甘肃省嘉峪关市一中2026届数学高一第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

甘肃省嘉峪关市一中2026届数学高一第一学期期末学业水平测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数对于定义域内任意，下述四个结论中，
①
②
③
④
其中正确的个数是（）
A.4 B.3
C.2 D.1
2．已知命题p：“”，则为（）
A. B.
C. D.
3．设，，则下面关系中正确的是（）
A B.
C. D.
4．已知函数的最大值与最小值的差为2，则（）
A.4 B.3
C.2 D.
5．已知函数f(x)= 若f（f（0））=4a，则实数a等于
A. B.
C.2 D.9
6．函数定义域为（ ）
A. B.
C. D.
7．圆与圆的位置关系是（ ）
A.外切 B.内切
C.相交 D.外离
8．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（ ）
A B.
C. D.
9．设函数的部分图象如图，则　　

A.
B.
C.
D.
10．已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于　　
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则______.
12．定义域为的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为________
13．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者，参与北京冬奥会高山滑雪比赛项目的服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人.

14．已知直线，互相平行，则__________.
15．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.
16．已知直线与圆相切，则的值为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．现有银川二中高一年级某班甲、乙两名学生自进入高中以来的历次数学成绩（单位：分），具体考试成绩如下：
甲：、、、、、、、、、、、、；
乙：、、、、、、、、、、、、
（1）请你画出两人数学成绩的茎叶图；
（2）根据茎叶图，运用统计知识对两人的成绩进行比较.（最少写出两条统计结论）
18．已知向量m＝(cos，sin )，n＝(2＋sinx，2－cos)，函数＝m·n，x∈R.
(1) 求函数的最大值；
(2) 若且 ＝1，求的值.
19．已知函数，.
（1）利用定义证明函数单调递增；
（2）求函数的最大值和最小值.
20．如图，四面体中，平面，，，，.
（Ⅰ）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？
（Ⅱ）证明：在线段上存在点，使得，并求的值

21．提高过江大桥的车辆通行的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下大桥上的车流速度(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,就会造成堵塞,此时车流速度为0:当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当时,车流速度是车流密度的一次函数
(1)当时,求函数的表达式:
(2)如果车流量(单位时间内通过桥上某或利点的车辆数) (单位:辆/小时)那么当车流密度为多大时,车流量可以达到最大,并求出最大值,(精确到1辆/小时)
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】利用指数的运算性质及指数函数的单调性依次判读4个序号即可.
【详解】，①正确；
，
，②错误；
，由，且得
，
故，③正确；
由为减函数，可得，④正确.
故选：B.
2、C
【解析】根据命题的否定的定义判断
【详解】特称命题的否定是全称命题
命题p：“”，的否定为：
故选：C
3、D
【解析】根据元素与集合关系，集合与集合的关系判断即可得解.
【详解】解：因为，，
所以，.
故选：D.
4、C
【解析】根据解析式可得其单调性，根据x的范围，可求得的最大值和最小值，根据题意，列出方程，即可求得a值.
【详解】由题意得在上为单调递增函数，
所以，，
所以，解得，
又，所以.
故选：C
5、C
【解析】 ，选C.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
6、C
【解析】由二次根式的被开方数非负和对数的真数大于零求解即可
【详解】由题意得，解得，
所以函数的定义域为，
故选：C
7、C
【解析】圆心为和，半径为和，圆心距离为，由于，故两圆相交.
8、A
【解析】根据任意角的三角函数定义即可求解.
【详解】解：由题意知：角的终边经过点，
故.
故选：A.
9、A
【解析】根据函数的图象，求出A，和的值，得到函数的解析式，即可得到结论
【详解】由图象知，，则，所以，
即，
由五点对应法，得，即，
即，
故选A
【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中根据条件求出A，和的值是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
10、A
【解析】根据题意画出图形，结合图形求出半径r，再计算弧长
【详解】如图所示，

，，过点O作，C垂足，
延长OC交于D，则，；
中，，
从而弧长为，故选A
【点睛】本题考查了弧长公式的应用问题，求出扇形的半径是解题的关键，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据指对互化，指数幂的运算性质，以及指数函数的单调性即可解出
【详解】由得，即，解得
故答案为：
12、
【解析】由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象如下，

结合图象，
设函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点分别为
x1，x2，x3，x4，x5，
则x1+x2=﹣6，x4+x5=6，
﹣log0.5（﹣x3+1）=a，
x3=1﹣2a，
故x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+6+1﹣2a=1﹣2a，
∵关于x的方程f（x）﹣a=0（0＜a＜1）所有根之和为1﹣，
∴a=
故答案为.
点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：
(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；
(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题
研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用
13、10
【解析】根据分层抽样原理求出抽取的人数
【详解】解：根据分层抽样原理知，，
所以在大一青年志愿者中应选派10人
故答案为：10
14、
【解析】由两直线平行的充要条件可得：，
即：，解得：，
当时，直线为：，直线为：，两直线重合，不合题意，
当时，直线为：，直线为：，两直线不重合，
综上可得：.
15、##
【解析】由题意，根据必要不充分条件可得⫋，从而建立不等关系即可求解.
【详解】解：不等式的解集为，不等式的解集为，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以⫋，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：.
16、2
【解析】直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程即可求解的值
【详解】依题意得，直线与圆相切
所以，即，
解得：，又，
故答案为：2

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）图见解析
（2）答案见解析
【解析】（1）直接按照茎叶图定义画出即可；
（2）通过中位数、平均数、方差依次比较.
【小问1详解】
甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：
【小问2详解】
①从整体分析：乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是；
②平均分的角度分析：甲同学的平均分为，
乙同学的平均分为，乙同学的平均成绩比甲同学高；
③方差（稳定性）的角度：乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好.
18、 (1) f(x)的最大值是4 (2) －
【解析】（1）先由向量的数量积坐标表示得到函数的三角函数解析式，再将其化简得到f（x）=4sin (x∈R)，最大值易得；
（2）若 且＝1，，解三角方程求出符合条件的x的三角函数值，再有余弦的和角公式求的值
【详解】(1)因为f(x)＝m·n＝cosx(2＋sinx)＋sinx·(2－cosx)
＝2 (sinx＋cosx)＝4sin (x∈R)，
所以f(x)的最大值是4.
(2)因为f(x)＝1，所以sin＝.
又因为x∈，即x＋∈.
所以cos＝－
cos＝cos.
＝coscos－sinsin
＝－×－×＝－.
【点睛】本题考查平面向量的综合题
19、（1）证明见详解；（2）最大值；最小值.
【解析】（1）任取、且，求，因式分解，然后判断的符号，进而可得出函数的单调性；
（2）利用（1）中的结论可求得函数的最大值和最小值.
【详解】（1）任取、且，
因为，
所以，
，
，，，
，
即，
因此，函数在区间上为增函数；
（2）由（1）知，当时，函数取得最小值；
当时，函数取得最大值.
【点睛】关键点睛：求函数的最值利用函数的单调性是解决本题的关键.
20、 (Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.
【解析】（1）易得，,,均为直角三角形，且的面积最大，进而求解即可；
（2）在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM，可证得AC⊥平面MBN，从而使得AC⊥BM，利用相似和平行求解即可.
试题解析：
（1）由题设AB＝1，AC＝2，BC＝，
可得,所以,
由PA⊥平面ABC，BC、AB⊂平面ABC,所以，,
所以,
又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB,
PB⊂平面PAB,所以,
所以，,,均为直角三角形，且的面积最大，
.

（2）证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.
由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC
由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.
又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.
因为与相似，，
从而NC＝AC－AN＝.
由MN∥PA，得＝＝.
21、（1）；（2）当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333/小时..
【解析】详解】试题分析：
本题考查函数模型在实际中的应用以及分段函数最值的求法．（1）根据题意用分段函数并结合待定系数法求出函数的关系式．（2）首先由题意得到的解析式，再根据分段函数最值的求得求得最值即可
试题解析：
(1)由题意:当时,;
当时,设
由已知得 解得
∴
综上可得
(2)依题意并由（1）可得
①当时，为增函数，
∴当时，取得最大值，且最大值为1200
②当时，，
∴当时，取得最大值，且最大值为.
所以的最大值为
故当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，且最大值为3333辆/小时.