陕西省西安市高新第一中学2025-2026学年数学高一上期末监测试题含解析.doc

陕西省西安市高新第一中学2025-2026学年数学高一上期末监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2．已知函数，则
A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数
3．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（）
A.{−2，3} B.{−2，2，3}
C.{−2，−1，0，3} D.{−2，−1，0，2，3}
4．已知函数，则（ ）
A.当且仅当时，有最小值为
B.当且仅当时，有最小值为
C.当且仅当时，有最大值为
D.当且仅当时，有最大值为
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
其中，为真命题的是
A①和② B.②和③
C.③和④ D.②和④
6．已知函数，下列含有函数零点的区间是（）
A. B.
C. D.
7．已知定义域为R的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
8．在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是（　　）
A. B.
C. D.
9．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）

A. B.
C. D.
10．直线的倾斜角为
A.30° B.60°
C.120° D.150°
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，－<φ<）的部分图象如图所示，则的值是________

12．由于德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和物理学的突出贡献，人们将函数
命名狄利克雷函数，已知函数，下列说法中：
①函数的定义域和值域都是；②函数是奇函数；③函数是周期函数；④函数在区间上是单调函数.
正确结论是__________
13． “”是“ ”的______条件（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个填）
14．已知点，若，则点的坐标为_________.
15．角的终边经过点，且，则________.
16．16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.
现在已知， ，则__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数的定义域为，函数的定义域为.
（1）求；
（2）若，且函数在上递减，求的取值范围.
18．已知集合A={x|a-1<x<2a+1}，B={x|x2-x<0}
（I）若a=1，求AB，；
（II）若AB=，求实数a的取值范围
19．已知向量，，且，满足关系.
（1）求向量，的数量积用k表示的解析式；
（2）求向量与夹角的最大值.
20．指数函数（且）和对数函数（且）互为反函数，已知函数，其反函数为
（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数使得对任意，关于的方程在区间上总有三个不等根，，？若存在，求出实数及的取值范围；若不存在，请说明理由
21．已知线段AB的端点A的坐标为，端点B是圆: 上的动点.
（1）求过A点且与圆相交时的弦长为的直线的方程
（2）求线段AB中点M的轨迹方程，并说明它是什么图形
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可
【详解】∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0，
∴0＜cosx≤1，
又sinx＜0，
∴角x为第四象限角，
故选D
【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键
2、A
【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.
详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，
又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数
故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.
3、A
【解析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得：，则.
故选：A.
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
4、A
【解析】由基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，
当且仅当即时等号成立.
故选：A.
5、D
【解析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择
【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.
故选D
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题
6、C
【解析】利用零点存性定理即可求解.
【详解】解析：因为函数单调递增，且，
，
，
，
.
且
所以含有函数零点的区间为.
故选：C
7、D
【解析】根据题意，由函数为偶函数分析可得函数的图象关于直线对称，结合函数的单调性以及特殊值分析可得，解可得的取值范围，即可得答案
【详解】解：根据题意，函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，
又由函数在，单调递增且f(3)，
则，
解可得：，即不等式的解集为；
故选：D
8、A
【解析】画出图象如下图所示,直线与所成的角为,其余弦值为.故选A.

9、C
【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为的等腰直角三角形，高是，其底面积为：，
侧面积为：；
圆柱的底面半径是，高是，其底面积为：，
侧面积为：；
∴组合体的表面积是，
本题选择C选项
点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和
10、A
【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.
故选A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】，把代入，得
，，
，故答案为
考点：1、已知三角函数的图象求解析式；2、三角函数的周期性
【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题．求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”（即图象上升时与轴的交点） 时；“第二点”（即图象的“峰点”） 时；“第三点”（即图象下降时与轴的交点） 时；“第四点”（即图象的“谷点”） 时；“第五点”时
12、①
【解析】由题意知，所以①正确；根据奇函数的定义，x是无理数时，显然不成立，故②错误；当x是有理数时，显然不符合周期函数的定义故③错误；函数在区间上是既不是增函数也不是减函数，故④错误；综上填①.
13、必要不充分
【解析】根据充分条件、必要条件的定义结合余弦函数的性质可得答案.
【详解】当时，可得
由，不能得到
例如：取时，，也满足
所以由，可得成立，反之不成立
“”是“ ”的必要不充分条件
故答案为：必要不充分
14、（0,3）
【解析】设点的坐标，利用，求解即可
【详解】解：点，，，
设，，，
，，解得，
点的坐标为，
故答案为：
【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量相等的应用，属于基础题
15、
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义直接计算
【详解】角的终边经过点，且，
解得.
故答案为：
16、2
【解析】先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算.
【详解】∵，
∴，
∴
故答案为2
【点睛】底数不同的两个对数式进行运算时，有时可以利用换底公式：将其转化为同底数的对数式进行运算.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）先求出集合，，然后由补集和并集的定义求解即可；
（2）先利用交集求出集合，然后利用二次函数的单调性分析求解即可
【详解】解：（1）由得，∴，
由得，∴，
∴，∴.
（2）∵，，∴.
由在上递减，得，即，∴.
18、（I）；（II）或
【解析】（I）先解不等式得集合B，再根据并集、补集、交集定义求结果；
（II）根据与分类讨论，列对应条件，解得结果.
【详解】（I）
a=1，A={x|0<x<3}，
所以
；
（II）因为AB=，
所以当时，，满足题意；
当时，须或
综上，或
【点睛】本题考查集合交并补运算、根据并集结果求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.
19、（1），（2）
【解析】（1）化简即得；（2）设与的夹角为，求出，再求函数的最值得解.
【详解】（1）由已知.
，

，
，
.
（2）设与的夹角为，
则，
，
当即时，取到最小值为.
又，
与夹角的最大值为.
【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，考查向量夹角的计算和函数最值的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
20、（1）；
（2）存在，，.
【解析】（1）利用复合函数的单调性及函数的定义域可得，即得；
（2）由题可得，令，则可得时，方程有两个不等的实数根，当时方程有且仅有一个根在区间内或1，进而可得对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，再利用二次函数的性质可得，即得.
【小问1详解】
∵函数，其反函数为，
∴，
∴，又函数在区间上单调递减，
又∵在定义域上单调递增，
∴函数在区间上单调递减，
∴，解得；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，，
令，则时，方程有两个不等的实数根，不妨设为，
则，即，
∴，即方程有两个不等的实数根，且两根积为1，
当时方程有且仅有一个根在区间内或1，
由，可得，
令，则原题目等价于对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，
则必有，
∴，解得，
此时，则其根在区间内，
所以，
综上，存在，使得对任意，关于的方程在区间上总有三个不等根，，，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是把问题转化为对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，进而利用二次函数性质可求.
21、（1）或；（2）点M的轨迹是以（4，2）为圆心，半径为1的圆.
【解析】⑴设直线的斜率为，求得直线的方程，再根据与圆相交的弦长为，求得圆心到直线的距离，求出即可得到直线的方程；
⑵设出的坐标，确定动点之间坐标的关系，利用在圆上，可得结论；
解析：（1）根据题意设直线的斜率为k，
则直线的方程为，且与圆相交的弦长为，所以圆心到直线的距离为
解得
所以直线的方程为或
（2）设
∵M是线段AB的中点，又A（4,3）
∴ 得
又在圆上，则满足圆的方程
∴ 整理得 为点M的轨迹方程，
点M的轨迹是以（4，2）为圆心，半径为1的圆
点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，并求出点的轨迹方程，在计算轨迹问题时的方法：用未知点坐标表示已知点坐标，然后代入原解析式即可求出关于动点的轨迹方程