优胜教育2026届数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

优胜教育2026届数学高一上期末学业质量监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列等式中，正确的是（）
A. B.
C. D.
2．已知定义在R上的函数满足：对任意，则
A. B.0
C.1 D.3
3．设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A. B.
C. D.
5．方程的解所在区间是（ ）
A. B.
C. D.
6．函数y＝的定义域是（）
A. B.
C. D.
7．集合A=，B=，则集合AB=（ ）
A. B.
C. D.
8．若幂函数的图象过点，则的值为（）
A.2 B.
C. D.4
9．下列函数中最小正周期为的是
A. B.
C. D.
10．全称量词命题“，”的否定为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知集合， ，则集合中子集个数是____
12．设，，则的取值范围是______.
13．设函数.则函数的值域为___________；若方程在区间上的四个根分别为，，，，则___________.
14．不等式的解集为__________.
15．已知函数，满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是________
16．若不等式的解集为，则______，______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，正方形边长为分别是边上的动点.

（1）当时，设，将的面积用表示，并求出面积的最大值；
（2）当周长为4时，设，.用表示，由此研究的大小是否为定值，并说明理由.
18．已知函数满足：.
（1）证明：；
（2）对满足已知的任意值，都有成立，求m的最小值.
19．已知函数在一个周期内的图象如图所示.

（1）求函数的最小正周期T及的解析式；
（2）求函数的对称轴方程及单调递增区间；
（3）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若在上有两个解，求a的取值范围.
20．已知函数
（1）判断并说明函数的奇偶性；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围
21．已知集合为非空数集，定义，.
（1）若集合，直接写出集合及；
（2）若集合，，且，求证；
（3）若集，且，求集合中元素的个数的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】按照指数对数的运算性质依次判断4个选项即可.
【详解】对于A，当为奇数时，，当为偶数时，，错误；
对于B，，错误；
对于C，，错误；
对于D，，正确.
故选：D.
2、B
【解析】，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.
考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.
【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.
3、A
【解析】函数在上是减函数，根据指数函数的单调性得出；函数在上是增函数，得出且，从而可得出答案.
【详解】函数在上是减函数，则；
函数在上是增函数，则，而且，解得：且，
故“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分不必要条件.
故选：A.
4、A
【解析】利用三角函数的定义得出和的值，由此可计算出的值.
【详解】由三角函数的定义得，，因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.
5、C
【解析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案.
【详解】∵,
∴,,，,∴,
∵函数的图象是连续的,
∴函数的零点所在的区间是.
故选C
【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力.
6、A
【解析】根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式，由此求得函数的定义域.
【详解】依题意，
所以的定义域为.
故选：A
7、B
【解析】直接根据并集的运算可得结果.
【详解】由并集的运算可得.
故选：B.
8、C
【解析】设，利用的图象过点，求出的解析式，将代入即可求解.
【详解】设，
因为的图象过点，
所以，解得：，
所以，
所以，
故选：C.
9、A
【解析】利用周期公式对四个选项中周期进行求解
【详解】A项中Tπ，
B项中T，
C项中T，
D项中T，
故选A
【点睛】本题主要考查了三角函数周期公式的应用．对于带绝对值的函数解析式，可结合函数的图象来判断函数的周期
10、C
【解析】
由命题的否定的概念判断．否定结论，存在量词与全称量词互换．
【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“”的否定是“”
故选：C.
【点睛】本题考查命题的否定，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4
【解析】根据题意，分析可得集合的元素为圆上所有的点，的元素为直线上所有的点，则中元素为直线与圆的交点，由直线与圆的位置关系分析可得直线与圆的交点个数，即可得答案
【详解】由题意知中的元素为圆与直线交点，因为圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离
∴直线与圆相交
∴集合有两个元素，故集合中子集个数为4
故答案为4
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及集合交集的意义，解答本题的关键是判定直线与圆的位置关系，以及运用集合的结论：一个含有个元素的集合的子集的个数为个.
12、
【解析】由已知求得，然后应用诱导公式把求值式化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质求得范围
【详解】，，所以，
所以
，
，，，
故答案为：
13、 ①. ②.
【解析】根据二倍角公式，化简可得，分别讨论位于第一、二、三、四象限，结合辅助角公式，可得的解析式，根据的范围，即可得值域；作出图象与，结合图象的对称性，可得答案.
【详解】由题意得

当时，即时，
，
又，
所以；
当时，即时，
，
又，
所以；
当时，即时，
，
又，
所以；
当时，即时，
，
又，
所以；
综上：函数的值域为.
因为，所以，
所以，
作出图象与图象，如下如所示

由图象可得，
所以
故答案为：；
14、
【解析】 由不等式，即，所以不等式的解集为.
15、
【解析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解
【详解】由已知可得函数在R上为单调递增函数，
则需满足，解得，
所以实数a的取值范围为，
故答案为：
16、 ①. ②.
【解析】由题设知：是的根，应用根与系数关系即可求参数值.
【详解】由题设，是的根，
∴，即，.
故答案为：，.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2），为定值，理由见解析
【解析】（1）由题意可知，进而可得，由此即可求出结果；
（2）由题意可知，再根据的周长，化简整理可得，再根据两角和的正切公式即可求出结果.
【小问1详解】
解：设，则，
，
当时，.
【小问2详解】
解：由，
知，
由周长为4，可知，
，
，

而均为锐角，故，
为定值.
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由二次不等式恒成立，可得判别式小于等于0，化简即可得证；
（2）由（1）可得，分别讨论或，运用参数分离和函数的单调性，可求得所求的最小值.
【详解】（1）证明：.即恒成立.则，化简得；
（2）由（1）得，
当时，，
令，则，令在上单调递增，所以，所以；
当时，，所以，此时或0，，从而有，
综上可得，m的最小值为.
【点睛】方法点睛：本题考查不等式的证明，以及不等式恒成立问题，常运用参变分离的方法，运用函数的单调性，最值的方法得以解决.
19、（1），；
（2）对称轴为：，增区间为：；
（3）.
【解析】（1）根据题意求出A，函数的周期，进而求出，再代入特殊点的坐标求得解析式；
（2）结合函数的图象即可求出函数的对称轴，然后结合正弦函数的单调性求出的增区间；
（3）根据题意先求出的解析式，进而作出函数的图象，然后通过数形结合求得答案.
【小问1详解】
由题意A=1，，则，所以，又因为图象过点，所以，而，则，于是.
【小问2详解】
结合图象可知，函数的对称轴为：，
令，即函数增区间为：.
【小问3详解】
的图象向右平移个单位长度得到：，于是，如图所示：

因为在上有两个解，所以.
20、（1）为奇函数（2）
【解析】（1）利用函数的奇偶性判断即可；
（2）由（1）知为奇函数且单调递增，将不等式恒成立分离参数，利用基本不等式解得即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
所以为奇函数.
（2）由（1）知奇函数且定义域为，易证在上单调递增，
所以不等式恒成立，转化，
即对恒成立，
所以对恒成立，
即，
因，则，
所以，即，
所以，
故实数的取值范围为.
【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，以及利用奇偶性，单调性解不等式恒成立问题，属于中档题.
21、（1），；（2）证明见解析；（3）1347.
【解析】（1）根据题目定义，直接得到集合A+及A﹣；
（2）根据两集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的关系；
（3）通过假设A集合{m，m+1，m+2，…，4040}，m≤2020，m∈N，求出相应的A+及A﹣，通过A+∩A﹣＝∅建立不等关系求出相应的值
【详解】（1）根据题意，由，则，；
（2）由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，即，
剩下的，所以；
（3）设满足题意，其中，
则，
∴，，
∴，
∵，由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，
∴，
∴，
∴，
实际上当时满足题意，证明如下：
设，
则，，
依题意有，即，
故的最小值为674，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.
【点睛】关键点点睛：第三问集合中元素的个数最多时，应满足中的最大值小于中的最小值，另外容斥原理的应用也是解题的关键.