2026届山东省临沂市沂水县高一上数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2026届山东省临沂市沂水县高一上数学期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，，则等于（）
A. B.
C. D.
2．设，，，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
3．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围
A. B.
C. D.
4．一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为

A. B.
C. D.
5．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，那么的值是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知，，都是实数，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．若，则下列不等式成立的是(　　　　).
A. B.
C. D.
8．如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（）

A B.
C. D.
9．下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（）
A. B.
C. D.
10．已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，均为锐角，，，则的值为______
12．已知且，则的最小值为______________
13．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数.例如：，.已知函数，若，则________；不等式的解集为________.
14．设函数则的值为________
15．已知函数，，其中表示不超过x的最大整数．例如：，，．①______；②若对任意都成立，则实数m的取值范围是______
16．设函数是定义在上的奇函数，且，则___________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入（单位：万元）满足，.设甲合作社的投入为（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）.
（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；
（2）如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大，最大总收益为多少万元？
18．已知函数，（，且）
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明
19．如图，在三棱锥中，.

（1）画出二面角的平面角，并求它的度数；
（2）求三棱锥的体积.
20．已知函数为偶函数，当时，，（a为常数).
（1）当x<0时，求的解析式：
(2)设函数在[0，5]上的最大值为,求的表达式；
(3)对于（2)中的，试求满足的所有实数成的取值集合.
21．如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，，点为的中点

（）求证：平面
（）求证：平面平面
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据三角函数的诱导公式即可化简求值.
【详解】∵，，
，，，
.
故选：D.
2、C
【解析】根据对数函数和幂函数单调性可比较出大小关系.
【详解】，；
，，，即，又，.
故选：C.
3、D
【解析】画出函数的图象如下图所示．由题意知，当时，；当时，

设，则原方程化为，
∵方程有8个相异实根，
∴关于的方程在上有两个不等实根
令，
则，解得
∴实数的取值范围为．选D
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识
4、D
【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，三棱锥的顶点在底面内的射影在底面棱上，则原几何体如图所示，从而侧视图为D．故选D

5、A
【解析】
根据三角函数的定义计算可得结果.
【详解】因为，，所以，
所以.
故选：A
6、B
【解析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.
【详解】当时，若时不成立；
当时，则必有成立，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
7、B
【解析】∵a＞b＞c，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴
故选B
8、D
【解析】根据相等向量的定义直接判断即可.
【详解】与方向不同，与均不相等；
与方向相同，长度相等，.
故选：D.
9、B
【解析】先由函数定义域，排除A；再由函数奇偶性排除D，最后根据函数单调性，即可得出B正确，C错误.
【详解】A选项，的定义域为，故A不满足题意；
D选项，余弦函数偶函数，故D不满足题意；
B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；
C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型.
10、B
【解析】不妨设，的图像如图所示，
则，，
其中，
故，也就是，
则，
因，故.
故选：B.

【点睛】函数有四个不同零点可以转化为的图像与动直线有四个不同的交点，注意函数的图像有局部对称性，而且还是倒数关系.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】直接利用两角的和的正切关系式，即可求出结果
【详解】已知，均锐角，，，则，
所以：，
故
故答案为
【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，以及两角和的正切关系式的应用，其中解答中熟记两角和的正切的公式，准确运算是解答的关键，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型
12、9
【解析】因为且，所以
取得等号，故函数的最小值为9.，答案为9.
13、 ①. ②.
【解析】第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可.
【详解】由题意，得，
当时，，即；
当时，，即(舍)，
综上；
当时，，即，
当时，，即，
综上，.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.
14、
【解析】直接利用分段函数解析式，先求出的值，从而可得的值.
【详解】因为函数，
所以，
则，故答案为.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
15、 ①. ②.
【解析】①代入，由函数的定义计算可得答案；
②分别计算时，时，时，时，时，时，时，的值，建立不等式，求解即可
【详解】解：①∵，
∴
②当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，
又对任意都成立，即恒成立，
∴，∴，∴实数m的取值范围是
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于理解函数的定义，分段求值，建立不等式求解.
16、
【解析】先由已知条件求出的函数关系式，也就是当时的函数关系式，再求得，然后求的值即可
【详解】解：当时，，
∴，
∵函数是定义在上的奇函数，
∴，
∴，即
由题意得，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了分段函数求值，考查了奇函数的性质，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)88.5万元 (2) 该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元.
【解析】（1）先确定甲乙合作社投入量，再分别代入对应收益函数，最后求和得结果，
（2）先根据甲收益函数，分类讨论，再根据对应函数单调性确定最值取法，最后比较大小确定最大值
【详解】解：（1）当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，此时两个个合作社的总收益为：
（万元）
（2）甲合作社的投入为万元，则乙合作社的投入为万元，
当时，则，.
令，得，
则总收益为，
显然当时，函数取得最大值，
即此时甲投入16万元，乙投入56万元时，总收益最大，最大收益为89万元、
当时，则，
则，
则在上单调递减，
.即此时甲、乙总收益小于87万元.
又，∴该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元.
【点睛】本题考查利用分段函数模型求函数最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
18、（1）
（2）函数为定义域上的偶函数，证明见解析
【解析】（1）由题意可得，解不等式即可求出结果；
（2）令，证得，根据偶函数的定义即可得出结论.
【小问1详解】
由，
则有，得．则函数的定义域为
【小问2详解】
函数为定义域上的偶函数
令，
则，
又

则，有成立
则函数为在定义域上的偶函数
19、⑴⑵.
【解析】(1) 取中点，连接、,是二面角的平面角,进而求出此角度数即可；(2)利用等积法或割补法求体积.
试题解析：
⑴取中点，连接、，
，， ，
且平面，平面，
是二面角平面角.
在直角三角形中，

在直角三角形中，

是等边三角形，

⑵解法1：
，
又平面，
平面平面，且平面平面
在平面内作于，则平面，
即是三棱锥的高.
在等边中，， 三棱锥的体积
.
解法2： 平面
在等边中，的面积，
三棱锥的体积
.
20、 (1) f(x)＝x2－2ax＋1；（2） ;(3){m| 或 }
【解析】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x2－2ax＋1,再根据函数的奇偶性化简即得函数的解析式.(2)对a分两种情况讨论，利用二次函数的图像和性质即得的表达式.(3)由题得 或，解不等式组即得解.
【详解】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x2－2ax＋1.
又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝x2－2ax＋1.
（2）当xÎ[0，5]，f(x)＝x2＋2ax＋1，对称轴x＝－a，
①当－a≥ ，即a≤－时，g(a)＝f(0)＝1；
②当－a＜，即a＞－时，g(a)＝f(5)＝10a＋26
综合以上 .
（3）由（2）知，
当a≤－时，g(a)为常函数，当a＞－时，g(a)为一次函数且为增函数
因为g(8m)＝g( )，所以有 或，解得或，
即m的取值集合为{m|或}
【点睛】本题主要考查奇偶函数的解析式的求法,考查函数的最值的求法,考查函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
21、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)连接交于，连接．利用几何关系可证得，结合线面平行的判断定理则有直线平面
(2)利用线面垂直的定义有，结合可证得平面，则，由几何关系有，则平面，利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面
试题解析：
（）连接交于，连接

因为矩形的对角线互相平分，
所以在矩形中，
是中点，
所以在中，
是中位线，
所以，
因为平面，平面，所以平面
（）因为平面，平面，
所以；
在矩形中有，
又，
所以平面，
因为平面，
所以；
由已知，三角形是等腰直角三角形，是斜边的中点，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面