上海市培佳双语学校2025年数学高二上期末教学质量检测试题含解析.doc

上海市培佳双语学校2025年数学高二上期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）

A. B.
C. D.
2．已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知双曲线的两个顶点分别为A、B，点P为双曲线上除A、B外任意一点，且点P与点A、B连线的斜率为，若，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C.2 D.3
4．已知直线的斜率为1，直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°，则直线的斜率为（）
A.－1 B.
C. D.1
5．已知奇函数，则的解集为（）
A. B.
C. D.
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知直线，若圆C的圆心在轴上，且圆C与直线都相切，求圆C的半径（ ）
A. B.
C.或 D.
8．已知直线l和抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，且，交AB于点D，点D的坐标为，则p的值为（）
A. B.1
C. D.2
9．已知点是双曲线的左焦点，是双曲线右支上一动点，过点作轴垂线并延长交双曲线左支于点，当点向上移动时，的值（ ）

A.增大 B.减小
C.不变 D.无法确定
10．已知双曲线，则该双曲线的实轴长为（）
A.1 B.2
C. D.
11．数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是（ ）
A.1024 B.256
C.2 D.512
12．在中，，则边的长等于（ ）
A. B.
C. D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．用秦九韶算法求函数，当时的值时，___________
14．如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________

15．已知向量，，且，则实数______.
16．已知数列的前项和为，，则___________，___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过定点的直线交椭圆于不同的两点、(点在点、之间)，且满足，求的取值范围.
18．（12分）已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5
（1）求C方程；
（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程
19．（12分）要设计一种圆柱形、容积为500mL的一体化易拉罐金属包装，如何设计才能使得总成本最低？
20．（12分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

（1）[79.5，89.5)这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的众数、中位数、平均数是多少？
21．（12分）已知公差不为0的等差数列满足：且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列的前n项和，求证是等差数列
22．（10分）已知抛物线：上的点到其准线的距离为5.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知为原点，点在抛物线上，若的面积为6，求点的坐标.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】首先根据双曲线的渐近线方程得到，从而得到，，，再求离心率即可.
【详解】双曲线，，，
因为双曲线的一条渐近线方程为，即，
所以，解得，
所以，，，.
故选：B
2、B
【解析】求出圆、的圆心和半径，再由两圆没有公共点列不等式求解作答.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，，
因圆、没有公共点，则有或，
即或，又，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故选：B
3、C
【解析】根据题意设设，根据题意得到，进而求得离心率
【详解】根据题意得到设，因为，所以，
所以，则
故选：C.
4、C
【解析】根据直线的斜率求出其倾斜角可求得答案.
【详解】设直线的倾斜角为，所以，
因为，所以，
因为直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°，
所以直线的倾斜角为，
则直线的斜率为.
故选：C
5、A
【解析】先由求出的值，进而可得的解析式，对求导，利用基本不等式可判断恒成立，可判断的单调性，根据单调性脱掉，再解不等式即可.
【详解】的定义域为，因为是奇函数，
所以，可得：，
所以，
经检验是奇函数，符合题意，
所以，
因为，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以在上单调递增，
由可得，
即，解得：或，
所以的解集为，
故选：A.
6、B
【解析】根据已知和渐近线方程可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则①.
又因为椭圆与双曲线有公共焦点，
双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.
故选：B.
7、C
【解析】设出圆心坐标，利用圆心到直线的距离相等列方程，求得圆心坐标并求得圆的半径.
【详解】设圆心坐标为，
则或，
所以圆的半径为或.
故选：C
8、B
【解析】由垂直关系得出直线l方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理以及数量积公式得出p的值.
【详解】，，即
联立直线和抛物线方程得
设，则

解得
故选：B
9、C
【解析】令双曲线右焦点为，由对称性可知，，结合双曲线的定义即可得出结果.
【详解】令双曲线右焦点为，由对称性可知，，
则，为常数，
故选：C.
10、B
【解析】根据给定的双曲线方程直接计算即可作答.
【详解】双曲线的实半轴长，
所以该双曲线的实轴长为2.
故选：B
11、D
【解析】设数列的公比为q，由已知建立方程求得q，再利用等比数列的通项公式可求得答案.
【详解】解：因为数列是等比数列，是其前n项之积， ，设数列的公比为q，
所以，解得，
所以，
故选：D.
12、A
【解析】由余弦定理求解
【详解】由余弦定理，得，即，解得（负值舍去）
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、0
【解析】利用秦九韶算法的定义计算即可.
【详解】
故答案为: 0
14、（1，1，1）
【解析】设PD＝a，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，
P(0,0，a)，E(1,1，)，
∴＝(0,0，a)，＝(－1,1，)
由cos〈，〉＝，∴＝a·，
∴a＝2.∴E的坐标为(1,1,1)
15、
【解析】利用向量平行的条件直接解出.
【详解】因为向量，，且，
所以，解得.
故答案为： .
16、 ①. ②.
【解析】第一空：由，代入已知条件，即可解得结果；
第二空：由与关系可推导出之间的关系，再由递推公式即可求出通项公式.
【详解】，可得
由，可知时，
故时
即可化为
又故数列是首项为公比为2的等比数列，

故数列的通项公式
故答案为：①；②

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）代入点坐标，结合离心率，以及即得解；
（2）设直线方程，与椭圆联立，转化为，结合韦达定理和判别式，分析即得解
【小问1详解】
由题意可知：，解得：
椭圆的标准方程为：
【小问2详解】
①当直线斜率不存在，方程为，则，.
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立得：.
由得：.
设，，
则，，
又，，，则，

，所以，所以，解得：,
又，
综上所述：的取值范围为.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.
（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.
【详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，
∴C的方程为.
（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，
∴联立抛物线方程，得：，，
若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，
∴，即，得，
∴直线l的方程为.
【点睛】关键点点睛：
（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；
（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.
19、当圆柱底面半径为，高为时，总成本最底.
【解析】设圆柱底面半径为cm，高为cm，圆柱表面积为Scm2，进而根据体积得到，然后求出表面积，进而运用导数的方法求得表面积的最小值，此时成本最小.
【详解】设圆柱底面半径为cm，高为cm,圆柱表面积为Scm2,每平方厘米金属包装造价为元，
由题意得：，则 ，表面积
造价，，
令，得，令，得，
的单调递减区间为，递增区间为，
当圆柱底面半径为，高为时，总成本最底.
20、（1）0.25，15；（2）众数为74.5，中位数为72.8，平均分为70.5.
【解析】（1）直接利用频率和频数公式求解；
（2）利用频率分布直方图的公式求众数、中位数、平均数.
【详解】（1）频率＝(89.5－79.5)×0.025＝0.25；频数＝60×0.25＝15.
（2）[69.5，79.5)一组的频率最大，人数最多，则众数为74.5，
左边三个矩形的面积和为0.4，左边四个矩形的面积和为0.7，所以中位数在第4个矩形中，设中位数为,所以中位数为72.8.
平均分为44.5×0.1＋54.5×0.15＋64.5×0.15＋74.5×0.3＋84.5×0.25＋94.5×0.05＝70.5
21、（1）；（2）证明见解析.
【解析】(1)根据等比中项的应用可得，结合等差数列的定义和求出公差，进而得出通项公式；
(2)根据等差数列前n项求和公式可得，结合等差数列定义即可证明.
【小问1详解】
设等差数列的公差为()，由成等比数列，
得，又，所以，
解得，所以；
【小问2详解】
由(1)可得，所以，
有，故，
又，所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列.
22、（1）
（2）或
【解析】（1）结合抛物线的定义求得，由此求得抛物线的方程.
（2）设，根据三角形的面积列方程，求得的值，进而求得点的坐标.
【小问1详解】
由抛物线的方程可得其准线方程，
依抛物线的性质得，解得.
∴抛物线的方程为.
【小问2详解】
将代入，得.
所以，直线的方程为，即.
设，
则点到直线的距离，又，
由题意得，解得或.
∴点的坐标是或.