江苏省南京师范大学附属中学2025年数学高一上期末统考模拟试题含解析.doc

江苏省南京师范大学附属中学2025年数学高一上期末统考模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设分别是x轴和圆：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的动点，且点A(0，3)，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
2．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
3．设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（ ）
A.（－1，1） B.
C. D.（2，4）
4．已知定义域为R的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
5．规定从甲地到乙地通话 min的电话费由(元)决定，其中>0，[]是大于或等于的最小整数，如[2]＝2，[2.7]＝3，[2.1]＝3，则从甲地到乙地通话时间为4.5 min的电话费为( )元
A.4.8 B.5.2
C.5.6 D.6
6．表示不超过x的最大整数，例如，，，．若是函数的零点，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
7．已知直线：与直线：，则（）
A.，平行 B.，垂直
C.，关于轴对称 D.，关于轴对称
8． “”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．如图，在中，已知为上一点，且满足，则实数的值为

A. B.
C. D.
10．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若三棱锥中，,其余各棱长均为5，则三棱锥内切球的表面积为_____
12．已知直线过两直线和的交点，且原点到该直线的距离为，则该直线的方程为_____.
13．设则__________.
14．已知是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则___________.
15．计算：_______
16．函数满足，且在区间上，则的值为____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
（1）求的值；
（2）证明：是定义域上的减函数；
（3）若，解不等式.
18．已知函数，
（1）求在上的最小值；
（2）记集合，，若，求的取值范围.
19．已知，且的最小正周期为.
（1）求；
（2）当时，求函数的最大值和最小值并求相应的值.
20．已知函数.

（1）当函数取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）完成下表，并在平面直角坐标系内作出函数在的图象.
x
0

y

21．已知函数f（x）=Asin（ωx+） （x∈R，A＞0，ω＞0，||＜）的部分图象如图所示，

（Ⅰ）试确定f（x）的解析式；
（Ⅱ）若=，求cos（-α）的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】取点A关于x轴的对称点C（0，-3），得到，最小值为.
故答案为B.
点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；再者在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值
2、C
【解析】根据幂函数和指数函数的单调性比较判断
【详解】∵，，∴.
故选：C
3、C
【解析】由奇偶性可知的区间单调性及，画出函数草图，由函数不等式及函数图象求解集即可.
【详解】根据题意，偶函数在上单调递减且，则在上单调递增，且
函数的草图如图，或，
由图可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集为
故选：C

4、D
【解析】根据题意，由函数为偶函数分析可得函数的图象关于直线对称，结合函数的单调性以及特殊值分析可得，解可得的取值范围，即可得答案
【详解】解：根据题意，函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，
又由函数在，单调递增且f(3)，
则，
解可得：，即不等式的解集为；
故选：D
5、C
【解析】计算，代入函数，计算即得结果.
【详解】由，得.
故选：C.
6、B
【解析】利用零点存在性定理判断的范围，从而求得.
【详解】在上递增，
，
所以，所以.
故选：B
7、D
【解析】根据题意,可知两条直线都经过轴上的同一点,且两条直线的斜率互为相反数,即可得两条直线的对称关系.
【详解】因为,都经过轴上的点,且斜率互为相反数,
所以,关于轴对称.
故选:D
【点睛】本题考查了两条直线的位置关系,关于轴对称的直线方程特征,属于基础题.
8、A
【解析】根据终边相同的角的三角函数值相等，结合充分不必要条件的定义，即可得到答案；
【详解】，
当，
“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
9、B
【解析】所以，所以。故选B。
10、C
【解析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系即得。
【详解】A.因为垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；
B.若，，，则或相交，故不正确；
C.由垂直同一条直线的两个平面的关系判断，正确；
D.若，，，则或相交，故不正确.
故选：C
【点睛】本题考查空间直线和平面，平面和平面的位置关系，考查学生的空间想象能力。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题意得，易知内切球球心到各面的距离相等，
设为的中点，则在上且为的中点，
在中，，
所以三棱锥内切球的表面积为
12、或
【解析】先求两直线和的交点，再分类讨论，先分析所求直线斜率不存在时是否符合题意，再分析直线斜率存在时，设斜率为，再由原点到该直线的距离为，求出，得到答案.
【详解】由和，得，即交点坐标为，
（1）当所求直线斜率不存在时，直线方程为，此时原点到直线的距离为，
符合题意；
（2）当所求直线斜率存在时，设过该点的直线方程为，
化为一般式得，由原点到直线的距离为，
则，解得，得所求直线的方程为.
综上可得，所求直线的方程为或
故答案为：或
【点睛】本题考查了求两直线的交点坐标，由点到直线的距离求参，还考查了对直线的斜率是否存在分类讨论的思想，属于中档题.
三、
13、
【解析】先求，再求的值.
【详解】由分段函数可知，
.
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.
14、##
【解析】根据函数的周期和奇偶性即可求得答案.
【详解】因为函数的周期为2的奇函数，所以.
故答案为：.
15、
【解析】求出的值，求解计算即可.
【详解】
故答案为：
16、
【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.
详解：由得函数的周期为4，所以因此
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）令即可求得结果；
（2）设，由即可证得结论；
（3）将所求不等式化为，结合单调性和定义域的要求即可构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
令，则，解得：；
【小问2详解】
设，则，
，，，是定义域上的减函数；
【小问3详解】
由得：，即，
又，，
是定义域上的减函数，，解得：；
又，，
的解集为.
【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的函数值的求解、单调性证明以及利用单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的基本思路是将所求不等式化为同一函数的两个函数值之间的比较问题，进而通过函数的单调性得到自变量的大小关系.
18、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）按对称轴与区间的相对位置关系，分三种情况讨论求最小值；
（2）分与解不等式，再分析的情况即可求解.
【小问1详解】
解：（1）由，抛物线开口向上，对称轴为，
在上的最小值需考虑对称轴与区间的位置关系.
（i）当时，；
（ii）当时，；
（ⅲ）当时，
【小问2详解】
（2）解不等式，即，可得：
当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.
（i）当时，要使不等式的解集与有交集，
由得：，
此时对称轴为，
∴只需，即，得.
所以此时
（ii）当时，要使不等式的解集与有交集，
由得：，
此时对称轴为，
∴只需，即，得.
所以此时无解.
综上所述，的取值范围.
19、（1）；（2）时，,时，.
【解析】（1）化简即得函数，再根据函数的周期求出，即得解；
（2）由题得，再根据三角函数的图像和性质即得解.
【详解】解:(1）函数
，
因为,
所以，
解得，
所以
(2)当时，，
当，即时，，
当，即时，，
所以，时，,时，.
20、（1）
（2）答案见解析
【解析】( 1 )由三角恒等变换求出解析式，再求得最大值时的x的集合,
( 2)由五点法作图,列出表格,并画图即可.
【小问1详解】

令，函数取得最大值，
解得，
所以此时x集合为.
【小问2详解】
表格如下：
x
0

y
1

1
作图如下，

21、 (1) ;(2) .
【解析】（Ⅰ）由图象可知A=2,=－=, ∴T=2,ω==π
将点(, 2)代入y=2sin(πx), 得 sin()=1, 又|| <
所以 =.故所求解析式为f(x)=2sin(πx＋) (x∈R)
（Ⅱ）∵f() =, ∴2sin(＋) =, 即, sin(＋) =
∴cos(－a)=cos[π－2(＋)] =－cos2(＋)=2sin2(＋)－1 =
考点：由y= A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
点评：本题考查由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，突出考查特值法与排除法的综合应用，考查分析与计算的能力，属于中档题