浙江省杭州求是高级中学2025年数学高一上期末检测试题含解析.doc

浙江省杭州求是高级中学2025年数学高一上期末检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．方程的解所在的区间是
A B.
C. D.
2．已知为三角形的内角，且，则（　　）
A. B.
C. D.
3．以下元素的全体不能够构成集合的是
A.中国古代四大发明 B.周长为的三角形
C.方程的实数解 D.地球上的小河流
4．已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）
A.k≤-8 B.k≥4
C.k≤-8或k≥4 D.-8≤k≤4
5．已知函数的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
6．在下列各区间上，函数是单调递增的是
A. B.
C. D.
7．已知函数是上的增函数（其中且），则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
8．下列各个关系式中，正确的是（ ）
A.={0}
B.
C.{3，5}≠{5，3}
D.{1}{x|x2=x}
9．函数的最小值为（）
A. B.
C. D.
10．已知向量，且，则
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，，则a、b的大小关系是______．（用“＜”连接）
12．已知，，，则，，的大小关系是___________（用“”连接）
13．当时，函数的最大值为________.
14．已知函数 若方程恰有三个实数根，则实数的取值范围是_______.
15．化简________.
16．已知且，函数的图像恒过定点，若在幂函数的图像上，则__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，平面底面ABCD，M是棱PC上的点.

（1）证明：底面；
（2）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值.
18．已知向量，向量分别为与向量同向的单位向量.
（Ⅰ）求向量与的夹角；
（Ⅱ）求向量的坐标.
19．若函数是奇函数()，且，.
(1)求实数,,的值；
(2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.
20．已知.
（1）若，，求x的值；
（2）若，求的最大值和最小值.
21．已知集合，，.若，求实数a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】设，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数与的上都是递增函数，所以在上单调递增，故函数最多有一个零点，而，，根据零点存在定理可知，有一个零点，且该零点处在区间内，故选答案C.
考点：函数与方程.
2、A
【解析】根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.
【详解】
计算得，所以，，
从而可计算的，
，
,选项A正确，选项BCD错误.
故选：A.
3、D
【解析】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，选D.
4、C
【解析】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.
【详解】函数对称轴为，
要使在区间[-2，1]上具有单调性，则
或，∴或
综上所述的范围是：k≤-8或k≥4.
故选：C.
5、B
【解析】根据周期性和对称性求得函数解析式，再利用函数单调性即可比较函数值大小.
【详解】根据的最小正周期为，故可得，解得.
又其关于中心对称，故可得，又，
故可得.则.
令，
解得.
故在单调递增.
又，且都在区间中，
且，故可得.
故选：.
【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，以及利用三角函数的单调性比较函数值大小，属综合基础题.
6、C
【解析】根据选项的自变量范围判断函数的单调区间即可.
【详解】当时，，由正弦函数单调性知，
函数单增区间应满足，即，
观察选项可知，是函数的单增区间，其余均不是，
故选：C
7、D
【解析】利用对数函数、一次函数的性质判断的初步取值范围，再由整体的单调性建立不等式，构造函数，利用函数的单调性求解不等式，从求得的取值范围.
【详解】由题意必有，可得，且，
整理为．令
由换底公式有，

由函数为增函数，
可得函数为增函数，
注意到，
所以由，得，
即，实数a的取值范围为
故选:D.
8、D
【解析】由空集的定义知={0}不正确，A不正确；
集合表示有理数集，而不是有理数，所以B不正确；
由集合元素的无序性知{3，5}={5，3}，所以C不正确；
{x|x2=x}={0，1}，所以{1}{0，1},所以D正确.
故选D.
9、B
【解析】用二倍角公式及诱导公式将函数化简，再结合二次函数最值即可求得最值.
【详解】由
因为所以当时
故选：B
10、B
【解析】由已知得，
因为，
所以，即，
解得.选B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】容易看出，＜0，＞0，从而可得出a，b的大小关系
【详解】，＞0，,∴a＜b
故答案为a＜b
【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，考查对数函数和指数函数的值域．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12、
【解析】根据指数函数与对数函数单调性直接判断即可.
【详解】由已知得，所以，
，，
所以，
故答案为：.
13、
【解析】
分子分母同除以，再利用基本不等式求解即可．
【详解】，
，当且仅当时取等号，
即函数的最大值为，
故答案为：．
14、
【解析】令f（t）＝2，解出t，则f（x）＝t，讨论k的符号，根据f（x）的函数图象得出t的范围即可
【详解】解：令f（t）＝2得t＝﹣1或t（k≠0）
∵f（f（x））﹣2＝0，∴f（f（x））＝2，
∴f（x）＝﹣1或f（x）（k≠0）
（1）当k＝0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）＝﹣1无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；
（2）当k＞0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）＝﹣1无解，f（x）无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；
（3）当k＜0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）＝﹣1有1解，
∵f（f（x））﹣2＝0有3解，∴f（x）有2解，
∴1，解得﹣1＜k
综上，k的取值范围是（﹣1，]
故答案为（﹣1，]
【点睛】本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，数形结合思想，属于中档题
15、
【解析】观察到，故可以考虑直接用辅助角公式进行运算.
【详解】
故答案为：.
16、
【解析】由题意得

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；
（2）.
【解析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得平面，然后利用线面垂直的判定定理即证；
（2）由题可得，进而可得，即得.
【小问1详解】
∵，平面底面ABCD，
∴，平面底面ABCD=AD，底面ABCD，
∴平面，平面，
∴PD，又，
∴，，
∴底面；
【小问2详解】
设，M到底面ABCD的距离为，
∵三棱锥的体积是四棱锥体积的，
∴，
又，，
∴，故，
又，
所以.
18、 (Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】（Ⅰ）运用向量的数量积求解即可．（Ⅱ）先根据单位向量的概念求得，再求的坐标
试题解析：
（Ⅰ）因为向量，
所以，，
所以，
又因为，
所以.
即向量与的夹角为
（Ⅱ）由题意得
，
，
所以
即向量的坐标为
19、 (1),,；(2)在上为增函数,证明见解析.
【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，进而可得，解可得、、的值，即可得答案；
（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可
【详解】解：(1)根据题意，函数是奇函数（），且，
则，又由，
则有，且，解得，，.
(2)由(1)可得：，函数在上为增函数
证明：设任意的，
，
又由，则且，，
则有，
故函数在上为增函数
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出、、的值，属于基础题
20、（1）或；
（2）的最大值和最小值分别为：，.
【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数，再利用给定的函数值及x的范围求解作答.
(2)求出函数相位的范围，再结合正弦函数的性质计算作答.
【小问1详解】
依题意，，
由，即得：，而，即，
于是得或，解得或，
所以x的值是或.
【小问2详解】
由(1)知，，当时，，
则当，即时，，当，即时，，
所以的最大值和最小值分别为：，.
21、
【解析】求函数定义域得，解不等式得，进而得，再结合题意，分和两种情况求解即可.
【详解】解：由，解得，所以，
因为，解得，所以
所以
因为，
所以，当时，，解得
时，可得，解得：
综上可得：实数a的取值范围是