,D分别为公理4,公理1,公理2,C为角平行性质,选C
7、C
【解析】运用诱导公式即可化简求值得解
【详解】，可得，
那么
故选：C
8、B
【解析】利用诱导公式求解.
【详解】解：由诱导公式得，
故选：B.
9、C
【解析】由条件，根据集合的子集的概念与运算，即可求解
【详解】由题意，可得满足2，的集合A为：，，，2，，共4个
故选C
【点睛】本题主要考查了集合的定义，集合与集合的包含关系的应用，其中熟记集合的子集的概念，准确利用列举法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题
10、A
【解析】先判断出上单调递增，由，即可得到答案.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以的图像关于y轴对称，且.
又在上是单调递减的，所以在上单调递增.
因为，，所以: ，所以,即.
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由直四棱柱的底面是边长为1的正方形,侧棱长可得 由 知就是异面直线与的夹角,且 所以=60°,即异面直线与的夹角大小等于60°.
考点：1正四棱柱；2异面直线所成角
12、
【解析】设扇形的半径和弧长分别为，由题设可得，则扇形圆心角所对的弧度数是，应填答案
13、
【解析】.
考点：诱导公式.
14、##
【解析】将所求式子，利用二倍角公式和平方关系化为，然后由商数关系弦化切，结合三角函数的定义即可求解.
【详解】解：因为点是角终边上任一点，所以，
所以，
故答案为：.
15、
【解析】根据对数不等式解法和对数函数的定义域得到关于的不等式组，解不等式组可得所求的解集
【详解】原不等式等价于，
所以，解得，
所以原不等式的解集为
故答案为
【点睛】解答本题时根据对数函数的单调性得到关于的不等式组即可，解题中容易出现的错误是忽视函数定义域，考查对数函数单调性的应用及对数的定义，属于基础题
16、
【解析】将整理分段函数形式,由在上单调递增,进而可得,即可求解
【详解】由题,,显然,在时,单调递增,
因为在上单调递增,所以,即,
故答案为:
【点睛】本题考查已知函数单调性求参数,考查分段函数,考查一次函数的单调性的应用

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）46 （2）n的最大值为14
【解析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}中有3个数（1，2，3）与
In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得
集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46
（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In
不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，
这与A为稀疏集相矛盾
再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集
事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都稀疏集，且A1∪B1=I14
当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：
A2={，，，}，B2={，，}
当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，
可以分为下列3个稀疏集的并：
A3={，，，，}，B3={，，，，}
最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，
它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14
综上可得，n的最大值为14
18、（1）
（2）或
【解析】（1）求出集合，再根据列方程求解即可；
（2）根据分，讨论求解.
【小问1详解】
由已知得

，
解得；
【小问2详解】

当时，，得
当时，或，解得或，
综合得或.
19、（1），；（2）；
【解析】（1）利用降幂公式与辅助角公式将化简，在利用正弦函数的单调性质即可求得函数的单调递增区间；
（2）由的取值范围，求出的范围，利用正弦函数的单调性即可求得函数的取值范围
【详解】解：（1）因为

由，，解得，，
所以的单调递增区间为，；
（2），
，
当即时，
当即时，
，即
20、（1）证明见解析；
（2）点为中点.
【解析】(1)根据给定条件可得，利用勾股定理证明即可证得平面平面.
(2)取的中点，证明和，利用面面平行的判定定理即可推理作答.
【小问1详解】
因为为直四棱柱，则平面，而平面，于是得，
在中，，，由余弦定理得，，
因此，，即，又，平面，则平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
当点为中点时，平面平面，
连接，如图，

在等腰梯形中，，
即，而，则四边形为平行四边形，即有，
因平面，平面，则有平面，
因为，，则四边形为平行四边形，有，而平面，平面，
因此，平面，又，
所以平面平面.
21、（1）；（2）；（3）
【解析】（1）求出集合，利用并集的定义可求得集合；
（2）利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（3）分和两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，则；
（2）由知，解得，即的取值范围是；
（3）由得
①若，即时，符合题意；
②若，即时，需或
得或，即
综上知，即实数的取值范围为
【点睛】易错点睛：在求解本题第（3）问时，容易忽略的情况，从而导致求解错误.