2025年山西省太原师范学院附属中学师苑中学数学高一上期末质量检测试题含解析.doc

2025年山西省太原师范学院附属中学，师苑中学数学高一上期末质量检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知关于x的不等式解集为，则下列说法错误的是（）
A.
B.不等式的解集为
C.
D.不等式的解集为
2．为参加学校运动会，某班要从甲，乙，丙，丁四位女同学中随机选出两位同学担任护旗手，那么甲同学被选中的概率是（）
A. B.
C. D.
3．已知角的终边经过点，则的值为
A. B.
C. D.
4．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为

A.13.25立方丈 B.26.5立方丈
C.53立方丈 D.106立方丈
5．已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）
A.k≤-8 B.k≥4
C.k≤-8或k≥4 D.-8≤k≤4
6．
A. B.
C.2 D.4
7．在正方体中，为棱的中点，则
A. B.
C. D.
8．若，则
A. B.
C. D.
9．设向量,,,则
A. B.
C. D.
10．已知函数，则的值是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的反函数为___________.
12．___________
13．函数的最小值为______
14．两圆x2+y2+6x-4y+9=0和x2+y2-6x+12y-19=0的位置关系是___________________.
15．已知，函数在上单调递增，则的取值范围是__
16．新高考选课走班“3+1+2”模式指的是：语文、数学、外语三门学科为必考科目，物理、历史两门科目必选一门，化学、生物、思想政治、地理四门科目选两门．已知在一次选课过程中，甲、乙两同学选择科目之间没有影响，在物理和历史两门科目中，甲同学选择历史的概率为，乙同学选择物理的概率为，那么在物理和历史两门科目中甲、乙两同学至少有1人选择物理的概率为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）求值：；
（2）求值：；
（3）已知，求的值
18．已知实数，定义域为的函数是偶函数，其中为自然对数的底数
（Ⅰ）求实数值；
（Ⅱ）判断该函数在上的单调性并用定义证明；
（Ⅲ）是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由
19．已知向量
（1）当时,求的值；（2）若为锐角,求的范围.
20．已知集合，
（1）当时，求，;
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围
21．已知直线：的倾斜角为
（1）求a；
（2）若直线与直线平行，且在y轴上的截距为－2，求直线与直线的交点坐标
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解.
【详解】由已知可得－2，3是方程的两根，
则由根与系数的关系可得且，解得，所以A正确；
对于B，化简为，解得，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，化简为：，解得，D错误
故选：D.
2、C
【解析】求出从甲、乙、丙、丁4位女同学中随机选出2位同学担任护旗手的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率
【详解】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2位担任护旗手，共有种方法，
甲被选中，共有3种方法，
甲被选中的概率是
故选：C
【点睛】本题考查通过组合的应用求基本事件和古典概型求概率，考查学生的计算能力，比较基础
3、C
【解析】因为点在单位圆上，又在角的终边上，所以；
则；故选C.
4、B
【解析】根据题目给出的体积计算方法，将几何体已知数据代入计算，求得几何体体积
【详解】由题，刍童的体积为立方丈
【点睛】本题考查几何体体积的计算，正确利用题目条件，弄清楚问题本质是关键
5、C
【解析】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.
【详解】函数对称轴为，
要使在区间[-2，1]上具有单调性，则
或，∴或
综上所述的范围是：k≤-8或k≥4.
故选：C.
6、D
【解析】因，选D
7、C
【解析】画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论
【详解】画出正方体，如图所示

对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确
对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确
对于选项C，连，则．连，则得，所以平面，从而得，所以．所以C正确
对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确
故选C
【名师点睛】本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题
8、C
【解析】，.选C.
9、A
【解析】，由此可推出
【详解】解：∵，，，
∴，，
，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查平面向量的模，属于基础题
10、D
【解析】根据题意，直接计算即可得答案.
【详解】解：由题知，，.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题设可得，即可得反函数.
【详解】由，可得，
∴反函数为.
故答案为：.
12、
【解析】利用、两角和的正弦展开式进行化简可得答案.
【详解】

故答案为：.
13、
【解析】根据，并结合基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：因为，
所以
，当且仅当时，等号成立
故函数的最小值为.
故答案为：
14、外切
【解析】先把两个圆的方程变为标准方程，分别得到圆心坐标和半径，然后利用两点间的距离公式求出两个圆心之间的距离与半径比较大小来判别得到这两个圆的位置关系
【详解】由x2+y2+6x-4y+9=0得：（x+3）2+（y-2）2=4，圆心O（-3，2），半径为r=2；
由x2+y2-6x+12y-19=0得：（x-3）2+（y+6）2=64，圆心P（3，-6），半径为R=8
则两个圆心的距离 ，所以两圆的位置关系是：外切
即答案为外切
【点睛】本题考查学生会利用两点间的距离公式求两点的距离，会根据两个圆心之间的距离与半径相加相减的大小比较得到圆与圆的位置关系
15、
【解析】本题已知函数的单调区间，求参数的取值范围，难度中等．由，得，又函数在上单调递增，所以，即，注意到，即，所以取，得
考点：函数的图象与性质
【方法点晴】已知函数为单调递增函数，可得变量的取值范围，其必包含区间，从而可得参数的取值范围，本题还需挖掘参数的隐含范围，即函数在上单调递增，可知，因此，综合题
16、
【解析】至少1人选择物理即为1人选择物理或2人都选择物理，由题分别得到甲选择物理的概率与乙选择历史的概率，进而求解即可.
【详解】由题，设“在物理和历史两门科目中甲、乙两同学至少有1人选择物理”事件，则包括有1人选择物理，或2人都选择物理，
因为甲同学选择历史的概率为，则甲同学选择物理的概率为，
因为乙同学选择物理的概率为，则乙同学选择历史的概率为，
故，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）90；（2）0；（3）.
【解析】（1）利用指数幂的运算性质可求代数式的值.
（2）利用对数的运算性质可求代数式的值.
（3）将给定的代数式两边平方后得到，再次平方后则可求的值.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）因为，两边平方得即
所以即
又，
所以
18、（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上递增，证明详见解析；（Ⅲ）不存在.
【解析】（Ⅰ）根据函数是偶函数，得到恒成立，即恒成立，进而得到，即可求出结果；
（Ⅱ）任取，且，根据题意，作差得到，进而可得出函数单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，由函数是偶函数，所以函数在上递减，再由题意，不等式恒成立可化为恒成立，即对任意的恒成立，根据判别式小于0，即可得出结果.
【详解】（Ⅰ）因为定义域为的函数是偶函数，则恒成立，
即，故恒成立，
因为不可能恒为，所以当时， 恒成立，
而，所以
（Ⅱ）该函数在上递增，证明如下
设任意，且，则
，因为，所以，且；
所以，即，即；
故函数在上递增
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，而函数是偶函数，则函数在上递减．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．则恒成立，即，
即对任意的恒成立，
则，得到，故，
所以不存在
【点睛】本主要考查由函数奇偶性求参数，用单调性的定义判断函数单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型.
19、（1）x或x＝﹣2；（2）x＞﹣2且x
【解析】（1）利用向量的数量积为零列出方程求解即可．（2）根据题意得•0且，不同向，
列出不等式，即可求出结果
【详解】（1）2（1+2x，4），2（2﹣x，3），（2）⊥（2），
可得（2x+1）（2﹣x）+3×4＝0
即﹣2x2+3x+14＝0.
解得：x或x＝﹣2
（2）若，为锐角，则•0且，不同向
•x+2＞0，∴x＞﹣2，当x时，，同向
∴x＞﹣2且x
【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角为锐角的充要条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
20、（1），；（2）
【解析】（1）当时，求出集合，然后再求交集合并集.
（2）若是的充分不必要条件,则有M ÜN，可得出答案.
【详解】（1）因为，所以，
所以有，

（2）若是的充分不必要条件，
则有M ÜN，
所以
21、（1）-1；（2）(4,2).
【解析】（1）根据倾斜角和斜率的关系可得，即可得a值.
（2）由直线平行有直线为，联立直线方程求交点坐标即可.
【小问1详解】
因为直线的斜率为，即，故
【小问2详解】
依题意，直线的方程为
将代入，得，故所求交点的(4,2)