江西省南昌县莲塘一中2026届数学高一上期末联考试题含解析.doc

江西省南昌县莲塘一中2026届数学高一上期末联考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，分别是方程，的解，则关于的方程的解的个数是（ ）
A B.
C. D.
2．函数的图像大致为
A. B.
C. D.
3．已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
4．如图，网格纸的各小格都是正方形（边长为1），粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体的表面积为（ ）

A. B.
C. D.
5．若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是
A. B.
C. D.
6．设则下列说法正确的是（ ）
A.方程无解 B.
C.奇函数 D.
7．四名学生按任意次序站成一排，若不相邻的概率是（）
A. B.
C. D.
8．两圆和的位置关系是
A.相离 B.相交
C.内切 D.外切
9．为得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位
10．已知集合，，那么集合A可能是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知是R上的奇函数，且当时，，则的值为___________.
12．函数，则__________.
13．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，___________.
14．已知幂函数是奇函数，则___________.
15．已知，且，则实数的取值范围为__________
16．若，，则等于_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是定义在上的奇函数，当时有.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
18．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.
（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取）
19．函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.
（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.
①；②；
（2）已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质.求证：是偶函数；
（3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.
20．已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域分别为集合，设，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.
21．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段国道上进行测试，汽车行驶速度低于80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示：

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，且，，（）
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并说明理由；
（2）求出（1）中所选函数模型的函数解析式；
（3）根据（2）中所得函数解析式，求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地，前一段是200km的国道，后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不低于80km/h），若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的关系满足，则如何行使才能使得总耗电量最少，最少为多少？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】∵，分别是方程，的解，
∴，，
∴，，
作函数与的图象如下：

结合图象可以知道，有且仅有一个交点，
故，即
分类讨论：
（）当时，方程可化为，
计算得出，
（）当时，方程可化，
计算得出，；
故关于的方程的解的个数是，
本题选择B选项.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围
2、A
【解析】详解】由得，
故函数的定义域为
又，
所以函数为奇函数，排除B
又当时，；当时，．排除C，D．选A
3、D
【解析】本题首先可以根据函数是定义域为R的偶函数判断出函数的对称轴，然后通过在上单调递减判断出函数在上的单调性，最后根据即可列出不等式并解出答案
【详解】因为函数是定义域为R的偶函数，
所以函数关于轴对称，即函数关于对称，
因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，
因为，所以到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
即，，
化简可得，，解得，故选D
【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性的相关性质，若函数是偶函数，则函数关于轴对称且轴左右两侧单调性相反，考查推理能力与计算能力，考查函数方程思想与化归思想，是中档题
4、B
【解析】根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等；
可得几何体如右图所示，

这是一个三棱柱．表面积为：
故答案为B.
5、C
【解析】联立方程 得交点 ，由交点在第一象限知： 解得 ，即是锐角，故 ，选C.
6、B
【解析】根据函数的定义逐个分析判断
【详解】对于A，当为有理数时，由，得，所以A错误，
对于B，因为为无理数，所以，所以B正确，
对于C，当为有理数时，也为有理数，所以，当为无理数时，也为无理数，所以，所以为偶函数，所以C错误，
对于D，因为，所以，所以D错误，
故选：B
7、B
【解析】利用捆绑法求出相邻的概率即可求解.
【详解】四名学生按任意次序站成一排共有，
相邻的站法有，
相邻的的概率，
故不相邻的概率是.
故选：B
【点睛】本题考查了排列数以及捆绑法在排列中的应用，同时考查了古典概型的概率计算公式.
8、B
【解析】依题意，圆的圆坐标为，半径为，圆的标准方程为，其圆心坐标为，半径为，两圆心的距离，且两圆相交，故选B.
9、A
【解析】先将变形为，即可得出结果.
详解】，
只需将函数的图象向左平移个长度单位.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的平移变换，属于基础题.
10、C
【解析】根据并集的定义可得集合A中一定包含的元素，再对选项进行排除，可得答案.
【详解】集合，；
集合A中一定有元素0和3，故可排除A,B,D;
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由已知函数解析式可求，然后结合奇函数定义可求.
【详解】因为是R上的奇函数，且当时，，
所以，所以
故答案为：
12、
【解析】先求的值，再求的值.
【详解】由题得，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
13、
【解析】设，则，求出的表达式，再由即可求解.
【详解】设，则，所以，
因为是定义在上的偶函数，所以，
所以当时，
故答案为：.
14、1
【解析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果.
【详解】由题意得，∴或1，
当时，是偶函数；
当时，是奇函数.
故答案为：1.
15、
【解析】 ，该函数的定义域为，又，故为上的奇函数，所以等价于，又为上的单调减函数，，也即是，解得，填
点睛：解函数不等式时，要注意挖掘函数的奇偶性和单调性
16、
【解析】由同角三角函数基本关系求出的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】因为，，所以，
所以，
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）； （2）见解析.
【解析】（1）当时，则，可得，进而得到函数的解析式；
（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论.
【详解】（1）由题意，当时，则，可得，
　因为函数为奇函数，所以，
　所以函数的解析式为.
（2）函数在单调递增函数.
证明：设，则
因为，所以
所以，即
故在为单调递增函数
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的单调性的判定与证明，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及熟练应用的函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18、（1）；（2）至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
【解析】（1）由题设可得方程，求出，进而写出函数模型；
（2）由（1）所得模型，结合题设，并应用对数的运算性质求解不等式，即可知要使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标至少要改良的次数.
【详解】（1）由题意得：，，
∴当时，，即，解得，
∴，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.
（2）由题意得，，整理得：，即，
两边同时取常用对数，得：，整理得：，
将代入，得，又，
∴，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
19、（1）具有性质；不具有性质；（2）见解析；（3）
【解析】（1）根据定义即可求得具有性质；根据特殊值即可判断不具有性质；
（2）利用反证法，假设二次函数不是偶函数，根据题意推出与题设矛盾即可证明；
（3）根据题意得到，再根据具有性质，得到，解不等式即可.
【详解】解：（1），定义域为，
则有，
显然存在正实数，对任意的，总有，
故具有性质；
，定义域为，
则，
当时，，
故不具有性质；
（2）假设二次函数不是偶函数，
设，其定义域为，
即，
则，
易知，是无界函数，
故不存在正实数k，使得函数具有性质，与题设矛盾，
故是偶函数；
（3）的定义域为，

，
具有性质，
即存在正实数k，对任意的，总有，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
通过对比解得：，
即.
【点睛】方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据幂函数的定义求解；
（2）由条件可知，再根据集合之间的关系建立不等式求解即可.
【小问1详解】
由幂函数的定义得：，解得或，
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当时，上单调递增，符合题意；
综上可知：.
【小问2详解】
由（1）得：，
当时，，即.
当时，，即，
由是成立的必要条件，则，显然，则，即，
所以实数的取值范围为.
21、（1），理由见解析
（2）
（3）当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为
【解析】（1）由表格数据判断合适的函数关系，
（2）代入数据列方程组求解，
（3）分别表示在国道与高速路上的耗电量，由单调性求其取最小值时的速度.
【小问1详解】
若选，则当时，该函数无意义，不合题意
若选，显然该函数是减函数，这与矛看，不合题意
故选择
【小问2详解】
选择，由表中数据得，
解得，所以当时，
【小问3详解】
由题可知该汽车在国道路段所用时间为，
所耗电量，
所以当时，
该汽车在高速路段所用时间为，
所耗电量，
易知在上单调递增，所以
故当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为