辽宁省沈阳市重点高中联合体2025-2026学年数学高一第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

辽宁省沈阳市重点高中联合体2025-2026学年数学高一第一学期期末考试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．对于任意的实数，定义表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．函数的部分图像是
A. B.
C. D.
3．（）
A. B.3
C.2 D.
4．若函数是函数（且）的反函数，且，则（）
A. B.
C. D.
5．下列函数是偶函数的是（　　）
A. B.
C. D.
6．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
7．当时，若，则的值为
A. B.
C. D.
8．函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.R
9．已知函数，，则的值域为（）
A. B.
C. D.
10．一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为的正方形.若该机器零件的表面积为，则的值为

A.4 B.2
C.8 D.6
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数，若，则的取值范围是________.
12．已知函数，若，，则的取值范围是________
13．已知幂函数在为增函数，则实数的值为___________.
14．的值是__________
15．若点位于第三象限，那么角终边落在第___象限
16．已知非零向量、满足，若，则、夹角的余弦值为_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，满足，，.
（1）求向量与夹角；
（2）求的值.
18．已知函数定义在上且满足下列两个条件:
①对任意都有;
②当时,有，
（1）求，并证明函数在上是奇函数；
（2）验证函数是否满足这些条件；
（3）若，试求函数的零点.
19．某校食堂需定期购买大米已知该食堂每天需用大米吨，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用单位：元与购买天数单位：天的关系为，每次购买大米需支付其他固定费用900元
该食堂多少天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少？
若提供粮食的公司规定：当一次性购买大米不少于21吨时，其价格可享受8折优惠即原价的，该食堂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由
20．已知函数（其中），函数（其中）.
（1）若且函数存在零点，求的取值范围；
（2）若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
21．为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.我市工业园区某工厂的污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为.若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用.
（1）若投放1个单位的净化剂4小时后，求净化剂在污水中释放的浓度；
（2）若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，）
（3）若第一次投放1个单位的净化剂，3小时后再投放2个单位的净化剂，设第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为（毫克/立方米），其中，求的表达式和浓度的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据充分必要性分别判断即可.
【详解】若，则可设，则，，其中，
，，即“”能推出“”；
反之，若，，满足，但，，即“”推不出“”，
所以“”是“”必要不充分条件，
故选：B.
2、D
【解析】根据函数的奇偶性和函数值在某个区间上的符号，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】∵是奇函数，其图像关于原点对称，∴排除A,C项；当时，，∴排除B项.
故选D.
【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的单调性，属于基础题.
3、D
【解析】利用换底公式计算可得答案
【详解】
故选：D
4、B
【解析】由题意可得出，结合可得出的值，进而可求得函数的解析式.
【详解】由于函数是函数（且）的反函数，则，
则，解得，因此，.
故选：B.
5、D
【解析】利用偶函数的性质对每个选项判断得出结果
【详解】A选项：函数定义域为，且，，故函数既不是奇函数也不是偶函数，A选项错误
B选项：函数定义域为，且，，故函数既不是奇函数也不是偶函数
C选项：函数定义域为，
，故函数为奇函数
D选项：函数定义域为，，故函数是偶函数
故选D
【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，在证明函数奇偶性时需注意函数的定义域；
还需掌握：奇函数加减奇函数为奇函数；偶函数加减偶函数为偶函数；奇函数加减偶函数为非奇非偶函数；奇函数乘以奇函数为偶函数；奇函数乘以偶函数为奇函数；偶函数乘以偶函数为偶函数
6、A
【解析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果.
【详解】设与直线平行的直线方程为，
将点代入直线方程可得，解得
则所求直线方程为．故A正确
【点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为
7、A
【解析】分析：首先根据题中所给的角的范围，求得相应的角的范围，结合题中所给的角的三角函数值，结合角的范围，利用同角三角函数的平方关系式，求得相应的三角函数值，之后应用诱导公式和同角三角函数商关系，求得结果.
详解：因为，所以，
所以，因为，
所以，
所以，所以
，所以答案是，故选A.
点睛：该题考查的是有关三角恒等变换问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式中的平方关系和商关系，以及诱导公式求得结果.
8、D
【解析】利用指数函数的性质即可得出选项.
【详解】指数函数的定义域为R.
故选：D
9、A
【解析】根据两角和的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，结合和正弦函数的单调性即可求出函数的最大值和最小值.
【详解】由题意知，
，
由，得，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
有，
所以，
故的值域为.
故选：A
10、A
【解析】几何体为一个正方体与四分之一个球的组合体,所以表面积为 ,选A

点睛:空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】当时，由，求得x0的范围；
当x0<2时，由，求得x0的取值范围，再把这两个x0的取值范围取并集，即为所求.
【详解】当时，由，求得x0>3；
当x0<2时，由，解得：x0<-1.
综上所述:x0的取值范围是.
故答案为：
12、
【解析】先利用已知条件，结合图象确定的取值范围，设，即得到是关于t的二次函数，再求二次函数的取值范围即可.
【详解】先作函数图象如下：

由图可知，若，，设，则，，
由知，；由知，；
故，，
故时，最小值为，时，最大值为，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题解题关键是数形结合，通过图象判断的取值范围，才能分别找到与相等函数值t的关系，构建函数求值域来突破难点.
13、4
【解析】根据幂函数的定义和单调性，即可求解.
【详解】解：为递增的幂函数，所以，即，
解得：，
故答案为：4
14、
【解析】分析：利用对数运算的性质和运算法则，即可求解结果.
详解：由
.
点睛：本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
15、四
【解析】根据所给的点在第三象限，写出这个点的横标和纵标都小于0，根据这两个都小于0，得到角的正弦值小于0，余弦值大于0，得到角是第四象限的角
【详解】解：∵点位于第三象限，
∴sinθcosθ＜0
2sinθ＜0，
∴sinθ＜0，
Cosθ＞0
∴θ是第四象限的角
故答案为四
【点睛】本题考查三角函数的符号，这是一个常用到的知识点，给出角的范围要求说出三角函数的符号，反过来给出三角函数的符号要求看出角的范围
16、
【解析】本题首先可以根据得出，然后将其化简为，最后带入即可得出结果.
【详解】令向量与向量之间的夹角为，
因为，所以，
即，，，，
因为，所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查向量垂直的相关性质，若两个向量垂直，则这两个向量的数量积为，考查计算能力，考查化归与转化思想，是简单题。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）先求得，然后利用夹角公式求得向量与的夹角.
（2）利用平方的方法求得的值.
【小问1详解】
设向量与的夹角为，
由于，所以.
所以，由于，所以.
【小问2详解】
.
18、 (1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】令代入即可求得，令，则可得，即可证明结论
根据函数的解析式求出定义域满足条件，再根据对数的运算性质，计算与并进行比较，根据对数函数的性质判断当时，的符号，即可得证
用定义法先证明函数的单调性，然后转化函数的零点为，利用条件进行求解
【详解】（1）对条件中的，令得.
再令可得
所以在（－1，1）是奇函数.
(2)由可得，其定义域为（-1，1），

当时， ∴ ∴
故函数是满足这些条件.
（3）设，则
，，
由条件②知，从而有，即
故上单调递减，
由奇函数性质可知,在（0，1）上仍是单调减函数.

原方程即为，在(-1,1)上单调

又
故原方程的解为.
【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数的单调性，考查了对数函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握抽象函数的处理方式，将抽象问题具体化，有一定的难度和计算量
19、（1）10天购买一次大米；（2）见解析.
【解析】根据条件建立函数关系，结合基本不等式的应用求最值即可；
求出优惠之后的函数表达式，结合函数的单调性求出函数的最值进行判断即可
【详解】解：设每天所支付的总费用为元，
则，
当且仅当，即时取等号，
则该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少
若该食堂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次大米，
设该食堂接受此优惠条件后，每x，天购买一次大米，平均每天支付的总费用为，
则，
设，，
则在时，为增函数，
则当时，有最小值，约为，
此时，
则食堂应考虑接受此优惠条件
【点睛】本题主要考查函数的应用问题，基本不等式的性质以及函数的单调性，属于中档题.
20、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得的值域，即可求得参数的取值范围；
（2）根据是偶函数求得参数，再根据题意，求解指数方程即可求得的取值范围.
【小问1详解】
由题意知函数存零点，即有解.
又，
易知在上是减函数，又，，即，
所以，所以的取值范围是.
【小问2详解】
的定义域为，若是偶函数，则，
即解得.
此时，，
所以即为偶函数.
又因为函数与的图象有且只有一个公共点，故方程只有一解，
即方程有且只有一个实根
令，则方程有且只有一个正根
①当时，，不合题意，
②当时，方程有两相等正根，则，
且，解得，满足题意；
③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意，
综上所述：实数的取值范围为或.
【点睛】本题考察利用函数奇偶性求参数值，以及对数方程的求解，对数型复合函数值域的求解，解决问题的关键是熟练的掌握对数函数的性质，属综合困难题.
21、（1）6毫克/立方米
（2）7.1 （3），； 的最小值为12毫克/立方米
【解析】（1）由函数解析式，将代入即可得解；
（2）分和两种情况讨论，根据题意列出不等式，从而可得出答案；
（3）根据题意写出函数的解析式，再根据基本不等式即可求得最小值.
【小问1详解】
解：由，
当时，，
所以若投放1个单位的净化剂4小时后，净化剂在污水中释放的浓度为6毫克/立方米；
【小问2详解】
解：因为净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用，
当时，令，得恒成立，
所以当时，起到净化污水的作用，
当时，令，得，则，
所以，
综上所述当时，起到净化污水的作用，
所以若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达7.1小时；
【小问3详解】
解：因为第一次投入1个单位的净化剂，3小时后再投入2个单位净化剂，要计算的是第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为，
所以，，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，，
当时，取最小值12毫克/立方米.