内蒙古开鲁县蒙古族中学2025-2026学年高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

内蒙古开鲁县蒙古族中学2025-2026学年高一数学第一学期期末教学质量检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．将函数的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是（ ）
A. B.
C. D.
2．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（）
A. B.
C. D.
3．若，则
A. B.
C. D.
4．已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则（）
A.a的取值范围是(0,) B.的取值范围是(0,1)
C. D.
5．若函数的定义域为R，则下列函数必为奇函数的是（）
A. B.
C. D.
6．已知定义在R上的函数满足，且当]时，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
7．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．如图，其所对应的函数可能是（ ）

A B.
C. D.
9．已知，，则的值为（）
A. B.
C. D.
10．函数在上的部分图象如图所示，则的值为

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，若，则实数的取值范围是_______.
12．已知函数图像关于对称，当时，恒成立，则满足的取值范围是_____________
13．角的终边经过点，则的值为______
14．已知函数，那么_________.
15．若则______
16．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．指数函数（且）和对数函数（且）互为反函数，已知函数，其反函数为
（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数使得对任意，关于的方程在区间上总有三个不等根，，？若存在，求出实数及的取值范围；若不存在，请说明理由
18．计算：
（1）；
（2）若，求的值
19．已知函数（且）.
（1）判断的奇偶性，并予以证明；
（2）求使得成立的的取值范围.
20．设函数，
（1）根据定义证明在区间上单调递增；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）解关于x的不等式.
21．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点.
（1）求的值；
（2）若第一象限角满足，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】直接利用函数图象的与平移变换求出函数图象对应解析式
【详解】解：将函数y＝5sin（﹣3x）的周期扩大为原来的2倍，
得到函数y＝5sin（x），再将函数图象左移，
得到函数y＝5sin[（x）]＝5sin（）＝5sin（）
故选D
【点睛】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基础题.
2、D
【解析】取，利用不等式性质可判断ABC选项；利用不等式的性质可判断D选项.
【详解】若，则，所以，，，ABC均错；
因为，则，因为，则，即.
故选：D.
3、C
【解析】，.选C.
4、D
【解析】将问题转化为与有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.
【详解】有四个不同的零点、、、，即有四个不同的解
的图象如下图示，

由图知：，
所以，即的取值范围是(0,＋∞)
由二次函数的对称性得：，
因为，即，故
故选：D
【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.
第II卷
5、C
【解析】根据奇偶性的定义判断可得答案.
【详解】，由得是偶函数，故A错误；
，由得是偶函数，故B错误；
，由得是奇函数，故C正确；
，由得是偶函数，故D错误；
故选：C.
6、A
【解析】由，可得的周期为，利用周期性和单调性化简计算即可得出结果.
【详解】因为，所以的周期为
当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减
因为，且
所以
故
故选：A.
7、D
【解析】由题可得函数关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，进而可得，即得.
【详解】∵函数，定义域为，
又，
所以函数关于对称，
当时，单调递增，故函数单调递增，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
由可得，，
解得，且.
故选：D.
8、B
【解析】代入特殊点的坐标即可判断答案.
【详解】设函数为，由图可知，，排除C,D，又，排除A.
故选：B.
9、C
【解析】分析可知，由可求得的值.
【详解】因为，则，
因为，所以，，
因此，.
故选：C.
10、C
【解析】由图象最值和周期可求得和，代入可求得，从而得到函数解析式，代入可求得结果.
【详解】由图象可得：，
代入可得：

本题正确选项：
【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够根据正弦函数的图象求解出函数的解析式.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】根据给定条件利用偶函数的定义即可求出时解析式；再借助函数在单调性即可求解作答.
【详解】因函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则当时，，，
所以当时，；
依题意，在上单调递增，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；
12、
【解析】由函数图像关于对称，可得函数是偶函数，由当时，恒成立，可得函数在上为增函数，从而将转化为，进而可求出取值范围
【详解】因为函数图像关于对称，
所以函数是偶函数，
所以可转化为
因为当时，恒成立，
所以函数在上为增函数，
所以，解得，
所以取值范围为，
故答案为：
13、
【解析】以三角函数定义分别求得的值即可解决.
【详解】由角的终边经过点，可知
则，，
所以
故答案为：
14、3
【解析】首先根据分段函数求的值，再求的值.
【详解】，所以.
故答案为：3
15、
【解析】
16、
【解析】若任意，存在，使得成立，
只需，
∵，在该区间单调递增，即，
又∵，在该区间单调递减，即，
则，，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）存在，，.
【解析】（1）利用复合函数的单调性及函数的定义域可得，即得；
（2）由题可得，令，则可得时，方程有两个不等的实数根，当时方程有且仅有一个根在区间内或1，进而可得对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，再利用二次函数的性质可得，即得.
【小问1详解】
∵函数，其反函数为，
∴，
∴，又函数在区间上单调递减，
又∵在定义域上单调递增，
∴函数在区间上单调递减，
∴，解得；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，，
令，则时，方程有两个不等的实数根，不妨设为，
则，即，
∴，即方程有两个不等的实数根，且两根积为1，
当时方程有且仅有一个根在区间内或1，
由，可得，
令，则原题目等价于对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，
则必有，
∴，解得，
此时，则其根在区间内，
所以，
综上，存在，使得对任意，关于的方程在区间上总有三个不等根，，，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是把问题转化为对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，进而利用二次函数性质可求.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据分数指数幂、对数的运算法则及换底公式计算可得；
（2）根据换底公式的性质得到，再根据指数对数恒等式得到，即可得解；
【小问1详解】
解：

【小问2详解】
解：，，
，
19、（1）见解析；（2）见解析
【解析】【试题分析】（I）先求得函数的定义域，然后利用奇偶性的定义判断出函数为奇函数.（2）化简原不等式，并按两种情况来解不等式，由此求得的取值范围.
【试题解析】(Ⅰ)由得定义域为
是奇函数
(Ⅱ)由得
①当时，，解得
②当时，，解得
当时的取值范围是；当时的取值范围是
【点睛】本题主要考查函数的性质，考查函数的定义域和奇偶性，考查不等式的求解方法，考查分类讨论的数学思想.要判断一个函数的奇偶性，首先要求函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数.含有参数不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.
20、（1）证明见解析
（2）奇函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）根据函数单调性的定义，准确运算，即可求解；
（2）根据函数奇偶性的定义，准确化简，即可求解；
（3）根据函数的奇偶性和单调性，把不等式转化为，得到，即可求解
【小问1详解】
证明：，且，
则，
因为，，，所以，
即，所以在上单调递增
【小问2详解】
证明：由，即，解得，即的定义域为，
对于任意，函数，
则，
即，所以是奇函数.
【小问3详解】
解：由（1）知，函数在上单调递增，
又因为x是增函数，所以是上的增函数，
由，可得，
由，可得，
因为奇函数，所以，
所以原不等式可化为，则，解得，
所以原不等式的解集为
21、（1）
（2）
【解析】（1）可使用已知条件，表示出，然后利用诱导公式、和差公式和二倍角公式对要求解的式子进行化简，带入即可求解；
（2）可根据和的值，结合和的范围，判定出的范围，然后计算出的值，将要求的借助使用和差公式展开即可求解.
【小问1详解】
角的终边经过点，所以.
所以.
【小问2详解】
由条件可知为第一象限角.又为第一象限角，，所以为第二象限角，
由得，
由，
得

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