2025-2026学年江苏省连云港市东海县数学高一第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2025-2026学年江苏省连云港市东海县数学高一第一学期期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数关于直线对称，且当时，恒成立，则满足的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．命题：，命题：（其中），那么是的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知为奇函数，当时，，则（）
A.3 B.
C.1 D.
4．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若， ， ，则， ， 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（　　）
A. B.
C. D.
6．已知函数为奇函数，，若对任意、，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7．下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
8．已知偶函数在上单调递增，则对实数、，“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．的分数指数幂表示为（ ）
A. B.
C. D.都不对
10．下列向量的运算中，正确的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积为_______________________.

12．已知函数，则_________
13．设函数且是定义域为的奇函数；
（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；
（2）若，且，求在上的最小值
14．已知函数有两个零点分别为a，b，则的取值范围是_____________
15．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.

16．已知函数，将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个单位，得到函数的解析式______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图1，直角梯形ABCD中，，，．如图2，将图1中沿AC折起，使得点D在平面ABC上的正投影G在内部．点E为AB的中点．连接DB，DE，三棱锥D－ABC的体积为．对于图2的几何体

（1）求证：；
18．阅读材料：我们研究了函数的单调性、奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数的图象是向下凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的下方，此时函数称为下凸函数；函数的图象是向上凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的上方，则函数称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.

定义1：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度、全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：
（1）请尝试列举一个下凸函数：___________；
（2）求证：二次函数是上凸函数；
（3）已知函数，若对任意，恒有，尝试数形结合探究实数a的取值范围.
19．已知的图象上相邻两对称轴的距离为.
（1）若，求的递增区间；
（2）若时，若最大值与最小值之和为5，求的值.
20．已知：，：，分别求m的值，使得和：
垂直；
平行；
重合；
相交
21．（1）已知，求的值；
（2）已知，，且，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据题意，得到函数为偶函数，且在为单调递减函数，则在为单调递增函数，把不等式，转化为，即可求解.
【详解】由题意，函数关于直线对称，所以函数为偶函数，
又由当时，恒成立，
可得函数在为单调递减函数，则在为单调递增函数，
因为，可得，即或，
解得或，即不等式的解集为，
即满足的x的取值范围是.
故选：B.
2、A
【解析】根据充分性、必要性的定义，结合特例法进行判断即可.
【详解】当时，，所以由能推出，
当时，显然当时，满足，但是不成立，
因此是的充分不必要条件，
故选：A
3、B
【解析】根据奇偶性和解析式可得答案.
【详解】由题可知，
故选：B
4、B
【解析】分析：利用函数的单调性即可判断.
详解：因为函数为偶函数且在(−∞,0)上单调递减，所以函数在(0,+∞)上单调递增，由于，所以.
故选B.
点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系
5、A
【解析】由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，即可得出结论
【详解】由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段AB1，AC，AD1上，设线段AB1上的切点为E，AC1∩面A1BD＝O2，圆柱上底面的圆心为O1，半径即为O1E=r，则，由O1E∥O2F知，则圆柱的高为，当且仅当r=取等号
故选A

【点睛】本题考查求圆柱侧面积的最大值，考查正方体与圆柱的内切问题，考查学生空间想象与分析解决问题的能力，属于中档题
6、A
【解析】由奇函数性质求得，求得函数的解析式，不等式等价于，由此求得答案.
【详解】解：因为函数的定义域为，又为奇函数，∴，解得，∴，所以，
要使对任意、，恒成立，
只需，又，∴，即，
故选：A.
7、C
【解析】当时，不正确；当时，不正确；正确；当时，不正确.
【详解】对于，当时，不成立，不正确；
对于，当时，不成立，不正确；
对于，若，则，正确；
对于，当时，不成立，不正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用不等式的性质求解是解题关键.
8、C
【解析】直接利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为偶函数在上单调递增，
若，则，
而等价于，故充分必要；
故选：C
9、B
【解析】直接由根式化为分数指数幂即可
【详解】解：
故选：B
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化，属基础题.
10、C
【解析】利用平面向量的三角形法则进行向量的加减运算，即可得解.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，属于基础题.解题时，要注意向量的起点和终点.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由已知得该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，根据圆锥和球体的体积公式可得答案.
【详解】该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为，
设制成的大铁球半径为，则，得，故大铁球的表面积为.
故答案为：.
12、
【解析】运用代入法进行求解即可.
【详解】，
故答案为：
13、（1）是增函数，解集是
（2）
【解析】（1）根据函数为奇函数，求得，得到，由，求得，得到是增函数，把不等式转化为，结合单调性，即可求解；
（2）由，求得，得到，得出，
令，结合指数函数的性质和换元法，即可求解.
【小问1详解】
解：因为函数且是定义域为的奇函数，
可得，即，
可得，所以，即，
由，可得且且，解得，
所以是增函数，
又由，可得，
所以，解得，所以不等式的解集是
【小问2详解】
解：由函数，
因为，即且，解得，所以，
由，
令，则由（1）得在上是增函数，故，
则在单调递增，
所以函数的最小值为，
即在上最小值为.
14、
【解析】根据函数零点可转化为有2个不等的根，利用对数函数的性质可知，由均值不等式求解即可.
详解】不妨设，
因为函数有两个零点分别为a，b，
所以，
所以，
即，且，
，
当且仅当，即时等号成立，此时不满足题意，
，
即，
故答案为：
15、
【解析】根据题意得，进而根据扇形面积公式计算即可得答案.
【详解】解：根据题意，只需计算图中阴影部分的面积，
设，
因为弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，
所以，
所以阴影部分的面积为
所以弧田的面积是.
故答案为：
16、
【解析】根据三角函数图象的变换可得答案.
【详解】将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得，
再将得到的图象向右平移个单位得
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】(1)取AC的中点F，连接DF，CE，EF，证明AC⊥平面DEF即可.
(2)以G为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解线面角.
【小问1详解】
取AC的中点F，连接DF，CE，EF，则△DAC，△EAC均为等腰直角三角形
∴AC⊥DF，AC⊥EF，∵DF∩EF＝F，∴AC⊥平面DEF，又DE⊂平面DEF，∴DE⊥AC
【小问2详解】
连接GA，GC，
∵DG⊥平面ABC，而GA⊂平面ABC，GC⊂平面ABC，∴DG⊥GA，DG⊥GC，
又DA＝DC，∴GA＝GC，∴G在AC的垂直平分线上，又EA＝EC，∴E在AC的垂直平分线上，∴EG垂直平分AC，又F为AC的中点，∴E，F，G共线
∴S△ABC＝×|AC|×|BC|＝×6×6＝18，
∴VDABC＝×S△ABC×|DG|＝×18×|DG|＝12，∴DG＝2
在Rt△DGF中，|GF|＝
以G为坐标原点，GM为x轴，GE为y轴，GD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，－1，0)，E(0，2，0)，C(－3，－1，0)，D(0，0，2)，
∴＝(0，2，－2)，＝(3，－1，－2)，＝(－3，－1，－2)，
设平面DAC的法向量为＝(x，y，z)，
则，得，令z＝1，得：，
于是，.
18、（1），；
（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）根据下凸函数的定义举例即可；
（2）利用上凸函数定义证明即可；
（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围.
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
对于二次函数，，满足

，
即，满足上凸函数定义，二次函数是上凸函数.
【小问3详解】
由（2）知二次函数是上凸函数，
同理易得二次函数为下凸函数，
对于函数，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，

若对任意，恒有，
则函数满足上凸函数定义，即，
即.
19、 (1)增区间是[kπ－, kπ＋], k∈Z (2)
【解析】首先根据已知条件，求出周期，进而求出的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间，，即可求出的递增区间
由确定出的函数解析式，根据的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值，即可得到的值
解析：已知
由，则T＝π＝，∴w＝2
∴
（1）令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ则－＋kπ≤x≤＋kπ
故f(x)的增区间是[kπ－, kπ＋], k∈Z
（2）当x∈[0, ]时，≤2x＋≤
∴sin(2x＋)∈[－, 1]
∴∴
点睛：这是一道求三角函数递增区间以及利用函数在某区间最大值求得参数的题目，主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，属于中档题
20、（1）； （2）-1； （3）3； （4）且.
【解析】（1）若l1和l2垂直，则m﹣2+3m＝0
（2）若l1和l2平行，则
（3）若l1和l2重合，则
（4）若l1和l2相交，则由（2）（3）的情况去掉即可
【详解】若和垂直，则,
若和平行，则,,
若和重合，则，
若和相交，则由可知且
【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线的不同位置的条件一般式方程的表示
21、（1）（2），
【解析】（1）先求得，然后对除以，再分子分母同时除以，将表达式变为只含的形式，代入的值，从而求得表达式的值.（2）利用诱导公式化简已知条件，平方相加后求得的值，进而求得的值，接着求得的值，由此求得的大小.
【详解】（1）

（2）由已知条件，得 ，两式求平方和得，即，所以．又因为，所以，
把代入得．考虑到，得．因此有，
【点睛】本小题主要考查利用齐次方程来求表达式的值，考查利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简求值，考查特殊角的三角函数值.形如，或者的表达式，通过分子分母同时除以或者，转化为的形式.