2026届四川省成都市成都市树德中学高二上数学期末考试模拟试题含解析.doc

2026届四川省成都市成都市树德中学高二上数学期末考试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）
A. B.
C. D.
2．在三棱锥中，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
3．已知等差数列满足，则其前10项之和为（）
A.140 B.280
C.68 D.56
4．若直线与圆相切，则（）
A. B.或2
C. D.或
5．已知二次函数交轴于，两点，交轴于点.若圆过，，三点，则圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6．数列中，，，．当时，则n等于（）
A.2016 B.2017
C.2018 D.2019
7．设AB是椭圆（）的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、… 、P99 ，F1为椭圆的左焦点，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
8．下列说法错误的是（ ）
A.“若，则”的逆否命题是“若，则”
B.“”的否定是”
C.“是"”的必要不充分条件
D.“或是"”的充要条件
9．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（ ）

A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
10．点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值是（）
A.4 B.6
C. D.
11．已知函数的导数为，则等于（）
A.0 B.1
C.2 D.4
12．在递增等比数列中，为其前n项和．已知，，且，则数列的公比为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知随机变量，且，则______.
14．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的体对角线长为___________.

15．已知函数，则___________.
16．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为点，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）若在上单调递减，求实数a的取值范围
（2）若是方程的两个不相等的实数根，证明：
18．（12分）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于点，已知椭圆的离心率为，△的周长为8

（1）求椭圆的方程；
（2）设点的坐标为
①当，，成等差数列时，求点的坐标；
②若直线、分别与直线交于点、，以为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由
19．（12分）已知等差数列和正项等比数列满足
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和
20．（12分）已知抛物线：，直线过定点.
（1）若与仅有一个公共点，求直线的方程；
（2）若与交于A，B两点，直线OA，OB（其中О为坐标原点）的斜率分别为，，试探究在，，，中，运算结果是否有为定值的？并说明理由.
21．（12分）我们知道：当是圆O：上一点，则圆O的过点的切线方程为；当是圆O：外一点，过作圆O的两条切线，切点分别为，则方程表示直线AB的方程，即切点弦所在直线方程.请利用上述结论解决以下问题：已知圆C的圆心在x轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆C的两条切线，切点分别为.
（1）求圆C的方程；
（2）当时，求线段AB的长；
（3）当点在直线上运动时，求线段AB长度的最小值.
22．（10分）已知数列{}的首项＝2，(n≥2，)，，.
（1）证明：{+1}为等比数列；
（2）设数列{}的前n项和，求证：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】结合已知条件，利用对称的概念即可求解.
【详解】不妨设点关于轴对称的点的坐标为，
则线段垂直于轴且的中点在轴，
从而点关于轴对称的点的坐标为.
故选：B.
2、A
【解析】分别取、、的中点、、，连接、、、、，由题意结合平面几何的知识可得、、或其补角即为异面直线PC与AB所成角，再由余弦定理即可得解.
【详解】分别取、、的中点、、，连接、、、、，如图：

由可得，所以，
在，，可得
由中位线的性质可得且，且，
所以或其补角即为异面直线PC与AB所成角，
在中，，
所以异面直线AB与PC所成角的余弦值为.
故选：A.
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角
3、A
【解析】根据等差数列的性质，可得，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意，等差数列满足，
根据等差数列的性质，可得，
所以数列的前10项和为.
故选：A.
4、D
【解析】根据圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解.
【详解】由圆可得圆心，半径，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
整理可得：，所以或，
故选：D.
5、C
【解析】由已知求得点A、B、C的坐标，则有AB的垂直平分线必过圆心，所以设圆的圆心为，由，可求得圆M的半径和圆心，由此求得圆的方程.
【详解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，
因为圆过，，三点，所以AB的垂直平分线必过圆心，所以设圆的圆心为，
所以，即，解得，所以圆心，半径，
所以圆的方程是，即，
故选：C
6、B
【解析】根据已知条件用逐差法求得的通项公式，再根据裂项求和法求得，代值计算即可.
【详解】因为，，则,
即，则，
故，又，即，
解得.
故选：B.
7、D
【解析】根据椭圆的定义，写出，可求出的和，又根据关于纵轴成对称分布，得到结果
详解】设椭圆右焦点为F2，由椭圆的定义知，2，，，

由题意知，，，关于轴成对称分布，

又，
故所求的值为
故选：D
8、C
【解析】利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，“若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；
对于B，“”的否定是”，正确；
对于C，“”等价于“或，
∴ “是"”的充分不必要条件，错误；
对于D，“或是"”的充要条件，正确.
故选：C
9、B
【解析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.
【详解】，故①正确；
根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；
每周使用时间在，，三组内的学生的比例为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故③正确.
故选：B.
10、C
【解析】由抛物线的定义转化后求距离最值
【详解】抛物线的焦点，准线为
过点作准线于点，故△PAF的周长为，
，可知当三点共线时周长最小，为
故选：C

11、A
【解析】先对函数求导，然后代值计算即可
【详解】因为，
所以.
故选：A
12、B
【解析】由已知结合等比数列的性质可求出、，然后结合等比数列的求和公式求解即可.
【详解】解：由题意得：
是递增等比数列
又，
，

故
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据二项分布的均值与方差的关系求得,再根据方差的性质求解即可.
【详解】,所以,又因为,所以
故答案为：12
【点睛】本题主要考查了二项分布的均值与方差的计算,同时也考查了方差的性质,属于基础题.
14、.
【解析】先根据棱锥的体积求出正方体的棱长，进而求出正方体的体对角线长.
【详解】如图，连接，设正方体棱长为，则.

所以，体对角线.
故答案为：.
15、
【解析】先求导数，代入可得.
【详解】因为
所以，则，故.
故答案为：
16、
【解析】先利用关于原点对称的点的坐标特征求出点，再利用空间两点间的距离公式即可求.
【详解】因为B与关于原点对称，故，
所以.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）详见解析
【解析】（1）首先求函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围；
（2）将方程的实数根代入方程，再变形得到，利用分析法，转化为证明，通过换元，构造函数，转化为利用导数证明，恒成立.
【小问1详解】
，
，在上单调递减，
在上恒成立，即，
即在，
设，，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以函数的最大值是，所以；
【小问2详解】
若是方程两个不相等的实数根，
即又2个不同实数根，且，，
得，即 ，
所以，
不妨设，则，
要证明，
只需证明，
即证明，即证明，
令，，
令函数，
所以，
所以函数在上单调递减，
当时，，所以，，
所以 ，即，即得
【点睛】本题考查利用导数的单调性求参数的取值范围，以及证明不等式，属于难题，导数中的双变量问题，往往采用分析法，转化为函数与不等式的关系，通过构造函数，结合函数的导数，即可证明.
18、（1）；
（2）①或；②过定点、，理由见解析.
【解析】（1）由焦点三角形的周长、离心率求椭圆参数，即可得椭圆方程.
（2）①由（1）可得，结合椭圆的定义求，即可确定的坐标；②由题设，求直线、的方程，进而求、坐标，即可得为直径的圆的方程，令求横坐标，即可得定点.
【小问1详解】
由题设，易知：，可得，则，
∴椭圆.
【小问2详解】
①由（1）知：，令，则，
∴，解得，故，此时或
②由（1），，，
∴可令直线：，直线：，
∴将代入直线可得：，，则圆心且半径为，
∴为直径的圆为，
当时，，又，
∴，可得或.
∴为直径的圆过定点、.
【点睛】关键点点睛：第二问，应用点斜式写出直线、的方程，再求、坐标，根据定义求为直径的圆的方程，最后令及在椭圆上求定点.
19、（1）；（2）
【解析】（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可；
（2）根据等比数列求和公式直接求解.
【详解】（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，
因为，
所以
因此；
（2）数列的前n项和
【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
20、（1）或或
（2）为定值，而，，均不为定值
【解析】（1）过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两类分别讨论，一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切；
（2）联立直线的方程与抛物线的方程，根据韦达定理，分别表示出，，，为直线斜率的形式，便可得出结果.
【小问1详解】
过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物线的对称轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：
当直线可能与抛物线的对称轴平行时，则有：
当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相切：
易知：是其中一条直线
另一条直线与抛物线上方相切时，不妨设直线的斜率为，则有：
联立直线与抛物线可得：
可得：
则有：
解得：
故此时的直线的方程为：
综上，直线的方程为：或或
【小问2详解】
若与交于A，B两点，分别设其坐标为，，且
由（1）可知直线要与抛物线有两个交点，则直线的斜率存在且不为，不妨设直线的斜率为，则有：
联立直线与抛物线可得：
可得：
，即有：
根据韦达定理可得：，
则有：，
下面分别说明各项是否为定值：
，故运算结果为定值；
，故运算结果不为定值；
，故运算结果不为定值；
，故运算结果不为定值.
综上，可得：为定值，而，，均不为定值
21、（1）；
（2）；
（3）4.
【解析】(1)根据圆圆心和半径设圆的标准方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径即可求出a；
(2)根据题意写出AB的方程，根据垂径定理即可求出弦长；
(3)根据题意求出AB经过的定点Q，当CQ垂直于AB时，AB最短.
【小问1详解】
由题，设圆C的标准方程为，
则，解得.
故圆C方程为；
【小问2详解】
根据题意可知，直线的方程为，即，
圆心C到直线的距离为，
故弦长；
【小问3详解】
设，则，又直线方程为：，
故直线过定点Q，
设圆心C到直线距离为，则，
故当最大时，最短，而，故与垂直时最大，此时，，
∴线段长度的最小值4.
22、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】(1)利用已知条件证明为常数即可；
(2)求出和通项公式，再求出通项公式，利用裂项相消法可求，判断的单调性即可求其范围.
【小问1详解】
∵＝2，(n≥2，)，
∴当n≥2时，(常数)，
∴数列{＋1}是公比为3的等比数列；
【小问2详解】
由(1)知，数列{＋1}是以3为首项，以3为公比的等比数列，
∴，∴，
∴

∵，∴
∴，
∴
∴.
当n≥2时，
∴{}为递增数列，故的最小值为，
∴.