北京市北京大学附属中学2026届高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

北京市北京大学附属中学2026届高一数学第一学期期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知则的值为（ ）
A. B.2
C.7 D.5
2．已知，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
3．直线与圆交点的个数为
A.2个 B.1个
C.0个 D.不确定
4．设集合U=,则
A. B.
C. D.
5．设集合，集合 ，则 等于（ ）
A (1,2) B.(1,2]
C.[1,2) D.[1,2]
6．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出用水补满，搅拌均匀，第二次倒出后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的最小值为（ ）
A.5 B.10
C.15 D.20
7．函数的最小值是（ ）
A. B.0
C.2 D.6
8．已知集合，则（ ）
A. B.或
C. D.或
9．已知集合
A. B.
C. D.
10．已知函数，则（ ）
A.5 B.2
C.0 D.1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．的值为______
12．为了解某校高三学生身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3，第二小组频数为12，若全校男、女生比例为3:2，则全校抽取学生数为________

13．若且，则取值范围是___________
14．已知一组数据，，…，的平均数，方差，则另外一组数据，，…，的平均数为______，方差为______
15．已知奇函数f（x），当，，那么___________.
16．已知，且，则_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若函数，求函数零点.
18．如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点

（１）证明：平面平面；
（２）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积
19．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本）
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值
20．已知集合，集合
当时，求及；
若，求实数m的取值范围
21．已知函数的一段图像如图所示.

（1）求此函数的解析式；
（2）求此函数在上的单调递增区间.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】先算，再求
【详解】，
故选：B
2、B
【解析】利用对数函数的单调性证明即得解.
【详解】解：，，
所以
故选：B
3、A
【解析】化为点斜式：，
显然直线过定点，且定点在圆内
∴直线与圆相交，
故选A
4、D
【解析】
5、B
【解析】由指数函数、对数函数的性质可得、，再由交集的运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.
6、B
【解析】依据题意列出不等式即可解得V的最小值.
【详解】由，解得
则V的最小值为10.
故选：B
7、B
【解析】
时，，故选B.
8、C
【解析】直接利用补集和交集的定义求解即可.
【详解】由集合，
可得：或，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本该考查了集合的运算，解决该题的关键是掌握补集和交集的定义..
9、D
【解析】由已知，所以
考点：集合的运算
10、C
【解析】由分段函数，选择计算
【详解】由题意可得.
故选：C.
【点睛】本题考查分段函数的求值，属于简单题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】直接利用对数的运算法则和指数幂的运算法则求解即可
【详解】

12、80
【解析】频率分布直方图中，先根据小矩形的面积等于这一组的频率求出四与第五组的频率和，再根据条件求出前三组的频数，再依据频率的和等于1，求出前三组的频率，从而求出抽取的男生数，最后按比例求出全校抽取学生数即可
【详解】根据图可知第四与第五组的频率和为（0.0125+0.0375）×5=0.25
∵从左到右前三个小组频率之比1：2：3，第二小组频数为12
∴前三个小组的频数为36，从而男生有人
∵全校男、女生比例为3：2，
∴全校抽取学生数为48× =80
故答案为80
【点睛】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识
13、或
【解析】分类讨论解对数不等式即可.
【详解】因为，所以，
当时，可得，
当时，可得.
所以或
故答案为：或
14、 ①.11 ②.54
【解析】由平均数与方差的性质即可求解.
【详解】解：由题意，数据，，…，的平均数为，方差为
故答案：11，54.
15、
【解析】根据函数奇偶性把求的值，转化成求的值.
【详解】由f（x）为奇函数，可知，则
又当，，则
故
故答案为：
16、
【解析】根据题意，可知，结合三角函数的同角基本关系，可求出和再根据，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以
.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2) 为奇函数（3）
【解析】（1）要使函数有意义，必须满足，从而得到定义域；（2）利用奇偶性定义判断奇偶性；（3）函数的零点即方程的根.即的根，又为奇函数，所以.易证：在定义域上为增函数，∴由得，从而解得函数的零点.
试题解析：
（1）要使函数有意义，必须满足，∴，
因此，的定义域为.
（2）函数为奇函数.
∵的定义域为，对内的任意有：
，
所以，为奇函数.
（3）函数的零点即方程的根.即的根，
又为奇函数，所以.
任取，且，

∵，∴，∴
∵且，∴ ，
∴，∴，
∴，即，∴在定义域上为增函数，
∴由得解得或，
验证当时，不符合题意，当时，符合题意，
所以函数的零点为.
点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.
18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】（１）由面面垂直的判定定理很容易得结论；（２）所求三棱锥底面积容易求得，是本题转化为求三棱锥的高，利用直线与平面所成的角为，作出线面角，进而可求得的值，则可得的长
试题解析：（1）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，
又是正三角形的边的中点，所以
又，因此平面
而平面，所以平面平面
（2）设的中点为，连结,

因为是正三角形，所以
又三棱柱是直三棱柱，所以
因此平面，于是为直线与平面所成的角，
由题设，，所以
在中，，所以
故三棱锥的体积
考点：直线与平面垂直的判定定理；直线与平面所成的角；几何体的体积．

19、（1）；（2）年产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，利润的最大值为万元
【解析】(1)由利润销售收入总成本写出分段函数的解析式即可；
（2）利用配方法和基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个中最大的即可.
【详解】（1）当，时，

当，时，

（2）当，时，，
当时，取得最大值（万元）
当，时，
当且仅当，即时等号成立
即时，取得最大值万元
综上，所以即生产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元
20、（1），或； （2）或.
【解析】（1）当时，Q=，由集合的交、并、补运算，即可求解；
（2）由集合的包含关系，得Q⊆P，讨论①Q=∅，②Q≠∅，运算可得解
【详解】（1）当时，Q=，
所以，或.
（2）因为P∩Q=Q，所以Q⊆P，
①当m-1＞3m-2，即时，Q=∅，满足题意，
②当m-1≤3m-2，即时，，解得，
综合①②可得：实数m的取值范围或.
【点睛】本题主要考查了集合的交、并、补运算及集合的包含关系的应用，其中解答中熟记集合的运算的基本方法，以及合理利用集合的包含关系，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及运算与求解能力，属于基础题.
21、（1）；（2）和.
【解析】（1）根据三角函数的图象求出A，ω，φ，即可确定函数的解析式；
（2）根据函数的表达式，即可求函数f（x）的单调递增区间；
【详解】（1）由函数的图象可知A，，
∴周期T＝16，
∵T16，
∴ω，
∴y＝2sin（x+φ），
∵函数的图象经过（2，﹣2），
∴φ＝2kπ，
即φ，
又|φ|＜π，
∴φ；
∴函数的解析式为：y＝2sin（x）
（2）由已知得，
得16k+2≤x≤16k+10，
即函数的单调递增区间为[16k+2，16k+10]，k∈Z
当k＝﹣1时，为[﹣14，﹣6]，
当k＝0时，为[2，10]，
∵x∈（﹣2π，2π），
∴函数在（﹣2π，2π）上的递增区间为（﹣2π，﹣6）和[2，2π）
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质