2025年江苏省泰州市姜堰区“八校联盟”数学高一第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025年江苏省泰州市姜堰区“八校联盟”数学高一第一学期期末达标检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，方程在有两个解，记，则下列说法正确的是（）
A.函数的值域是
B.若，的增区间为和
C.若，则
D.函数的最大值为
2．已知是R上的奇函数，且对，有，当时，，则（ ）
A.40 B.
C. D.
3．若，则下列不等式中成立的是（）
A. B.
C. D.
4．函数的最小正周期是（　　）
A.1 B.2
C. D.
5． “”是“函数在内单调递增”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要
6．已知函数那么“a=0”是“函数是增函数”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
8．已知函数的定义域为，集合，若中的最小元素为2，则实数的取值范围是：
A. B.
C. D.
9．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，那么的值是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知，，，则，，的大小关系为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在空间直角坐标系中，设，，且中点为，是坐标原点，则__________
12．某挂钟秒针的端点A到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点重合，A与两点距离地面的高度差与存在函数关系式，则解析式___________，其中，一圈内A与两点距离地面的高度差不低于的时长为___________.

13．已知，α为锐角，则___________.
14．函数的单调减区间为__________
15．写出一个最小正周期为2的奇函数________
16．已知向量不共线，，若，则___
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：
18．如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．

（1）求证：BD⊥平面ECD；
（2）求D点到面CEB的距离．
19．已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动.
（1）求线段中点的轨迹的方程；
（2）若一光线从点射出，经轴反射后，与轨迹相切，求反射光线所在的直线方程.
20．为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：

（1）求出图中a的值；
（2）求该班学生这个周末的学习时间不少于20小时的人数；
（3）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由
21．已知集合，或
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】利用函数的单调性判断AB选项；解方程求出从而判断C选项；举反例判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，，为偶函数，
当时，，任取，且，
，
若，则；若，则，
即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
图像如图示：

结合偶函数的性质可知，的值域是，故A选项错误；
对于B选项，，当时，，，则为偶函数，
当时，，易知函数在区间上单调递减，
当时，，易知函数在区间上单调递增，
图像如图示：

根据偶函数的性质可知，函数的增区间为和，故B选项正确；
对于C选项，若，图像如图示：

若，则，与方程在有两个解矛盾，故C选项错误；
对于D选项，若时，，图像如图所示：

当时，则与方程在有两个解矛盾，进而函数的最大值为4错误，故D选项错误；
故选：B
2、C
【解析】根据已知和对数运算得，，再由指数运算和对数运算法则可得选项.
【详解】因为，，
故，.
∵，故.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解决本题类型的问题的关键在于：1、由已知得出抽象函数的周期；2、根据函数的周期和对数运算法则将自变量转化到已知范围中，可求得函数值.
3、C
【解析】根据函数的单调性，即可判断选项A是否正确；根据函数在上单调递减，即可判断选项B是否正确；在根据不等式的性质即可判断选项C，D是否正确.
【详解】因为，所以，又函数在上单调递增，所以，故A错误；
因为，函数在上单调递减，所以，故B错误；
因为，所以，又，所以，故C正确；
因为，两边同时除以，可知，故D错误.
故选：C.
4、A
【解析】根据余弦函数的性质计算可得；
【详解】因为，所以函数的最小正周期；
故选：A
5、A
【解析】由函数在内单调递增得，进而根据充分，必要条件判断即可.
【详解】解：因为函数在内单调递增，
所以，
因为是的真子集，
所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件
故选：A
6、A
【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当时，，函数是增函数，故充分；
当函数是增函数时，则，故不必要；
故选：A
7、C
【解析】如图所示，补成直四棱柱，
则所求角为，
易得，因此，故选C

平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围
8、C
【解析】本题首先可以求出集合以及集合中所包含的元素，然后通过交集的相关性质以及中的最小元素为2即可列出不等式组，最后求出实数的取值范围
【详解】函数，，或者，
所以集合，
，，，
所以集合，
因为中的最小元素为2，
所以，解得，故选C
【点睛】本题考查了集合的相关性质，主要考查了交集的相关性质、函数的定义域、带绝对值的不等式的求法，考查了推理能力与计算能力，考查了化归与转化思想，提升了学生的逻辑思维，是中档题
9、A
【解析】
根据三角函数的定义计算可得结果.
【详解】因为，，所以，
所以.
故选：A
10、B
【解析】通过计算可知，，，从而得出，，的大小关系.
【详解】解：因为，所以，，所以.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】，故
12、 ①. ②.
【解析】先求出经过，秒针转过的圆心角的为，进而表达出函数解析式，利用求出的解析式建立不等式，解出解集，得到答案.
【详解】经过，秒针转过的圆心角为，
得.
由，得，
又，故，
得，解得：，
故一圈内A与两点距离地面的高度差不低于的时长为.
故答案为：，
13、
【解析】由同角三角函数关系和诱导公式可得结果.
【详解】因为，且为锐角，则，所以，故.
故答案为：.
14、##
【解析】由幂函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断法则即可求解.
【详解】解：函数的定义域为，
令，，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为.
故答案为：.
15、
【解析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数，，再利用周期计算，选择一个作答即可.
【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数，，
满足，即是奇函数；
根据最小正周期，可得.
故函数可以是中任一个，可取.
故答案为：.
16、
【解析】由，将表示为的数乘，求出参数
【详解】因为向量不共线，，且，所以，即，解得
【点睛】向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、109
【解析】化根式为分数指数幂，运用有理数指数幂的运算性质化简可求出值.
【详解】原式＝（）6+1
＝22×33+2﹣1
＝108+2﹣1
＝109
【点睛】本题考查根式的概念，将根式化为分数指数幂和其运算法则的应用，属于基础题.
18、（1）见解析；（2）点到平面的距离为
【解析】（1）根据题意选择，只需证明，根据线面垂直的判定定理，即可证明平面；（2）把点到面的距离，转化为三棱锥的高，利用等体积法，即可求解高
试题解析：（1）证明：∵四边形为正方形∴
又∵平面平面，
平面平面=，
∴平面
∴
又∵,∴平面
（2）解：，，， 又∵ 矩形中，DE=1
∴，，
∴过B做CE的垂线交CE与M，CM= ∴
的面积等于
由得（1）平面∴点到平面的距离
∴
∴ ∴
即点到平面的距离为.
考点：直线与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积的应用．
19、 (1) (2) ，
【解析】（1）设，利用中点坐标公式，转化为的坐标，代入圆的方程求解即可
（2）设关于轴对称点设过的直线，利用点到直线的距离公式化简求解即可
【详解】设，

则代入
轨迹的方程为
（2）设关于轴对称点
设过的直线，即
∵，，

∴或
∴反射光线所在即
即
20、（1）
（2）9（3）不合理，理由见解析
【解析】（1）根据频率分布直方图中，小矩形面积和为求解即可；
（2）首先求学习时间不少于20小时的频率，再根据样本容量乘以频率=人数，计算结果；
（3）结合样本来自同一个班级，故不具有代表性.
【小问1详解】
解：因为频率分布直方图中，小矩形面积和为，
所以，解得.
【小问2详解】
解：由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为
则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为
【小问3详解】
解：不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性
21、（1）
（2）
【解析】（1）首先得到集合，再根据交集的定义计算可得；
（2）首先求出集合的补集，依题意可得是的真子集，即可得到不等式组，解得即可；
【小问1详解】
解：当时，，或，
∴
【小问2详解】
解：∵或，∴，
∵“”是“”的充分不必要条件，
∴是的真子集，∵，∴，
∴，∴，故实数的取值范围为