福建省龙岩市上杭县第一中学2025年数学高一第一学期期末达标检测试题含解析.doc

福建省龙岩市上杭县第一中学2025年数学高一第一学期期末达标检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知全集，集合，，则（ ）
A.{2，3，4} B.{1，2，4，5}
C.{2，5} D.{2}
2．若是第二象限角，是其终边上的一点，且，则（）
A. B.
C. D.或
3．已知函数，则下列关于函数的说法中，正确的是（）
A.将图象向左平移个单位可得到的图象
B.将图象向右平移个单位，所得图象关于对称
C.是函数的一条对称轴
D.最小正周期为
4．命题“任意实数”的否定是（）
A.任意实数 B.存在实数
C.任意实数 D.存实数
5．设,若直线与直线平行,则的值为
A. B.
C.或 D.或
6．已知a，b为实数，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．在同一坐标系中，函数与大致图象是（）
A. B.
C. D.
8．设是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
9．某校早上6：30开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上6：00~6：30之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差5分钟到校的概率为（ ）
A. B.
C. D.
10．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围是_______
12．如图，、、、分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是异面直线的图形有______.

13．在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____
14．函数的最小值是________.
15．若点在角终边上，则的值为_____
16．等于_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，.
（1）求函数图形的对称轴；
（2）若，不等式的解集为，，求实数的取值范围.
18．某厂生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为.当年产量不足千件时，（万元）；当年产量不小于千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完.（利润销售收入总成本）
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
19．已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的对称轴和对称中心；
（3）若，，求的值
20．已知等差数列满足，前项和.
（1）求的通项公式
（2）设等比数列满足，，求的通项公式及的前项和.
21．已知向量，.
（1）若与共线且方向相反，求向量的坐标.
（2）若与垂直，求向量，夹角的大小.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
分析】
根据补集的定义求出，再利用并集的定义求解即可.
【详解】因为全集， ，
所以，
又因为集合，
所以，
故选：B.
2、C
【解析】根据余弦函数的定义有，结合是第二象限角求解即可.
【详解】由题设，，整理得，又是第二象限角，
所以.
故选：C
3、C
【解析】根据余弦型函数的图象变换性质，结合余弦型函数的对称性和周期性逐一判断即可.
【详解】A：图象向左平移个单位可得到函数的解析式为：，故本选项说法不正确；
B：图象向右平移个单位，所得函数的解析式为；，因为，所以该函数是偶函数，图象不关于原点对称，故本选项说法不正确；
C：因为，所以是函数的一条对称轴，因此本选项说法正确；
D：函数的最小正周期为：，所以本选项说法不正确，
故选：C
4、B
【解析】根据含全称量词的命题的否定求解.
【详解】根据含量词命题的否定，
命题“任意实数”的否定是存在实数，
故选：B
5、B
【解析】由a（a+1）﹣2=0，解得a．经过验证即可得出
【详解】由a（a+1）﹣2=0，解得a=﹣2或1
经过验证：a=﹣2时两条直线重合，舍去
∴a=1
故选B
【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
6、B
【解析】由充分条件、必要条件的定义及对数函数的单调性即可求解.
【详解】解：因为，所以在上单调递减，
当时，和不一定有意义，
所以“”推不出“”；
反之，，则，即，
所以“”可推出“”.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
7、B
【解析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.
【详解】由指数函数与对数函数的单调性知：在上单调递增，在上单调递增，只有B满足.
故选：B.
8、D
【解析】根据奇函数的性质求函数值即可.
【详解】
故选：D
9、A
【解析】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第分钟，第分钟，由题意可画出图形，利用几何概型中面积比即可求解.
【详解】
设小张与小王的到校时间分别为6：00后第分钟，第分钟，
可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为
是一个正方形区域，
对应的面积，
则小张与小王至少相差5分钟到校事件(如阴影部分)
则符合题意的区域，
由几何概型可知小张与小王至少相差5分钟到校的概率为.
故选：A
【点睛】本题考查了几何概率模型，解题的关键是画出满足条件的区域，属于基础题.
10、C
【解析】是非奇非偶函数，在定义域内为减函数；
是奇函数，在定义域内不单调；
y=－x 3是奇函数，又在定义域内为减函数；
非奇非偶函数，在定义域内为减函数；
故选C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用函数的奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“”，可转化为具体不等式，注意函数定义域
【详解】解：由得，
又为奇函数，得，
，
又是定义在，上的减函数，

解得：
即
故答案为：
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查转化思想，解决本题的关键是利用性质去掉符号“”
12、②④
【解析】图①中，直线，图②中面，图③中，图④中，面
【详解】解：根据题意，
在①中，且，则四边形是平行四边形，有，不是异面直线；
图②中，、、三点共面，但面，因此直线与异面；
在③中，、分别是所在棱的中点，所以且，故，必相交，不是异面直线；
图④中，、、共面，但面，与异面
所以图②④中与异面
故答案为：②④.
13、
【解析】
M﹣ABC四个面都为直角三角形，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2，
∴三角形的AC=2，
从而可得MC=2，
那么ABC内接球的半径r：可得（﹣r）2=r2+（2﹣）2
解得：r=2-
∵△ABC时等腰直角三角形，
∴外接圆半径为AC=
外接球的球心到平面ABC的距离为=1
可得外接球的半径R=
故得：外接球表面积为.
由已知，设内切球半径为，
，

，
内切球表面积为，
外接球与内切球的表面积之和为
故答案为：.
点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心.
14、2
【解析】直接利用基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以函数的最小值为2.
故答案为：2.
15、5
【解析】由三角函数定义得

16、
【解析】直接利用诱导公式即可求解.
【详解】由诱导公式得：
.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）利用余弦的降幂扩角公式化简为标准正弦型函数，进而求解对称轴即可；
（2）求得函数在区间上的值域，以及绝对值不等式的解集，根据集合之间的包含关系，即可求得参数的取值范围.
【详解】（1）

，
解得：；
（2），，
，
又解得
而
，得.
【点睛】本题考查利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简三角函数，以及三角函数对称轴和值域的求解，涉及根据集合之间的关系求参数的取值范围，属综合中档题.
18、（1）；（2）万件.
【解析】（1）由题意，分别写出与对应的函数解析式，即可得分段函数解析式；（2）当时，利用二次函数的性质求解最大值，当时，利用基本不等式求解最大值，比较之后得整个范围的最大值.
【详解】解：（1）当，时，

当，时，

∴
（2）当，时，，
∴当时，取得最大值（万元）
当，时，

当且仅当，即时等号成立.
即时，取得最大值万元
综上，所以即生产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元
【点睛】与函数相关的应用题在求解的过程中需要注意函数模型的选择，注意分段函数在应用题中的运用，求解最大值时注意利用二次函数的性质以及基本不等式求解.
19、（1）；（2），；（3）
【解析】（1）利用三角函数的恒等变换，对函数的表达式进行化简，进而可以求出周期；（2）利用正弦函数对称轴与对称中心的性质，可以求出函数的对称轴和对称中心；（3）利用题中给的关系式可以求出和，然后将展开求值即可
【详解】（1）.
所以函数的最小正周期.
（2）由于，
令，，得，
故函数的对称轴为.
令，，得，
故函数的对称中心为.
（3）因为，所以,
即，
因为，所以，
则，，
所以.
【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期、对称轴、对称中心，及利用函数的关系式求值，属于中档题
20、（1）；（2），
【解析】（1）设的公差为，则由已知条件得，
化简得解得故通项公式，即
（2）由（1）得．设的公比为,则,从而

故的前项和
21、（1）；（2）.
【解析】（1）由已知设，.再由向量的模的表示可求得答案；
（2）根据向量垂直的坐标表示可求得，再由向量的夹角运算求得答案.
.，.
【详解】（1），且与共线且方向相反.设，.
，，..
（2）与垂直，，，，
.，.