安徽省宿州市十三校2025年数学高一上期末学业水平测试试题含解析.doc

安徽省宿州市十三校2025年数学高一上期末学业水平测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．浙江省在先行探索高质量发展建设共同富裕示范区，统计数据表明，2021年前三季度全省生产总值同比增长10.6%，两年平均增长6.4%，倘若以8%的年平均增长率来计算，经过多少年可实现全省生产总值翻一番（，）（）
A.7年 B.8年
C.9年 D.10年
2．若，，则（）
A. B.
C. D.
3．下列说法正确的是（ ）
A.向量与共线，与共线，则与也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C.向量与不共线，则与都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
4．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为
A. B.
C. D.
5．已知等边的边长为2，为内（包括三条边上）一点，则的最大值是
A.2 B.
C.0 D.
6．函数的定义域为（）
A.（－∞，2） B.（－∞，2]
C. D.
7．函数的一部分图像如图所示，则（）

A. B.
C. D.
8．若两个非零向量，满足，则与的夹角为（）
A. B.
C. D.
9．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是
A. B.
C. D.
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的零点个数为_________.
12．已知平面向量，，若，则______
13．在函数的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点
14．已知函数.
（1）若在上单调递减，则实数的取值范围是___________；
（2）若的值域是，则实数的取值范围是___________.
15．已知函数．若关于的方程，有两个不同的实根，则实数的取值范围是____________
16．若，则___________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
问题：已知函数___________，，求的值域.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
（2）若，，，求的取值范围.
18．已知，向量，.
（1）当实数x为何值时，与垂直.
（2）若，求在上的投影.
19．过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，求直线的方程
20．已知函数是偶函数（其中a，b是常数），且它的值域为
（1）求的解析式；
（2）若函数是定义在R上的奇函数，且时，，而函数满足对任意的，有恒成立，求m的取值范围
21．已知奇函数和偶函数满足
（1）求和的解析式；
（2）存在，，使得成立，求实数a的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】由题意，可得，，两边取常用对数，根据参数数据即可求解.
【详解】解：设经过年可实现全省生产总值翻一番，全省生产总值原来为，
由题意可得，即，
两边取常用对数可得，
所以，
因为,所以，
所以经过10年可实现全省生产总值翻一番.
故选：D.
2、A
【解析】由不等式的性质判断A、B、D的正误，应用特殊值法的情况判断C的正误.
【详解】由，则，A正确；，B错误；，D错误.
当时，，C错误；
故选：A.
3、C
【解析】根据共线向量（即平行向量）定义即可求解.
【详解】解：对于A： 可能是零向量，故选项A错误；
对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；
对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；
对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误
故选：C.
4、D
【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D.
考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.
5、A
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，则，设点P的坐标为，
则
故
令，则t表示内（包括三条边上）上的一点与点间的距离的平方．结合图形可得当点与点B或C重合时t可取得最大值，且最大值为，故的最大值为．选A
点睛：
通过建立坐标系，将问题转化为向量的坐标运算可使得本题的解答代数化，在得到向量数量积的表达式后，根据表达式的特征再利用数形结合的思路求解是解题的关键，借助图形的直观性可容易得到答案
6、D
【解析】利用根式、分式的性质列不等式组求定义域即可.
【详解】由题设，，可得，
所以函数定义域为.
故选：D
7、D
【解析】由图可知,,排除选项,由,排除选项,故选.
8、C
【解析】根据数量积的运算律得到，即可得解；
【详解】解：因为，
所以，即，
即，所以，即与的夹角为；
故选：C
9、A
【解析】汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A
考点：函数图像的特征
10、A
【解析】由三视图可知几何体是一个底面为梯形的棱柱,再求几何体的表面积得解.
【详解】由三视图可知几何体是一个底面为直角梯形的棱柱,梯形的上底为1，下底为2，高为2，棱柱的高为2.由题可计算得梯形的另外一个腰长为.
所以该几何体的表面积=.
故答案为A
【点睛】本题主要考查三视图找原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.
【详解】作出函数图象，如下，

由图象可知，函数有3个零点（3个零点分别为，0，2）.
故答案为：3
12、
【解析】求出，根据，即，进行数量积的坐标运算，列出方程，即可求解
【详解】由题意知，平面向量，，则；
因为，所以，解得
故答案为
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用，其中解答中根据平面向量垂直的条件，得到关于的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
13、3
【解析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得.
【详解】因为，
所以函数在R上单调递减，
又，，，
，且当时，，
当时，令，
则，
综上，函数的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点
故答案为：3.
14、 ①. ②.
【解析】（1）分析可知内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，由此可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）分析可知为二次函数值域的子集，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）令，.
当时，，该函数为常值函数，不合乎题意.
所以，，内层函数的对称轴为直线，
由于函数在上单调递减，且外层函数为增函数，
故内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，
所以，，解得；
（2）因为函数的值域是，则为二次函数值域的子集.
当时，内层函数为，不合乎题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：（1）；（2）.
15、
【解析】作出函数的图象，如图所示，

当时，单调递减，且，当时，单调递增，且，所以函数的图象与直线有两个交点时，有
16、
【解析】只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求出．再利用二倍角的正切公式，即可求得结论
【详解】解：
，
即，

故答案为：
【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）根据复合函数的性质即可得到的值域；
（2）令，求出其最小值，则问题转化为恒成立，进而求最小值即可.
【小问1详解】
选择①，，
令，则，故函数的值域为R，即的值域为R.
选择②，，令，则，
因为函数单调递增，所以，即的值域为.
【小问2详解】
令.
当时，，，；
当时，，，.
因为，所以的最小值为0，
所以，即.
令，则，所以，
故，即的取值范围为.
18、（1）3；（2）.
【解析】（1）令，列方程解出x.
（2）运用向量的数量积的定义可得，再由在上的投影为，计算即可得到所求值.
【详解】（1）∵，向量，.
∵与垂直，
∴，可得，
∴解得，或（舍去）.
（2）若，则，，可得，
可得在上的投影为.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，向量在另一个向量方向上的投影的求解，属于简单题目.
19、
【解析】先设出线段的中点为,再根据已知求出的值，即得点M的坐标，再写出直线l的方程.
【详解】设线段的中点为,因为点到与的距离相等,
故
,则点
直线方程为,即.
【点睛】(1)本题主要考查直线方程的求法，考查直线的位置关系和点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点到直线的距离.
20、（1）
（2）
【解析】（1）由偶函数的定义结合题意可求出，再由函数的值域为可求出，从而可求出函数解析式，
（2）由题意求出的解析式，判断出当时，，从而将问题转化为满足对任意的恒成立，设，则对恒成立，然后利用二次函数的性质求解
【小问1详解】
由题
∵是偶函数，∴，∴
∴或，
又∵的值域为，∴，
∴，∴或，
∴；
【小问2详解】
若函数是定义在R上的奇函数，且时，，
由（1）知，∴时，；
时，；当时，，
显然时，，若，则
又满足对任意的，有恒成立，
∴对任意的恒成立，
即满足对任意的恒成立，
即，设，
则对恒成立，
设，
∵函数的图像开口向上，
∴只需，
∴，
∴所求m的取值范围是.
21、（1），
（2）
【解析】（1）利用奇偶性得到方程组，求解和的解析式；（2）在第一问的基础上，问题转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数单调性求解出的最值，进而求出实数a的取值范围.
【小问1详解】
因为奇函数和偶函数满足①，所以②；联立①②得：，；
【小问2详解】
变形为，因为，所以，所以，
当时，在上有解，符合要求；
令，由对勾函数可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，，要想上有解，只需，解得：，所以；
若且，在上单调递增，要想上有解，只需，解得：，所以；综上：实数a的取值范围为